江蘇專版2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象 課件（2份打包）

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1

基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)

2

重難探究·能力素養(yǎng)全提升

課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解正切函數(shù)圖象的畫法，理解并掌握正切函數(shù)的性質(zhì).

2.能利用正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決有關(guān)問題.

01

基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)

知識點正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

解析式

圖象

定義域

值域

周期

奇偶性奇函數(shù)

對稱中心

單調(diào)性

過關(guān)自診

1.正切曲線是中心對稱圖形嗎？若是,對稱中心是什么？是軸對稱圖形嗎？

提示正切曲線是中心對稱圖形,對稱中心為,不是軸對稱圖形.

2.正切函數(shù)的圖象與直線,有公共點嗎？

提示沒有.正切曲線是由被互相平行的直線隔開的無窮多支曲線組成的.

3.函數(shù)的最小正周期為()

C

A.B.C.D.

[解析]根據(jù)正切函數(shù)的周期公式計算得最小正周期.

4.的解集為()

D

A.,B.,

C.D.,

[解析]由的圖象知（圖略）,當(dāng)時,,.故選D.

02

重難探究·能力素養(yǎng)全提升

探究點一正切函數(shù)的定義域與值域問題

【例1】求下列函數(shù)的定義域和值域:

（1）;

解依題意得,,

所以,，

所以函數(shù)的定義域是.

由正切函數(shù)的值域可知該函數(shù)的值域是.

（2）.

依題意,所以.

結(jié)合的圖象（圖略）可知,在區(qū)間上,滿足的角應(yīng)滿足

,所以函數(shù)的定義域為,,其

值域為.

規(guī)律方法（1）求正切函數(shù)定義域的方法及注意點:

求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時,除了求函數(shù)定義域的一般要求外,還要保證正切函數(shù)有意義,即,.而對于構(gòu)建的三角不等式,常利用正切函數(shù)的圖象求解.

（2）解形如的不等式的步驟:

變式訓(xùn)練1求函數(shù)的定義域.

解依題意有,所以.

所以,.

又,,故函數(shù)定義域為

.

探究點二正切函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

角度1.求正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【例2】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

解.

由，得,,所以函

數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,無單調(diào)遞增區(qū)

間.

規(guī)律方法的單調(diào)區(qū)間的求法是把看成一個整體,解,即可.當(dāng)時,先用誘導(dǎo)公式把化為正值,再求單調(diào)區(qū)間.

變式訓(xùn)練2函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________________________.

[解析].

由,得,

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

角度2.比較大小

【例3】不通過求值,比較下列各組中兩個三角函數(shù)值的大小.

（1）與;

解,.

因為,在上單調(diào)遞增,

所以,即.

（2）與.

,.

因為,在上單調(diào)遞增,

所以,所以,

即.

規(guī)律方法運用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的方法

（1）運用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi);

（2）運用單調(diào)性比較大小關(guān)系.

變式訓(xùn)練3比較下列兩個數(shù)的大小（用“”或“”填空）:

①___；

[解析],且,又在上單調(diào)遞增,

所以,即.

②___.

[解析],,

因為,又在上單調(diào)遞增,

所以,則.

探究點三正切函數(shù)的周期性與奇偶性

【例4】（1）求函數(shù)的最小正周期;

解由題可知,故函數(shù)的最小正周期為.

（2）已知函數(shù),若,求的值.

令,則.

因為,,所以

是奇函數(shù).

因為,

所以,則,故

.

規(guī)律方法與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的周期性、奇偶性:

（1）一般地,函數(shù)的最小正周期為,常利用此公式來求與正切函數(shù)有關(guān)的周期.

（2）函數(shù)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱.若函數(shù)是奇函數(shù),則.

變式訓(xùn)練4（1）函數(shù)()

A

A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

[解析]要使有意義,必須滿足即且

,所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.

又,

故是奇函數(shù).

（2）若函數(shù)的最小正周期是,則____.

[解析]依題意有,即,所以.

探究點四正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

【例5】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的最小正周期和圖象的對稱中心;

解,

的最小正周期.

令,得,

的圖象的對稱中心是.

（2）作出函數(shù)在一個最小正周期內(nèi)的簡圖.

令,則;令,則;

令,則，函數(shù)

的圖象與軸的一個交點坐標(biāo)

是,在這個交點左、右兩側(cè)相鄰的兩條漸

近線方程分別是,,從而得到函數(shù)在一個最小正周期內(nèi)的簡圖

（如圖）.

規(guī)律方法熟練掌握正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決正切函數(shù)綜合問題的關(guān)鍵,正切曲線是被相互平行的直線,隔開的無窮多支曲線組成的,的圖象的對稱中心為,.

變式訓(xùn)練5[2023山東鄒城期末]已知函數(shù).

（1）求的定義域和最小正周期；

解對于函數(shù),應(yīng)有,,解得,

,所以函數(shù)的定義域為,函數(shù)的最小正周期為.

（2）求的單調(diào)區(qū)間.

令,,則,,所以函數(shù)的

單調(diào)遞減區(qū)間為,,沒有單調(diào)遞增區(qū)間.

本節(jié)要點歸納(共21張PPT)

01

分層作業(yè)

A級必備知識基礎(chǔ)練

1.［探究點一］函數(shù)的定義域為()

A

A.B.

C.D.

[解析]由題意得即,

所以,故選A.

2.［探究點四］（多選題）與函數(shù)的圖象不相交的一條直線方程是

()

AD

A.B.C.D.

[解析]令,,得,,

直線,與函數(shù)的圖象不相交,當(dāng)時,

;當(dāng)時,.

3.［探究點三］函數(shù)()

A

A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)

[解析]函數(shù)的定義域為,關(guān)于原點對稱.

設(shè),

則.

所以是奇函數(shù).故選A.

4.［探究點四］函數(shù)的對稱中心是()

C

A.B.

C.D.

[解析]由,,得,,

函數(shù)的對稱中心是,.

5.［探究點三］下列四個函數(shù)中,以為最小正周期,且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是

()

C

A.B.C.D.

[解析]在區(qū)間上,,則不單調(diào),故A錯誤；在區(qū)間上,

,單調(diào)遞減,故B錯誤；在區(qū)間上,單調(diào)遞增,且其

最小正周期為,故C正確；根據(jù)函數(shù)以為最小正周期,但的周期為

,故D錯誤.故選C.

6.［探究點二（角度）］函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

_______________________.

,

[解析]令,,則,,所以函

數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,.

7.[探究點二（角度2）·2023河南南陽唐河月考],,的大小順序是

____________________.

[解析]因為,2,,且在和上均單調(diào)遞增,所以

,且,所以.

8.［探究點一］求函數(shù),的值域.

解,.

令,則.

.

當(dāng),即時,,

當(dāng),即時,.

故所求函數(shù)的值域為.

B級關(guān)鍵能力提升練

9.下列圖形是；

；；

在內(nèi)的大致圖

象,那么由到對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式應(yīng)是

()

D

A.①②③④B.①③④②

C.③②④①D.①②④③

10.在區(qū)間范圍內(nèi),函數(shù)與函數(shù)圖象交點的個數(shù)為()

C

A.1B.2C.3D.4

[解析]在同一平面直角坐標(biāo)系中,首先作出

與在區(qū)間內(nèi)的圖象,

需明確時,有,然后利

用對稱性作出時兩函數(shù)的圖象

（注意正切函數(shù)的定義域）,如圖所示,由圖象可

知它們有三個交點.

11.方程在上的解的個數(shù)是()

B

A.5B.4C.3D.2

[解析]由題意知,,,所以,.

又，所以,,,,共4個.故選B.

12.（多選題）下列關(guān)于函數(shù)的相關(guān)結(jié)論，正確的有()

AC

A.的定義域是

B.的最小正周期是

C.的單調(diào)遞增區(qū)間是,

D.的對稱中心是

[解析]令，解得，則函數(shù)的定義域是

,，A選項正確；

函數(shù)的最小正周期為，B選項錯誤；

令，解得，則函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間是，C選項正確；

令，解得，則函數(shù)的圖象的對稱中心

為，D選項錯誤.

13.（多選題）對于函數(shù)（其中,,）,選取,,

的一組值計算和,所得出的結(jié)果可能是()

ABC

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

[解析]設(shè),顯然為奇函數(shù).

,,

.

,為偶數(shù).故選.

14.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則的取值范圍為_______.

[解析]由題意可知,

又,故.

15.關(guān)于的函數(shù)有以下幾種說法:

①對任意的,既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù);

②的圖象關(guān)于對稱;

③的圖象關(guān)于對稱;

④是以為最小正周期的周期函數(shù).

其中不正確的說法的序號是____.

①

[解析]①若取,則,此時,為奇函數(shù),所以①錯;觀察正

切函數(shù)的圖象,可知其關(guān)于對稱,令,,得

,分別令,2知②,③正確,④顯然正確.

16.是否存在實數(shù)，且，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增？

若存在，求出的一個值；若不存在，請說明理由.

解,

在區(qū)間上單調(diào)遞增，

結(jié)合題意,易得,

又,,

,

解得.