安徽省安慶第一中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末考試試題含解析

安徽省安慶第一中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知正數(shù)x，y滿足，則取得最小值時(shí)（）A. B.C.1 D.2．若命題為“，”，則為（）A.， B.，C.， D.，3．1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲，西方人稱之為“中國剩余定理”．現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則=（）A.130 B.132C.140 D.1444．已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為A. B.C. D.5．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且滿足，則（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．若對任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.， B.C.， D.7．已知命題：，命題：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.9．某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（）A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m10．等比數(shù)列，，，成公差不為0的等差數(shù)列，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（）A. B.C. D.11．設(shè)，，，…，，，則（）A. B.C. D.12．若傾斜角為的直線過兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過圓上一點(diǎn)的圓的切線的一般式方程為________14．過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），_________15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M的準(zhǔn)線為l且與x軸相交于點(diǎn)B，A為M上的一點(diǎn)，直線AO與直線l相交于C點(diǎn)，若，，則M的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________.16．如圖，已知橢圓C1和雙曲線C2交于P1、P2、P3、P4四個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)1和F2分別是C1的左右焦點(diǎn)，也是C2的左右焦點(diǎn)，并且六邊形是正六邊形.若橢圓C1的方程為，則雙曲線方程為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；（2）若l過點(diǎn)，延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率，若不能，說明理由18．（12分）已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)軸時(shí)，（1）求橢圓E的方程；（2）求的范圍19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線C的焦點(diǎn)為、，實(shí)軸長為.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且Q恰好為線段的中點(diǎn)，求直線l的方程.20．（12分）已知拋物線C：經(jīng)過點(diǎn).（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于兩點(diǎn)M，N，且與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q.若，求直線l的方程.21．（12分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，另外考生根據(jù)自己實(shí)際需要在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7門科目中自選3門參加考試．下面是某校高一200名學(xué)生在一次檢測中的物理、化學(xué)、生物三科總分成績，以組距20分成7組：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，畫出頻率分布直方圖如下圖所示（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）由頻率分布直方圖，求物理、化學(xué)、生物三科總分成績的第60百分位數(shù)；（3）若小明決定從“物理、化學(xué)、生物、政治、技術(shù)”五門學(xué)科中選擇三門作為自己的選考科目，求小明選中“技術(shù)”的概率22．（10分）已知圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在直線上（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線過點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程；（3）設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的一動點(diǎn)，求的面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)x，y，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即時(shí)，取等號，而，所以解得，故選：B2、B【解析】特稱命題的否定是全稱命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定.【詳解】“，”的否命題為“，”，故選：B3、A【解析】分析數(shù)列的特點(diǎn)，可知其是等差數(shù)列，寫出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得結(jié)果,【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，這樣的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為12的等差數(shù)列，所以，故，故選:A4、D【解析】設(shè)，則，.所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選D.5、C【解析】首先求出，再令即可求解.【詳解】由，則，令，則，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，再結(jié)合題意得數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，即，再解不等式即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意：數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以，由于數(shù)列滿足，所以對任意的都成立，故數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，所以，解得故選：7、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】因?yàn)槊}：或，命題：，所以是的必要不充分條件，故選：B8、A【解析】先求，然后求.【詳解】，，.故選：A9、A【解析】根據(jù)題意先建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可設(shè)出拋物線方程，利用已知條件得出點(diǎn)在拋物線上，代入方程求得p值，進(jìn)而求得焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系xOy，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)O重合，焦點(diǎn)F在x軸上設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知條件可得，點(diǎn)在拋物線上，所以，解得，因此，該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1.35m，故選：A.10、C【解析】先設(shè)等比數(shù)列的公比為，結(jié)合條件可知，由等差中項(xiàng)可知，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡求出，最后利用分組求和法，以及等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式，即可求出數(shù)列的前10項(xiàng)和.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，成公差不為0的等差數(shù)列，則，，都不相等，，且，，，，即，解得：或（舍去），，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和：.故選：C.11、B【解析】根據(jù)已知條件求得的規(guī)律，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】，，，，，……，以此類推，，所以.故選：B12、A【解析】解方程即得解.【詳解】解：由題得.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出過切線的半徑所在直線斜率，由垂直關(guān)系得切線斜率，然后得直線方程，現(xiàn)化為一般式【詳解】圓心為，，所以切線的斜率為，切線方程為，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程，利用切線性質(zhì)求得斜率后易得直線方程14、3【解析】根據(jù)拋物線焦半徑公式，所以.故答案為：3.15、【解析】先利用相似關(guān)系計(jì)算，求得直線OA的方程，再聯(lián)立方程求得，利用拋物線定義根據(jù)即得p值，即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，則，如圖，，故，解得，所以，直線OA的斜率為，OA的方程，聯(lián)立直線OA與拋物線方程，解得，所以，故，則拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.16、【解析】先根據(jù)橢圓的方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)為正六邊形求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即點(diǎn)在雙曲線上，然后解出方程即可【詳解】設(shè)雙曲線的方程為：根據(jù)橢圓的方程可得：又為正六邊形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為：則點(diǎn)在雙曲線上，可得：又解得：故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）能為平行四邊形；斜率為4－或4＋【解析】（1）設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)差法證明（2）求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由平行四邊形的幾何性質(zhì)判斷【小問1詳解】設(shè)的斜率為,，兩式相減可得，即故【小問2詳解】由（1）得的直線為，直線方程為聯(lián)立，解得聯(lián)立解得若四邊形OAPB為平行四邊形，則對角線互相平分為中點(diǎn)，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意故四邊形OAPB能為平行四邊形，此時(shí)斜率為4－或4＋18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)離心率及通徑長求出橢圓方程；（2）分直線AB斜率存在和斜率不存在兩種情況得到的范圍，進(jìn)而得到答案.【小問1詳解】當(dāng)軸時(shí)，取代入橢圓方程得：，得，所以，又，解得，，所以橢圓方程為【小問2詳解】由，記，當(dāng)軸時(shí)，由（1）知：，所以，當(dāng)AB斜率為k時(shí)，直線AB為，，消去y得，所以，，所以，綜上，的范圍是.19、（1）（2）.【解析】（1）根據(jù)條件，結(jié)合雙曲線定義即可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，不符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線，變形后由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得斜率，即可求得直線方程.【詳解】（1）根據(jù)題意，焦點(diǎn)在軸上，且，所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C：.（2）過點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且Q恰好為線段的中點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，則由雙曲線對稱性可知線段的中點(diǎn)在軸上，所以不滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)，則，化簡可得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)交點(diǎn)，所以化簡可得恒成立，所以，因?yàn)榍『脼榫€段的中點(diǎn)，則，化簡可得，所以直線方程為，即.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線定義求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系，由中點(diǎn)坐標(biāo)求直線方程，屬于中檔題.20、（1）拋物線C的方程為，準(zhǔn)線方程為（2）或.【解析】（1）將點(diǎn)代入拋物線求出即可得出拋物線方程和準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，表示出弦長和即可求出.【小問1詳解】將代入可得，解得，所以拋物線C的方程為，準(zhǔn)線方程為；【小問2詳解】由題得，設(shè)直線方程為，，設(shè)，聯(lián)立方程，可得，則，所以，因?yàn)橹本€與準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q，則，則，因?yàn)椋?，解得，所以直線l的方程為或.21、（1）=0.005（2）232（3）【解析】（1）由頻率和為1列方程求解即可，（2）由于前3組的頻率和小于0.6，前4組的頻率和大于0.6，所以三科總分成績的第60百分位數(shù)在第4組內(nèi)，設(shè)第60百分位數(shù)為，則0.45+0.0125×(?220)=0.6，從而可求得結(jié)果，（3）利用列舉法求解即可【小問1詳解】由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075++0.0025)×20=1，解得=0.005【小問2詳解】因?yàn)?0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.6，(0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20=0.7>0.6，所以三科總分成績的第60百分位數(shù)在[220，240)內(nèi)，設(shè)第60百分位數(shù)為，則0.45+0.0125×(?220)=0.6，解得=232，即第60百分位數(shù)為232【小問3詳解】將物理、化學(xué)、生物、政治、技術(shù)5門學(xué)科分別記作．則事件A表示小明選中“技術(shù)”，則，所以P(A)=22、（1）（2）或（3）【解析】（1）解法一，根據(jù)題意設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，進(jìn)而待定系數(shù)法求解即可；解法二：由題知圓心在線段的垂直平分線上，進(jìn)而結(jié)合題意得圓的