2024屆山東省棗莊市現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測試題含解析

2024屆山東省棗莊市現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)z滿足（其中為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.2．函數(shù)圖象的一個對稱中心為（）A. B.C. D.3．世界上最早在理論上計(jì)算出“十二平均律”的是我國明代杰出的律學(xué)家朱載堉，他當(dāng)時稱這種律制為“新法密率”十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它前一個單音的頻率的比都相等，且最后一個單音是第一個單音頻率的2倍.已知第十個單音的頻率，則與第四個單音的頻率最接近的是（）A.880 B.622C.311 D.2204．已知等比數(shù)列中，，，則首項(xiàng)（）A. B.C. D.05．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.和 B.和C.和 D.和6．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的極大值為，無極小值 B.函數(shù)的極小值為，無極大值C.函數(shù)的極大值為0，無極小值 D.函數(shù)的極小值為0，無極大值7．已知直線過點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有兩個不同的交點(diǎn)時，其斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，公比為，則（）A. B.C. D.9．若向量，，則（）A. B.C. D.10．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.y=±2x B.y=C. D.11．已知函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍是（）A. B.C. D.12．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則__________14．直線的傾斜角的取值范圍是______.15．生活中有這樣的經(jīng)驗(yàn)：三腳架在不平的地面上也可以穩(wěn)固地支撐一部照相機(jī).這個經(jīng)驗(yàn)用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)公理可以表述為___________.16．若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，為側(cè)棱上一點(diǎn)（1）求證：；（2）若為中點(diǎn)，平面與側(cè)棱于點(diǎn)，且，求四棱錐的體積18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比為.動點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，并說明曲線是什么圖形；（2）已知曲線與軸的交點(diǎn)分別為，點(diǎn)是曲線上異于的一點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.19．（12分）已知，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)A在橢圓C上，且的周長為.（1）求橢圓C的方程；（2）若B為橢圓C上頂點(diǎn)，過的直線與橢圓C交于兩個不同點(diǎn)P、Q，直線BP與x軸交于點(diǎn)M，直線BQ與x軸交于點(diǎn)N，判斷是否為定值.若是，求出定值，若不是，請說明理由.20．（12分）p：方程有兩個不等的負(fù)實(shí)數(shù)根；q：方程無實(shí)數(shù)根，若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍、21．（12分）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值22．（10分）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值和最小值（1）求實(shí)數(shù)、的值；（2）設(shè)，若不等式，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】，因此，.故選：B2、D【解析】要求函數(shù)圖象的一個對稱中心的坐標(biāo),關(guān)鍵是求函數(shù)時的的值;令,根據(jù)余弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得,此時可求出,然后對進(jìn)行取值,進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】解:令,則解得,即,圖象的對稱中心為,令,即可得到圖象的一個對稱中心為故選:D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的對稱中心,正弦函數(shù)的對稱中心為,余弦函數(shù)的對稱中心為.3、C【解析】依題意，每一個單音的頻率構(gòu)成一個等比數(shù)列，由，算出公比，結(jié)合，即可求出.【詳解】設(shè)第一個單音的頻率為，則最后一個單音的頻率為，由題意知，且每一個單音的頻率構(gòu)成一個等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，解得：又，則與第四個單音的頻率最接近的是311,故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是分析題意將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的知識，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程組，即可求得，進(jìn)而可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，則，解得，所以.故選：B5、D【解析】本題是焦點(diǎn)在x軸的橢圓，求出c，即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為和.故選：D6、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)來求得的極值.【詳解】的定義域?yàn)?，，在遞增；在遞減，所以的極大值為，沒有極小值.故選：A7、A【解析】設(shè)直線方程，利用圓與直線的關(guān)系，確定圓心到直線的距離小于半徑，即可求得斜率范圍.【詳解】如下圖：設(shè)直線l的方程為即圓心為，半徑是1又直線與圓有兩個不同的交點(diǎn)故選：A8、D【解析】根據(jù)求解即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列，，所以.故選：D9、D【解析】由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得數(shù)量積，模，結(jié)合向量的共線定義判斷【詳解】由已知，，，與不垂直，若，則，，但是，，因此與不共線故選：D10、B【解析】雙曲線的離心率為，漸進(jìn)性方程為，計(jì)算得，故漸進(jìn)性方程為.【考點(diǎn)定位】本小題考查了離心率和漸近線等雙曲線的性質(zhì).11、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可解不等式【詳解】由則函數(shù)在上單調(diào)遞增又，所以，解得故選：A12、B【解析】根據(jù)雙曲線的方程，求得，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，所以，且雙曲線的焦點(diǎn)再軸上，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.【詳解】是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：可得：.故答案：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】先求出直線的斜率取值范圍，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求出【詳解】可化為：，所以，由于，結(jié)合函數(shù)在上的圖象，可知故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查斜率與傾斜角的關(guān)系的應(yīng)用，以及直線的一般式化斜截式，屬于基礎(chǔ)題15、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個平面【解析】根據(jù)題意結(jié)合平面公理2即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可知，三腳架與地面接觸的三個點(diǎn)不在同一直線上，則為數(shù)學(xué)中的平面公理2：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個平面.故答案為：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個平面.16、【解析】根據(jù)離心率得出，結(jié)合得出關(guān)系，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可得出；（2）分析可知為的中點(diǎn)，平面，計(jì)算出梯形的面積，利用錐體的體積公式可求得四棱錐的體積【小問1詳解】證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，因?yàn)閭?cè)面底面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】解：因?yàn)椋矫?，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，所以，，則，所以，四邊形是直角梯形，又是中點(diǎn)，所以，，所以，由平面，平面，所以，從而，正三角形中，是中點(diǎn)，，即，，所以平面，因?yàn)?，所?18、（1），曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓；（2）證明見解析.【解析】（1）由題可得，即求；（2）利用斜率公式及橢圓方程計(jì)算即得.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意，得，左右同時平方，得，整理得，，即，所以曲線的方程是，曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓.【小問2詳解】由題意得，設(shè)的坐標(biāo)是，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，因?yàn)椋?，所以為定?19、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓的定義可得，而離心率，解方程組，即可得解；（2）設(shè)直線的方程為，將其與橢圓的方程聯(lián)立，由，，三點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線，的方程，進(jìn)而知點(diǎn)，的坐標(biāo)，再結(jié)合韋達(dá)定理，進(jìn)行化簡，即可得解【小問1詳解】解：因?yàn)榈闹荛L為，所以，即，又離心率，所以，，所以，故橢圓的方程為【小問2詳解】解：由題意知，直線的斜率一定不可能為0，設(shè)其方程為，，，，，聯(lián)立，得，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)為，所以直線的方程為，所以點(diǎn)，，直線的方程為，所以點(diǎn)，，所以，即為定值20、【解析】利用復(fù)合命題的真假推出兩個命題為一真一假，求出m的范圍即可.【詳解】：方程有兩個不等的負(fù)實(shí)數(shù)根，解得，：方程無實(shí)數(shù)根，解得，所以：，：或.因?yàn)闉檎婷}，為假命題，所以真假，或假真.（1）當(dāng)真假時，即真為真，所以，解得；（2）當(dāng)假真時，即真為真，所以，解得.綜上，取值范圍為21、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計(jì)算證明；（Ⅱ）可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計(jì)算；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算求解.【詳解】（Ⅰ）[方法一]：幾何法如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；[方法二]:空間向量坐標(biāo)法以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：幾何法延長到，使得，連接，交于，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,連接，作,垂足為,連接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直線平面,又∵直線平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直線上,∴直線為直線在平面中的射影，∠為直線與平面所成的角，根據(jù)直線直線，可知∠為直線與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長為2，則,,∴,∴,∴,即直線與平面所成角的正弦值為.[方法二]：向量法接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.[方法三]：幾何法+體積法如圖，設(shè)的中點(diǎn)為F，延長，易證三線交于一點(diǎn)P因?yàn)椋灾本€與平面所成的角，即直線與平面所成的角設(shè)正方體的棱長為2，在中，易得，可得由，得，整理得所以所以直線與平面所成角的正弦值為[方法四]：純體積法設(shè)正方體的棱長為2，點(diǎn)到平面的距離為h，在中，，，所以，易得由，得，解得，設(shè)直線與平面所成的角為，所以【整體點(diǎn)評】（Ⅰ）的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明；（II）第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計(jì)算論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計(jì)算較為簡潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計(jì)算，省卻