北京通州區(qū)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

北京通州區(qū)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別是，若，則（）A.1 B.C. D.2．過雙曲線的左焦點(diǎn)作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P，為右焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．已知橢圓的離心率，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若定點(diǎn)，則的最大值為A. B.C. D.4．函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.5．若構(gòu)成空間向量的一組基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，6．正方體中，E、F分別是與的中點(diǎn)，則直線ED與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.7．設(shè)，直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）①，；②；③A.0 B.1C.2 D.39．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，則的橫坐標(biāo)為（）A.1 B.C.2 D.310．在等比數(shù)列中，是和的等差中項(xiàng)，則公比的值為（）A.－2 B.1C.2或－1 D.－2或111．設(shè)為空間中的四個(gè)不同點(diǎn)，則“中有三點(diǎn)在同一條直線上”是“在同一個(gè)平面上”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件12．?dāng)?shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的第（）A.項(xiàng) B.項(xiàng)C.項(xiàng) D.項(xiàng)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的最大值是__________14．命題“”的否定為_____________.15．已知直線與，若，則實(shí)數(shù)a的值為______16．如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)在線段上，、分別為、的中點(diǎn).設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.（1）當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，求線段的長度；（2）是否存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面所成的二面角的余弦值為，若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)為棱上的點(diǎn)(不與，重合)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.19．（12分）已知拋物線焦點(diǎn)是，斜率為的直線l經(jīng)過F且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；（2）求線段AB的長20．（12分）在數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測試中各射靶7次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲6978856乙a398964經(jīng)計(jì)算可得甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員的平均成績是一樣的（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）請(qǐng)通過計(jì)算，判斷甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員哪一位的成績更穩(wěn)定？22．（10分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，、是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率為，求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式變形求解即可【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，所以，故選：B2、D【解析】由題知是等腰直角三角形，，又根據(jù)通徑的結(jié)論知，結(jié)合可列出關(guān)于的二次齊次式，即可求解離心率.【詳解】由題知是等腰直角三角形，且，，又，，即，，，即，解得，，.故選：D.3、C【解析】首先求得橢圓方程，然后確定的最大值即可.【詳解】由題意可得：，據(jù)此可得：，橢圓方程為，設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故：，當(dāng)時(shí)，.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程問題，橢圓中的最值問題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.4、A【解析】利用基本不等式可得，進(jìn)而可得，即求.【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴，，∴.故選：A.5、C【解析】根據(jù)空間向量共面的條件即可解答.【詳解】對(duì)于A，由，所以，，共面；對(duì)于B，由，所以，，共面；對(duì)于D，，所以，，共面，故選：C.6、A【解析】以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出E,F,D,D1點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量求法求解【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為2，則，,，,,直線與所成角的余弦值為：.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求法，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】由可求得實(shí)數(shù)的值，再利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，解得或，因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8、C【解析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷大小，從而得解；【詳解】解：令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故③錯(cuò)誤；故選：C9、C【解析】利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，即可求得.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為,,∴，故選：C.10、D【解析】由題可得，即求.【詳解】由題意，得，所以，因?yàn)?，所以，解得?故選：D.11、A【解析】由公理2的推論即可得到答案.【詳解】由公理2的推論:過一條直線和直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面,可得在同一平面,故充分條件成立;由公理2的推論：過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面,可得,當(dāng)時(shí),同一個(gè)平面上,但中無三點(diǎn)共線,故必要條件不成立;故選:A【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)線面的位置關(guān)系和充分必要條件的判斷,重點(diǎn)考查公理2及其推論;屬于中檔題;公理2的三個(gè)推論：經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面;經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面;12、A【解析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)【詳解】數(shù)列為，故通項(xiàng)公式為，是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)點(diǎn)，則且，計(jì)算得出，再利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)即可求得的最大值.【詳解】解：圓的圓心為，半徑長為，設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，可得：且，由為圓的任意一條直徑可得：，，，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即.故答案為：.14、【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，可得結(jié)果.【詳解】由特稱命題否定是全稱命題，故條件不變，否定結(jié)論所以“”的否定為“”故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查特稱命題的否定是全稱命題，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】由可得，從而可求出實(shí)數(shù)a的值【詳解】因?yàn)橹本€與，且，所以，解得，故答案：16、【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，由向量法可得，令，，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求得的最大值，從而可得答案【詳解】解：由題意，根據(jù)已知條件，直線AB，AD，AQ兩兩互相垂直，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)，則，0，，，0，，，1，，設(shè)，，，，，，，，，，，令，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，時(shí)，函數(shù)取得最大值，的最大值為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，A1P=【解析】（1）作出線面角，因?yàn)閷?duì)邊為定值，所以鄰邊最小時(shí)線面角最大；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求二面角列方程可得.【小問1詳解】直線PN與平面A1B1C1所成的角即為直線PN與平面ABC所成角，過P作,即PN與面ABC所成的角，因?yàn)镻H為定值，所以當(dāng)NH最小時(shí)線面角最大，因?yàn)楫?dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，,此時(shí)NH最小，即PN與平面ABC所成角最大，此時(shí).【小問2詳解】以AB,AC,AA1為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系，則：A（0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1)設(shè)=，，，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，解得，平面AC1C的法向量為,.所以P點(diǎn)為A1B1的四等分點(diǎn)，且A1P=.18、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）由已知證得，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示和線面垂直的判定定理可得證；（2）根據(jù)二面角的空間向量求解方法可得答案；（3）設(shè)，表示點(diǎn)Q，再利用線面角的空間向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，，又因?yàn)椋瑒t以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，，，，，，所以，，，因?yàn)?，，所以，，又，平面，平面，所以平?（2）由（1）可知平面，可作為平面的法向量，設(shè)平面的法向量因?yàn)椋?所以，即，不妨設(shè)，得.，又由圖示知二面角為銳角，所以二面角的正弦值為.（3）設(shè)，即，，所以，即，因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，所以，即，解得，即.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量求線面垂直、線面角、二面角的求法，向量法求二面角的步驟：建、設(shè)、求、算、?。?、建：建立空間直角坐標(biāo)系，以三條互相垂直的垂線的交點(diǎn)為原點(diǎn)；2、設(shè)：設(shè)所需點(diǎn)的坐標(biāo)，并得出所需向量的坐標(biāo)；3、求：求出兩個(gè)面的法向量；4、算：運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算，求兩個(gè)法向量的夾角的余弦值；5、取：根據(jù)二面角的范圍和圖示得出的二面角是銳角還是鈍角，再取值.19、（1）拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為，（2）【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)可求出的值，從而求出拋物線的方程，即可得到準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)，，，，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立消去，整理得，得到根與系數(shù)的關(guān)系，由拋物線的定義可知，代入即可求出所求【小問1詳解】解：由焦點(diǎn)，得，解得所以拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為，【小問2詳解】解：設(shè)，，，直線的方程為.與拋物線方程聯(lián)立，得，消去，整理得，由拋物線定義可知，所以線段的長為20、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）利用等比數(shù)列的定義結(jié)合已知條件即可得到證明.（2）運(yùn)用分組求和的方法，利用等比數(shù)列和等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】（1）證明：∵，∴數(shù)列為首項(xiàng)是2，公比是2的等比數(shù)列.∴，∴.（2）由（1）知，，【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查分組求和的方法，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）10；（2）甲的成績比乙更穩(wěn)定.【解析】（1）根據(jù)甲乙成績求他們的平均成績，由平均成績相等列方程求參數(shù)a的值.（2）由已知數(shù)據(jù)及（1）的結(jié)果，求甲乙的方差并比較大小，即可知哪位運(yùn)動(dòng)員成績更穩(wěn)定.【小問1詳解】由題意，甲的平均成績?yōu)?，乙的平均成績?yōu)?，又甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員的平均成績是一樣的，有，解得，故實(shí)數(shù)a為10；【小問2詳解】甲的方差，乙的方差，由，知：甲的成績比乙更穩(wěn)定.22、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)離心率的定義以及橢圓與拋物線焦點(diǎn)的關(guān)系，可以求出橢圓方程；（2）