模糊子群的性質(zhì)及其等價(jià)刻畫(huà)

模糊子群的性質(zhì)及其等價(jià)刻畫(huà)

自franfeld提出了模糊序列的定義以來(lái)，對(duì)模棱兩可代的研究取得了許多成果。盡管mordeson出版了一本關(guān)于這一問(wèn)題的專業(yè)書(shū)籍，但仍需要注意的是，現(xiàn)有的模糊序列是在經(jīng)典迭代結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上研究的（如模糊群、模糊子環(huán)等）。沒(méi)有定義“經(jīng)典”結(jié)構(gòu)。因此，有必要定義一個(gè)具有“經(jīng)典”結(jié)構(gòu)的模糊序列。在之前的研究中，假設(shè)（g，o）是一個(gè)群體，并研究該結(jié)構(gòu)中的模糊序列。我們知道集合是否形成一個(gè)群體，以及組成什么樣的群與二次運(yùn)算結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。然后，如果將“模糊”二次運(yùn)算集轉(zhuǎn)換為j，則g是否與模糊運(yùn)算方法意義上的群？在這項(xiàng)工作中，我們討論了這個(gè)問(wèn)題，并提供了一組模糊二次運(yùn)算符（smoth組）。然而，在這項(xiàng)工作中，smoth組的單位元是無(wú)限的，元素的逆元是無(wú)限的，這給研究問(wèn)題帶來(lái)了不便，這與經(jīng)典組相去甚遠(yuǎn)。本文使用文本環(huán)的擴(kuò)散行為定義了一種新的模糊二次運(yùn)算方法。該算法用于導(dǎo)入排列g(shù)中元素之間的運(yùn)行性運(yùn)行（我們也被稱為模糊二次運(yùn)行性運(yùn)行性運(yùn)行性運(yùn)行性運(yùn)行性運(yùn)行性結(jié)果（也稱為模糊二次運(yùn)行性差）。然后，對(duì)模糊組的定義進(jìn)行了描述。1《低意義的模糊自適應(yīng)》函示定義1設(shè)θ∈[0,1),G為一個(gè)非空集合,R為G×G到G上的一個(gè)模糊關(guān)系.若(1)?a,b∈G,?c∈G,使R(a,b,c)>θ;(2)?a,b∈G,?c1,c2∈G,R(a,b,c1)>θ且R(a,b,c2)>θ?c1=c2.(2)則稱R為G上一個(gè)模糊二元運(yùn)算.設(shè)R為G上一個(gè)模糊二元運(yùn)算,則R可導(dǎo)出一個(gè)映射R∶F(G)×F(G)→F(G),(A,B)|→R(A,B)這里R(A?B)(c)=∨a,b∈G(A(a)∧B(b)∧R(a,b,c)).(3)當(dāng)A={a},B=時(shí),R(A,B)簡(jiǎn)記為a。b,則(a。b)(c)=R(a,b,c),?c∈G.(4)這樣,?a,b∈G,則a與b之間便定義了一種運(yùn)算,由于是模糊運(yùn)算,所以a。b為G的一個(gè)模糊子集.顯然,有以下結(jié)論:((a?b)?c)(z)=∨d∈G(a,b,d)∧R(d,c,z))(5)((a?(b?c))(z)=∨d∈G(R(b,c,d)∧R(a,d,z))(6)定義2設(shè)G為非空集合,R為G上一個(gè)模糊二元運(yùn)算,若(G1)((a。b)。c)(z1)>θ且(a。(b。c))(z2)>θ?z2=z2,則稱。滿足模糊結(jié)合律.(G2)若?e∈G,使(e。a)(a)>θ且(a。e)(a)>θ,?a∈G,則稱e為G的一個(gè)單位元.(G3)?a∈G,?b∈G,使(a。b)(e)>θ且(b。a)(e)>θ,則稱b為a的一個(gè)逆元.若。滿足(G1)—(G3),則稱G為一個(gè)模糊群.記作(G,。,F(G)).2rabr,bbb命題1設(shè)(G,。,F(G))為一個(gè)模糊群,則(1)G的單位元e為唯一的.(2)(a。a)(a)>θ?a=e.(3)(a。b)(d)>θ且(a。c)(d)>θ?b=c.(4)(b。a)(d)>θ且(c。a)(d)>θ?b=c.(5)?a∈G,a的逆元為唯一的(將a的逆元記作a-1).(6)(a-1)-1=a.(7)(b-1。a-1)(c)>θ且(a。b)(d)>θ?c=d-1.證只證(3)和(7),其它顯然.(3)由于存在h∈G,使R(a-1,d,h)>θ,所以(a-1?(a?b))(h)=∨x∈G(R(a,b,x)∧R(a-1,x,b))≥R(a,b,d)∧R(a-1,d,h)＞θ而((a-1?a)?b)(b)=∨x∈G(R(a-1,a,x)∧R(x,b,b))≥R(a-1,a,e)∧R(e,b,b)＞θ由定義2的(G1)知:h=b.又(a-1?(a?c))(b)=∨x∈R(R(a,c,x)∧R(a-1,x,b)≥R(a,c,x)∧R(a-1,d,b)＞θ((a-1?a)?c)(c)=∨x∈G(R(a-1,a,x)∧R(x,c,c))≥R(a-1,a,e)∧R(e,c,c)＞θ(7)設(shè)h∈G,使R(b,c,h)>θ,則(b?(b-1?a-1))(h)=∨x∈G(R(b-1,a-1,x)∧R(b,x,h))≥R(b-1,a-1,c)∧R(b,c,h)＞θ(b?b-1)?a-1)(a-1)=∨x∈GR(b,b-1,x)∧R(x,a-1,a-1)≥R(b,b-1,e)∧R(e,a-1,a-1)＞θ所以h=a-1,即R(b,c,a-1)>θ.設(shè)k∈G,使R(d,c,k)>θ,則((a?b)?c)(k)=∨x∈G(R(a,b,x)∧(x,c,k))≥R(a,b,d)∧R(d,c,k)＞θ(a。(b。c))(e)=∨(R(b,c,x)∧R(a,x,e))≥R(b,c,a-1)∧R(a,a-1,e)>θ所以k=e.即R(d,c,e)>θ.由于(d。c)(e)=R(d,c,e)>θ,故c=d-1.3elel定義3設(shè)(G,。)滿足定義2中的(G1),(G2)′若存在el∈G,使(el。a)(a)>θ,?a∈G.則稱el為G的左單位元.(G3)′若對(duì)每個(gè)a∈G,存在b∈G使(b。a)(el)>θ,則稱b為a的左逆元.若(G,。)滿足(G1),(G2)′和(G3)′,則稱G為一個(gè)模糊群.定理1定義2與定義3為等價(jià)的.證只須由定義3推出定義2.先證(a。b)(el)>θ,即R(a,b,el)>θ.設(shè)c∈G,使R(a,b,c)>θ,令d∈G,h∈G,使R(a,el,d)>θ(即(a。el)(d)>θ)),R(c,a,h)>θ則(a?(b?a))(d)=∨x∈G(R(b,a,x)∧R(a,x,d))≥R(b,a,el)∧R(a,el,d)＞θ((a?b)?a)(h)=∨x∈G(R(a,b,x)∧R(x,a,h))≥R(a,b,c)∧R(c,a,h)＞θ故d=h.即R(c,a,d)>θ.又設(shè)k∈G,使R(d,b,k)>θ,則(a?(el?b))(c)=∨x∈G(R(el,b,x)∧R(a,x,c))≥R(el,b,b)∧R(a,b,c)＞θ(a?el)?b)(k)=∨x∈G(R(a,el,x)∧R(x,b,k))≥R(a,el,d)∧R(d,b,k)＞θ則c=k.則R(d,b,c)>θ.設(shè)u∈G,使R(c,c,u)>θ,則(c?(a?b)(u)=∨x∈G(R(a,b,x)∧R(c,x,u))≥R(a,b,c)∧R(c,c,u)＞θ((c?a)?b)(c)=∨x∈G(R(c,a,x)∧R(x,b,c))≥R(c,a,d)∧R(d,b,c)＞θ則u=c.于是有(c。c)(c)>θ,由命題1(2)的證明知:c=el.則(a。b)(el)>θ.又(a?(b?a))(d)=∨x∈G(R(b,a,x)∧R(a,x,d))≥R(b,a,el)∧R(a,el,d)＞θ((a?b)?a)(a)=∨x∈G(R(a,b,x)∧R(x,a,a))≥R(a,b,el)∧R(el,a,a)＞θ故d=a.即(a。el)(a)>θ.因此,el為右單位元.則(G,。)滿足定義2的要求.定義4設(shè)(G,。)滿足定義2的(G1).(G2)″若er∈G,使(a。er)(a)>θ,?a∈=G.則稱er為G的一個(gè)右單位元.(G3)″若?a∈G,存在b∈G,使(a。b)(er)>θ,則稱b為a的一個(gè)右逆元.若(G1),(G2)″,(G3)″成立,則稱G為一個(gè)模糊群.定理2定義2與定義4等價(jià).定理2的證明與定理1的證明類(lèi)似.定義5設(shè)(G,。)滿足定義2中的(G1),若?a,b∈G,?x,y∈G,使(a。x)(b)>θ,(y。a)(b)>θ,則稱G為一個(gè)模糊群.定理3定義2與定義5等價(jià).證設(shè)定義2成立.設(shè)x∈G,u∈G,使R(a-1,b,x)>θ,R(a,x,u)>θ,則(a?(a-1?b))(u)=∨d∈R(R(a-1?b,d)∧R(a,d,u))＞θ≥R(a-1,b,x)∧R(a,x,u)＞θ(a?a-1)?b)(b)=∨d∈G(R(a,a-1,d)∧R(d,b,b))≥R(a,a-1,e)∧R(e,b,b)＞θ故u=b.則R(a,x,b)>θ,即(a。x)(b)>θ同理可證:ヨy∈G,使(y。a)(b)>θ.因此定義3成立.反之,設(shè)定義3成立.設(shè)c∈G,則?e*,x∈G,使R(e*,c,c)>θ,R(c,x,a)>θ同時(shí)存在d∈G,使R(e*,a,d)>θ.則(e*?(c?x))(d)=∨h∈G(