2024屆湖南株洲市第十八中學高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題含解析

2024屆湖南株洲市第十八中學高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《九章算術》是我國古代的數(shù)學巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增的等差數(shù)列，這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數(shù)為（）A.14 B.16C.18 D.202．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.23．已知直線、的方向向量分別為、，若，則等于（）A.1 B.2C.0 D.34．如圖，雙曲線的左，右焦點分別為，，過作直線與C及其漸近線分別交于Q，P兩點，且Q為的中點．若等腰三角形的底邊的長等于C的半焦距．則C的離心率為（）A. B.C. D.5．如圖給出的是一道典型的數(shù)學無字證明問題：各矩形塊中填寫的數(shù)字構成一個無窮數(shù)列，所有數(shù)字之和等于1.按照圖示規(guī)律，有同學提出了以下結論，其中正確的是（）A.由大到小的第八個矩形塊中應填寫的數(shù)字為B.前七個矩形塊中所填寫的數(shù)字之和等于C.矩形塊中所填數(shù)字構成的是以1為首項，為公比的等比數(shù)列D.按照這個規(guī)律繼續(xù)下去，第n-1個矩形塊中所填數(shù)字是6．在等比數(shù)列{}中，，，則=（）A.9 B.12C.±9 D.±127．如圖，在四面體中，，，，分別為，，，的中點，則化簡的結果為（）A. B.C. D.8．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言，務要分明依次第，孝和休惹外人傳.”意為：“996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第一個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止.分配時一定要依照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說閑話.”在這個問題中，第5個孩子分到棉花為（）A.133斤 B.116斤C.99斤 D.65斤9．在正方體中，下列幾種說法不正確的是A. B.B1C與BD所成的角為60°C.二面角的平面角為 D.與平面ABCD所成的角為10．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，已知向量，，且，則A.12 B.10C.5 D.11．已知數(shù)列的通項公式為，是數(shù)列的最小項，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）A.是函數(shù)的極大值點B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.是函數(shù)的最小值點D.曲線在處切線的斜率小于零二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間四邊形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，EF=，則異面直線AD與BC所成角的大小為____.14．已知命題p：若，則，那么命題p的否命題為______15．已知為坐標原點，等軸雙曲線的右焦點為，點在雙曲線上，由向雙曲線的漸近線作垂線，垂足分別為、，則四邊形的面積為______.16．已知直線和平面，且；①若異面，則至少有一個與相交；②若垂直，則至少有一個與垂直；對于以上命題中，所有正確的序號是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍（2）若是方程的兩個不相等的實數(shù)根，證明：18．（12分）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）已知點，直線l與曲線C交于A，B兩點，且，直線l是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由19．（12分）已知曲線C的方程為（1）判斷曲線C是什么曲線，并求其標準方程；（2）過點的直線l交曲線C于M，N兩點，若點P為線段MN的中點，求直線l的方程20．（12分）已知直線l的斜率為-2，且與兩坐標軸的正半軸圍成三角形的面積等于1．圓C的圓心在第四象限，直線l經(jīng)過圓心，圓C被x軸截得的弦長為4．若直線x－2y－1＝0與圓C相切，求圓C的方程21．（12分）已知拋物線：上的點到焦點的距離為（1）求拋物線的方程；（2）設縱截距為的直線與拋物線交于，兩個不同的點，若，求直線的方程22．（10分）已知數(shù)列的前n項和（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題可知這是一個等差數(shù)列，前項和，，列式求基本量即可.【詳解】設每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數(shù)為.故選：B2、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當且僅當，即時，“”成立.故選：D【點睛】使用基本不等式解答問題的策略：1、利用基本不等式求最值時，要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件；2、若多次使用基本不等式時，容易忽視等號的條件的一致性，導致錯解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.3、C【解析】由可得出，利用空間向量數(shù)量積的坐標運算可得出關于實數(shù)的等式，由此可解得實數(shù)的值.【詳解】若，則，所以，所以，解得.故選：C4、C【解析】先根據(jù)等腰三角形的性質得，再根據(jù)雙曲線定義以及勾股定理列方程，解得離心率.【詳解】連接，由為等腰三角形且Q為的中點，得，由知．由雙曲線的定義知，在中，，（負值舍去）故選：C【點睛】本題考查雙曲線的定義、雙曲線的離心率，考查基本分析求解能力，屬基礎題.5、B【解析】根據(jù)題意可得矩形塊中的數(shù)字從大到小形成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可求.【詳解】設每個矩形塊中的數(shù)字從大到小形成數(shù)列，則可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，，所以由大到小的第八個矩形塊中應填寫的數(shù)字為，故A錯誤；前七個矩形塊中所填寫的數(shù)字之和等于，故B正確；矩形塊中所填數(shù)字構成的是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故C錯誤；按照這個規(guī)律繼續(xù)下去，第個矩形塊中所填數(shù)字是，故D錯誤.故選：B.6、D【解析】根據(jù)題意，設等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的性質求出，再求出【詳解】根據(jù)題意，設等比數(shù)列的公比為，若，，則，變形可得，則，故選：7、C【解析】根據(jù)向量的加法和數(shù)乘的幾何意義，即可得到答案；【詳解】故選：C8、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式、等差數(shù)列的通項公式進行求解即可.【詳解】依題意得，八個子女所得棉花斤數(shù)依次構成等差數(shù)列，設該等差數(shù)列為，公差為d，前n項和為，第一個孩子所得棉花斤數(shù)為，則由題意得，，解得，故選：A9、D【解析】在正方體中，利用線面關系逐一判斷即可.【詳解】解：對于A，連接AC，則AC⊥BD，A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正確；對于B，∵B1C∥D，即B1C與BD所成的角為∠DB，連接△DB為等邊三角形，∴B1C與BD所成的角為60°，故B正確；對于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B?平面A1ABB1，∴BC⊥A1B，∵AB⊥BC，平面A1BC∩平面BCD＝BC，A1B?平面A1BC，AB?平面BCD，∴∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正確；對于D，∵C1C⊥平面ABCD，AC1∩平面ABCD＝A，∴∠C1AC是AC1與平面ABCD所成的角，∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D錯誤故選D【點睛】本題考查了線面的空間位置關系及空間角，做出圖形分析是關鍵,考查推理能力與空間想象能力10、C【解析】利用數(shù)量積運算性質、等比數(shù)列的性質及其對數(shù)運算性質即可得出【詳解】向量＝（，），＝（，），且?＝4，∴+＝4，由等比數(shù)列的性質可得：＝……＝＝＝2，則log2（?）＝故選C【點睛】本題考查數(shù)量積運算性質、等比數(shù)列的性質及其對數(shù)運算性質，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題11、D【解析】利用最值的含義轉化為不等式恒成立問題解決即可【詳解】解：由題意可得，整理得，當時，不等式化簡為恒成立，所以，當時，不等式化簡為恒成立，所以，綜上，，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D12、B【解析】根據(jù)導函數(shù)的圖象，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點，即可判斷；【詳解】解：由導函數(shù)的圖象可知，當時，當時，當時，當或時，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極小值即最小值，所以是函數(shù)的極小值點與最小值點，因為，所以曲線在處切線的斜率大于零，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知找到異面直線所成角的平面角，再運用余弦定理可得答案.【詳解】解：設BD的中點為O，連接EO，F(xiàn)O，所以，則∠EOF（或其補角）就是異面直線AD，BC所成的角的平面角，又因為EO=AD=1，F(xiàn)O=BC=，EF=.根據(jù)余弦定理得=-，所以∠EOF=150°，異面直線AD與BC所成角的大小為30°.故答案為：30°.14、若，則【解析】直接利用否命題的定義，對原命題的條件與結論都否定即可得結果【詳解】因為命題：若，則，所以否定條件與結論后，可得命題的否命題為若，則，故答案為若，則，【點睛】本題主要考查命題的否命題，意在考查對基礎知識的掌握與應用，屬于基礎題15、##【解析】求出雙曲線的方程，可求得雙曲線的兩條漸近線方程，分析可知四邊形為矩形，然后利用點到直線的距離公式以及矩形的面積公式可求得結果.【詳解】因為雙曲線為等軸雙曲線，則，，可得，所以，雙曲線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則，，，所以，四邊形為矩形，設點，則，不妨設點為直線上的點，則，，所以，.故答案為：.16、①②【解析】假設與都不相交得到，得到①正確，若不垂直，上取一點，作交于，得到，得到②正確，得到答案.【詳解】若與都不相交，，，則，同理，故，與異面矛盾，①正確；若不垂直，上取一點，作交于，，，故，，故，，，故，，，故，②正確.故答案為：①②.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）詳見解析【解析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，結合函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，參變分離后，轉化為求函數(shù)的最值，即可求得實數(shù)的取值范圍；（2）將方程的實數(shù)根代入方程，再變形得到，利用分析法，轉化為證明，通過換元，構造函數(shù)，轉化為利用導數(shù)證明，恒成立.【小問1詳解】，，在上單調(diào)遞減，在上恒成立，即，即在，設，，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值是，所以；【小問2詳解】若是方程兩個不相等的實數(shù)根，即又2個不同實數(shù)根，且，，得，即，所以，不妨設，則，要證明，只需證明，即證明，即證明，令，，令函數(shù)，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，所以，，所以，即，即得【點睛】本題考查利用導數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，以及證明不等式，屬于難題，導數(shù)中的雙變量問題，往往采用分析法，轉化為函數(shù)與不等式的關系，通過構造函數(shù)，結合函數(shù)的導數(shù)，即可證明.18、（1），；（2）過，.【解析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切的性質，結合雙曲線的定義進行求解即可；（2）設出直線l的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關系，結合平面向量數(shù)量積的坐標表示公式進行求解判斷即可.【小問1詳解】設圓E的圓心為，半徑為r，則，，所以由雙曲線定義可知，E的軌跡是以M，N為焦點、實軸長為6的雙曲線的右支，所以動圓的圓心E的軌跡方程為，；【小問2詳解】設，，直線l的方程為由得，且，故又，所以又，，所以，即．又故或若，則直線l的方程為，過點，與題意矛盾，所以，故，所以直線l的方程為，過點【點睛】關鍵點睛：利用一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵.19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)橢圓的定義即可判斷并求解；(2)根據(jù)點差法即可求解中點弦斜率和中點弦方程.【小問1詳解】設，，E(x，y)，∵，，且，點的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓設橢圓C的方程為，記，則，，，，，曲線的標準方程為【小問2詳解】根據(jù)橢圓對稱性可知直線l斜率存在，設，則，由①－②得，，∴l(xiāng)：，即.20、【解析】先根據(jù)題意設直線方程，由條