《工程數(shù)學(xué)》課程十二-復(fù)變函數(shù)五

主講教師:冉揚(yáng)強(qiáng)工程數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)輔導(dǎo)課程十二整理課件第三章復(fù)變函數(shù)的積分§5柯西積分公式第二篇復(fù)變函數(shù)整理課件§5柯西積分公式定理(柯西積分公式)：設(shè)c為區(qū)域D的邊界，在上解析，那么對于區(qū)域D內(nèi)任一點，有討論：1)柯西公式說明，對于某有界閉區(qū)域上解析的函數(shù)，它在區(qū)域內(nèi)任一點的值用它在邊界上的值表示出來.或者說解析函數(shù)在邊界上的值完全決定了它在區(qū)域內(nèi)部各點的值.整理課件2)對于復(fù)連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，只要將積分路徑c理解為該區(qū)域的全部邊界(都取正方向)，那么柯西積分公式仍然成立，例如：由組成的復(fù)連通區(qū)域D，(的正方向如圖3.9所示)，那么：有3)利用柯西積分公式可以計算某些復(fù)變函數(shù)沿閉曲線的積分.例7：設(shè)c為圓周，求整理課件解：由于函數(shù)

在內(nèi)只有一個奇點在內(nèi)解析，由柯西公式可

得整理課件§6解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理：設(shè)區(qū)域D的邊界為圍線c，在上解析，那么函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)存在，且討論：1)該定理說明，解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)都存在，換句話說，在某個區(qū)域上，復(fù)變函數(shù)只要處處都有一階導(dǎo)數(shù)，也就有任意階的導(dǎo)數(shù).整理課件2)可以將n階導(dǎo)數(shù)公式與柯西積分公式通稱為柯西公式，其主要應(yīng)用是通過求導(dǎo)來求積分.例8計算，其中c是由確定的區(qū)域.解：

所以在內(nèi)有兩個奇點，分別以i,-i為心作兩個互整理課件不相交的圓，使它們含于c內(nèi)，那么由柯西定理得對于第一個積分，由于在內(nèi)解析，由柯西公式得整理課件同理

整理課件§7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1、調(diào)和函數(shù)的定義定義：如果實變函數(shù)在某區(qū)域D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足方程

那么稱為區(qū)域D上的調(diào)和函數(shù)，方程稱為拉普拉斯方程.整理課件2、解析函數(shù)的實部和虛部是調(diào)和函數(shù)設(shè)在區(qū)域D上解析，那么C--R條件成立

，.

我們知道，某個區(qū)域上的解析函數(shù)在該區(qū)域上必有任意階的導(dǎo)數(shù)，因此可對上式求偏導(dǎo)數(shù)

,整理課件兩式相加可得同理可得

即,都滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。注意：反過來定理不一定成立，如果是調(diào)和函數(shù)，不一定解析，因為解析函數(shù)必須滿足C--R條件.

由C--R條件聯(lián)系著的調(diào)和函數(shù)u與v稱為整理課件共軛調(diào)和函數(shù)，這樣上述定理可表述為：定理：任何一個在區(qū)域D上的解析函數(shù)，其實部與虛部在該區(qū)域上互為共軛調(diào)和函數(shù)。由上面的討論可得，解析函數(shù)的實部與虛部互為共軛調(diào)和函數(shù)。如果一個調(diào)和函數(shù)，可以把它作為某解析函數(shù)的實部〔或虛部〕，然后利用柯西—黎曼條件求出它的共軛調(diào)和函數(shù)，該調(diào)和函數(shù)為解析函數(shù)的虛部(或?qū)嵅?，由此得到一個解析函數(shù)。

整理課件第四章級數(shù)整理課件主要內(nèi)容(1)、復(fù)數(shù)項級數(shù)的根本概念和性質(zhì)(2)、冪級數(shù)的收斂性，冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)(3)、解析函數(shù)的泰勒展式(4)、雙邊冪級數(shù)，解析函數(shù)的羅朗展式整理課件重點和難點重點：冪級數(shù)的收斂性，收斂半徑；解析函數(shù)的泰勒展式和羅朗展式難點：解析函數(shù)的泰勒展開和羅朗展開整理課件第四章級數(shù)§1復(fù)數(shù)項級數(shù)一、數(shù)項級數(shù)1、定義：考慮各項均為復(fù)數(shù)的級數(shù)

它的每一項都可分為實部和虛部，設(shè)為，那么級數(shù)的局部和為：

整理課件2、級數(shù)的收斂性如果為有限數(shù)s，那么稱級數(shù)收斂，并稱s為它的和，記為不收斂的級數(shù)稱為發(fā)散級數(shù)，顯然這樣復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題就歸結(jié)于兩個實數(shù)整理課件項級數(shù)的收斂問題，即級數(shù)收斂于的充要條件是兩個實級數(shù)及分別收斂于及。

3、絕對收斂和條件收斂如果由級數(shù)各項的模所構(gòu)成的級數(shù)收斂，那么稱絕對收斂。收斂而非絕對收斂的級數(shù)，稱為條件收斂，顯然，絕對收斂必收斂。整理課件二、一致收斂的函數(shù)項級數(shù)

討論各項均在區(qū)域D有定義的函數(shù)項級數(shù)

1、定義：如果對于D上每一點Z，上述級數(shù)均收斂，就稱級數(shù)在D上收斂，其和在D上構(gòu)成一函數(shù)，稱為級數(shù)的和函數(shù)，記為2、性質(zhì)：如果級數(shù)在D上一致收斂于整理課件(1)假設(shè)在D上連續(xù)，那么也在D上連續(xù)，即由連續(xù)函數(shù)組成的一致收斂的函數(shù)項級數(shù)的和也連續(xù)。(2)如果在C上連續(xù)，那么沿C可逐項積分，且(3)如果在D上解析，那么在D上解析，并且整理課件即一致收斂于3、一致且絕對收斂判別法如果對于某區(qū)域D上所有各點z，復(fù)數(shù)項級數(shù)各項的模，而正的常數(shù)項級數(shù)收斂，那么復(fù)變函數(shù)項級數(shù)在D上絕對

且一致收斂。級數(shù)稱為的強(qiáng)級數(shù)，即其強(qiáng)級數(shù)收斂的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)一致且絕對收斂。整理課件§2冪級數(shù)

一、冪級數(shù)的收斂性

1、冪級數(shù)

各項均為冪函數(shù)的復(fù)變項級數(shù)其中，都是復(fù)常數(shù)，這樣的級數(shù)叫做以z0為中心的冪級數(shù)。2、冪級數(shù)的收斂性，收斂半徑

先看由上級數(shù)各項的模所組成的正項級數(shù)整理課件應(yīng)用正項級數(shù)的比值判別法可知，如果

那么級數(shù)收斂，即原級數(shù)絕對收斂，可引入記號即，如果那么原級數(shù)絕對收斂，整理課件如果，那么

即級數(shù)后面的項的模越來越大，不滿足級數(shù)收斂的心要條件，因而級數(shù)發(fā)散，即當(dāng)時，級數(shù)(1)發(fā)散。以為圓心作一半徑為R的圓周，原冪級數(shù)在圓的內(nèi)部〔即〕絕對收斂，在圓外發(fā)散，這個圓叫冪級數(shù)的收斂圓，它的半徑R叫做收斂半徑，在收斂圓周上各點，冪級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，應(yīng)具體分析。整理課件

用根值判別法可得到收斂半徑的另一公式例1.求級數(shù)的收斂半徑。解：故級數(shù)在任何z點收斂。整理課件例2.求級數(shù)的收斂半徑。解：故它們的收斂半徑都為1。在收斂圓周上，即整理課件，由于通項不趨于零，故處處發(fā)散。當(dāng)時，收