安徽省蕪湖市名校2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

安徽省蕪湖市名校2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知平面的一個(gè)法向量為，則x軸與平面所成角的大小為（）A. B.C. D.2．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)3．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.4．?dāng)?shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的第（）A.項(xiàng) B.項(xiàng)C.項(xiàng) D.項(xiàng)5．已知點(diǎn)A、是拋物線：上的兩點(diǎn)，且線段過拋物線的焦點(diǎn)，若的中點(diǎn)到軸的距離為3，則（）A.3 B.4C.6 D.86．，，，，設(shè)，則下列判斷中正確的是（）A. B.C. D.7．設(shè)兩個(gè)變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)為，回歸方程為，那么必有（）A.與符號(hào)相同 B.與符號(hào)相同C.與符號(hào)相反 D.與符號(hào)相反8．已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，，，則點(diǎn)P到直線AB的距離為（）A. B.C. D.9．直線過雙曲線：的右焦點(diǎn)，在第一、第四象限交雙曲線兩條漸近線分別于P，Q兩點(diǎn)，若∠OPQ＝90°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則OPQ內(nèi)切圓的半徑為（）A. B.C.1 D.10．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（）A. B.C. D.11．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.20 B.30C.40 D.5012．△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)則的值為.____14．沈陽市某高中有高一學(xué)生600人，高二學(xué)生500人，高三學(xué)生550人，現(xiàn)對(duì)學(xué)生關(guān)于消防安全知識(shí)了解情況進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取了一個(gè)容量為n的樣本，其中高三學(xué)生有11人，則n的值等于________.15．在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)、、滿足，則實(shí)數(shù)的值為__________.16．若和或都是假命題，則的范圍是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖1是，，，，分別是邊，上兩點(diǎn)，且，將沿折起使得，如圖2.（1）證明：圖2中，平面；（2）圖2中，求二面角的正切值.18．（12分）已知一張紙上畫有半徑為4的圓O，在圓O內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)A，且，折疊紙片，使圓上某一點(diǎn)剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當(dāng)取遍圓上所有點(diǎn)時(shí)，所有折痕與的交點(diǎn)形成的曲線記為C.（1）求曲線C的焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過曲線C的右焦點(diǎn)（左焦點(diǎn)為）的直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，記的面積為S，試求S的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)f（x）+alnx，實(shí)數(shù)a＞0（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f（x）在x＝1處的切線方程；（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，10）上的單調(diào)性和極值情況；（3）若存在x∈（0，+∞），使得關(guān)于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20．（12分）如圖，已知平面，底面為正方形，，分別為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值21．（12分）設(shè)函數(shù).（1）若在點(diǎn)處的切線為，求a，b的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間.22．（10分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】依題意可得軸的方向向量可以為，再利用空間向量法求出線面角的正弦值，即可得解；【詳解】解：依題意軸的方向向量可以為，設(shè)x軸與平面所成角為，則，因?yàn)?，所以，故選：C2、B【解析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意等號(hào)成立條件，再根據(jù)題設(shè)不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【詳解】由題設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故選：B.3、C【解析】根據(jù)兩直線垂直可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由兩直線垂直得：，解得：.故選：C.4、A【解析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)【詳解】數(shù)列為，故通項(xiàng)公式為，是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).故選：A.5、D【解析】直接根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦長公式以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求結(jié)果【詳解】設(shè)，，則的中點(diǎn)到軸的距離為，則故選：D6、D【解析】通過湊配構(gòu)造的方式，構(gòu)造出新式子，且可以化簡為整數(shù)，然后利用放縮思想得到S的范圍.【詳解】解：，，，，，；，.故選：D7、A【解析】利用相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，分析即得解【詳解】相關(guān)系數(shù)r為正，表示正相關(guān)，回歸直線方程上升，r為負(fù)，表示負(fù)相關(guān)，回歸直線方程下降，與r的符號(hào)相同故選：A8、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【詳解】，0，，，1，，，，，，在上的投影為，則點(diǎn)到直線的距離為.故選：D9、B【解析】根據(jù)漸近線的對(duì)稱性，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義、正切的二倍角公式、直角三角形內(nèi)切圓半徑公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，雙曲線的漸近線方程為：，因此，因?yàn)椤螼PQ＝90°，所以三角形是直角三角形，，而，解得：，由雙曲線漸近線的對(duì)稱性可知：，于是有，在直角三角形中，，由勾股定理可知：，設(shè)OPQ內(nèi)切圓的半徑為，于是有：，即，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.10、C【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合垂直關(guān)系計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，于是得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的斜率，而直線的斜率為，依題意，，即，解得，所以.故選：C11、B【解析】利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則，由得，即，解得或（舍），且代入①得，則，所以.故選：B.12、D【解析】根據(jù)三角形的周長得出，再由橢圓的定義得頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點(diǎn)C的軌跡方程.【詳解】因?yàn)?，所以，所以頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點(diǎn)C的軌跡方程是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，求解時(shí)，注意去掉不滿足的點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解析】詳解】試題分析：由題意，得，所以，解得，所以考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算14、33【解析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槌槿×艘粋€(gè)容量為n的樣本，其中高三學(xué)生有11人，所以有，故答案為：3315、##【解析】分析可知，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，，因?yàn)?，則，即，解得.故答案為：.16、【解析】先由和或都是假命題，求出x的范圍，取交集即可.【詳解】若為假命題，則有或若或是假命題，則所以的范圍是即的范圍是胡答案：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）、利用線面垂直的判定，及線面垂直的性質(zhì)即可證明；（2）、建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面、平面的法向量，利用求出兩平面所成角的余弦值，進(jìn)而求出求二面角的正切值.【小問1詳解】由已知得：,平面，又平面,在中，,由余弦定理得：，，即，平面.【小問2詳解】由（1）知：平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則與，即與,..,觀察可知二面角為鈍二面角，二面角的正切值為.18、（1）；（2）﹒【解析】(1)根據(jù)題意，作出圖像，可得，由此可知M的軌跡C為以O(shè)、A為焦點(diǎn)的橢圓；(2)分為l斜率存在和不存在時(shí)討論，斜率存在時(shí)，直線方程和橢圓方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理表示的面積，根據(jù)變量范圍可求面積的最大值﹒【小問1詳解】以O(shè)A中點(diǎn)G坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：∴可知，，設(shè)折痕與和分別交于M，N兩點(diǎn)，則MN垂直平分，∴，又∵，∴，∴M的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，4為長軸的橢圓．∴M的軌跡方程C為；【小問2詳解】設(shè)，，則的周長為當(dāng)軸時(shí)，l的方程為，，，當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，由得，∵＞0，∴，，，令，則，，∵，∴，∴.綜上可知，S的取值范圍是19、（1）4x﹣y+2＝0（2）答案見解析（3）（0，2）∪（2，+∞）【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程；（2）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，分a、0＜a兩種情況討論求出答案即可；（3）由題意可得存在x∈（0，+∞），使得不等式成立，令，x＞0，求得其最小值，再把最小值看成關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)性和極值可得答案【小問1詳解】函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)a＝2時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為4，可得f（x）在x＝1處的切線的斜率為4，又f（1）＝6，所以f（x）在x＝1處的切線的方程為y﹣6＝4（x﹣1），即4x﹣y+2＝0；【小問2詳解】f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）a2，x＞0，令f′（x）＝0，可得x（舍去），①當(dāng)010，即a時(shí)，當(dāng)0＜x時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)x＜10時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增所以f（x）在（0，）上遞減，在（，10）上遞增，f（x）在x處取得極小值，無極大值；②當(dāng)10即0＜a時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，10）上遞減，無極值綜上可得，當(dāng)a時(shí)，f（x）在（0，）單調(diào)遞減，在（，10）上單調(diào)遞增，f（x）在x時(shí)取得極小值，無極大值當(dāng)0＜a時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，10）上遞減，無極值；【小問3詳解】存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＜2+a2x成立等價(jià)為存在x∈（0，+∞），使得不等式alnx﹣2＜0成立令，x＞0，g′（x），因?yàn)閍＞0，可得當(dāng)0＜x時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)x時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增，所以當(dāng)x時(shí)，g（x）取得極小值，且為最小值，由題意可得，令，，令h′（x）＝0，可得x＝2，當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減所以當(dāng)x＝2時(shí)，h（x）取得極大值，且為最大值h（2）＝0所以滿足的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，2）∪（2，+∞）20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.（2）利用直線的方向向量，平面的法向量，計(jì)算線面角的正弦值.【詳解】（1）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則.，，所以,由于，所以平面.（2），，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以.設(shè)直線與平面所成角為，則.21、（1），；（2）答案見解析.【解析】（1）已知切線求方程參數(shù)，第一步求導(dǎo)，切點(diǎn)在曲線，切點(diǎn)在切線，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率.(2)第一步定義域，第二步求導(dǎo)，第三步令導(dǎo)數(shù)大于或小于0，求解析，即可得到答案.【小問1詳解】的定義域?yàn)?，，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線為，所以，所以；所以把點(diǎn)代入得：.即a，b的值為：，.【小問2詳解】由（1）知：.①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，列表得：x-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，時(shí)，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.綜