2023-2024學年河南省重點中學高二（上）第一次月考數學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年河南省重點中學高二（上）第一次月考數學試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.在下列四個命題中，正確的是(

)A.若直線的傾斜角越大，則直線斜率越大

B.過點P(x0,y0)的直線方程都可以表示為：y?y0=k(x?x0)2.如圖，在空間四邊形OABC中，點E在OA上，滿足OE=2EA，點A.?12OA+23OB3.直線x?ysiA.[0,π) B.[π44.正四面體的棱長為2，MN是它內切球的一條弦(把球面上任意2個點之間的線段稱為球的弦)，P為正四面體表面上的動點，當弦MN最長時，PM?A.1 B.2 C.3 D.45.冰糖葫蘆是中國傳統(tǒng)小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫蘆如圖1所示，若將山楂看成是大小相同的圓，竹簽看成一條線段，如圖2所示，且山楂的半徑(圖2中圓的半徑)為1，竹簽所在直線方程為2x+y=0

A.2x+y±2=0 B.6.已知直線(3+2λ)x+(3λ?2A.(x?2)2+(y+7.如圖，已知A(5,0)，B(0,5)，從點P(1,A.213

B.210

C.8.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4，EF是棱AB上的一條線段，且EF=1，點Q是棱A1D1的中點，點P是棱C1D1上的動點，則下面四個結論中正確的個數是(

)

①PA.1 B.2 C.3 D.4二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.下列說法正確的是(

)A.若向量a,b,c共面，則它們所在的直線共面

B.若G是四面體OABC的底面△ABC的重心，則OG=13(OA+OB+OC)

C.若OG=?25OA10.已知直線l1：(m+3)x+yA.若l1⊥l2，則m=?125

B.若l1//l2，則m=1或m11.已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC與BD相交于點E.將A.BD⊥CM

B.存在一個位置，使△CDM為等邊三角形

C.DM與BC不可能垂直12.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1A.當λ=μ時，BP/?/平面CB1D1

B.當μ=12時，存在唯一點P使得DP與直線CB1的夾角為π3

C.當三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.經過點P(1,?2)作直線l，若直線l與連接A(0,?114.如圖，在一個120°的二面角的棱上有兩點A，B，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都與棱AB垂直，若AB=2，AC15.如圖，在四棱錐P?ABCD的平面展開圖中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△ADE是以AD

16.函數f(x)=四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知△ABC的頂點B(?1,?3)，AB邊上的高CE所在的直線方程為4x+3y?7=0，18.(本小題12.0分)

如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，∠A1AD=∠A1AB=19.(本小題12.0分)

已知t∈(0,5]，由t確定兩個點P(t,t)，Q(10?t,0)．

(1)寫出直線PQ的方程(答案含t)；

(2)在△O20.(本小題12.0分)

在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答．

①與直線4x?3y+5=0垂直；②過點(5,?5)；③與直線3x+4y+2=0平行．

問題：已知直線l過點P(121.(本小題12.0分)

如圖，某種風箏的骨架模型是四棱錐P?ABCD，四邊形ABCD是等腰梯形，AD//BC，AC∩DB=O，PO⊥平面ABCD，∠BOC=90°，OA22.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，PA=PD=2，AB=1，AD=2，PD⊥AB

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：傾斜角的范圍為(0,π2)時，直線斜率k>0；傾斜角的范圍為(π2,π)時，直線斜率k<0，故A錯誤；

B、當過點P(x0,y0)的直線斜率不存在時，直線方程不能表示為y?y0=k(x?x0)2.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了向量的三角形法則、線性運算法則，考查了推理能力與計算能力，本題屬于基礎題．

利用向量的三角形法則、線性運算法則即可得出．【解答】

解：∵OE=2EA，點F為BC的中點，

∴OE=3.【答案】B

【解析】解：對于直線x?ysinθ+2=0，當sinθ=0時，x=?2，斜率不存在，則傾斜角為π2．

當sinθ∈(04.【答案】B

【解析】解：連接PO，根據題意作圖如下：

設球的球心為O，由題意易知當弦MN的長度最大時，球的直徑即為MN，

根據向量的線性運算可得：

PM?PN=(PO+OM)(PO+ON)=PO2+PO?ON+OM?PO+OM?ON=PO2+P5.【答案】B

【解析】解：由題可設與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為2x+y+c=0，

由點到直線的距離公式可得|c|22+12=1，6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了圓的標準方程，直線過定點的問題，屬于中檔題．

由條件令參數λ的系數等于零，求得x和y的值，即可得到定點P的坐標，由此可以求得過點P的圓的半徑，易得該圓的標準方程．

【解答】

解：由(3+2λ)x+(3λ?2)y+5?λ=0

得到：(2x+3y?1)λ+(3x?2y7.【答案】A

【解析】解：設點P關于y軸的對稱點為P′，

則P′(?1,0)，

設點P關于直線AB：x+y?5=0的對稱點P′′(a,b)，

則b?0a?1×(?1)=8.【答案】C

【解析】解：對于①，當P與D1重合時，PQ與EF垂直，故①錯誤；

對于②，∵P是棱C1D1上的動點，EF是棱AB上的一條線段，

∴平面PEF即平面ABC1D1，

以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，

則Q(2,0,4)，A(4,0,0)，B(4,4,0)，

∴QA=(2,0,?4)，AB=(0,4,0)，平面QEF即平面QAB，

設平面QAB的法向量為n=(x,y,z)，設二面角P?EF?Q的平面角為θ，

則QA?n=2x?4z=0AB?n=4y=09.【答案】BD【解析】解：選項A，三個向量共面，所在直線不一定共面，即選項A錯誤；

選項B，設O(0,0,0)，A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，

所以OA=(x1,y1,z1)，OB=(x2,y2,z2)，OC=(x3,y3,z3)，

又G是底面△ABC的重心，

所以G(x1+x2+x33,y1+y2+y33,z1+z2+z33)10.【答案】AD【解析】解：對選項A：l1⊥l2，則4(m+3)+m=0，解得m=?125，故A正確；

對選項B：當m=1時，兩條直線重合，故B錯誤；

對選項C：m=0時，l1：3x+y?1=0，斜率為?3，l1的方向向量是(1,?3)，故C錯誤；

對選項D：11.【答案】AB【解析】【分析】本題考查線面垂直的性質，棱錐的結構特征，直線與直線垂直，直線與平面所成的角，屬于中檔題．

畫出圖形，利用直線與直線的位置關系，直線與平面的位置關系，即可判斷選項的正誤．【解答】

解：對于A，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC與BD相交于點E，

將△ABD沿BD折起，使頂點A至點M，如圖，

連接ME，EC，

可知ME⊥BD，EC⊥BD，ME?EC=E，ME，EC?平面MCE，

所以BD⊥平面MCE，又MC?平面MCE，可知MC⊥BD，故A正確；

對于B，由題意可知AB=BC=CD=DA=BD，

當三棱錐是正四面體時，CM=DM=DC，△CDM為等邊三角形，故B正確；

對于C，三棱錐是正四面體時，取BC中點N，連接M12.【答案】AC【解析】解：當λ=μ時，如圖(1)，P的軌跡線段DA1，由正方體的結構特征，可知平面CB1D1//平面A1BD，

BP?平面A1BD，

∴BP/?/平面CB1D1，故A正確；

當μ=12時，如圖(1)，點P的軌跡為線段EF，直線CB1//直線DA1，

當P與E重合時，DP與直線DA1所成角最大，即DP與直線CB1所成角最大，最大為π4，故B錯誤；

當λ+μ=113.【答案】(?【解析】【分析】由題意利用直線的斜率公式，求得直線PA的斜率、直線PB的斜率，可得直線l的斜率k的取值范圍．【解答】

解：∵過點P(1,?2)作直線l，

直線l與連接A(0,?1)與B(2,1)兩點的線段

總有公共點，

直線PA的斜率為?2+1114.【答案】3

【解析】【分析】本題考查了向量的加法法則、數量積的運算性質、向量垂直與數量積的關系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

由CD=CA+【解答】

解：∵CD=CA+AB+BD，

∴CD2=CA2+AB2+BD2+2CA?AB+2CA?B15.【答案】5【解析】解：由平面圖形還原原四棱錐，如圖示：

該四棱錐底面ABCD為正方形，邊長為2，

△ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，∠HDC=∠FAB=90°，

則側面PAD⊥底面ABCD，

PA=PD=2，則PB=PC=6，

取AD的中點G，則G為Rt△APD的外心，連接AC、BD，相交于O，

則OG⊥AD，而PG⊥AD，側面PAD⊥底面ABCD，則PG⊥平面ABCD，

則PG⊥OG，AD∩PG=G，故OG⊥平面PAD，

可得16.【答案】2【解析】解：f(x)=x2+8x+20+x2+4x+20=(x+4)2+(0?2)2+17.【答案】解：(1)設D(a,b)，則C(2a+1,2b+3)，

∵CE所在的直線方程為4x+3y?7=0，AD所在的直線方程為x?3y?3=0，

∴a?3b?3=04(2【解析】本題主要考查了直線的位置關系與斜率關系，直線交點的求解，點到直線的距離公式，本題屬于中檔題．

(1)設D點坐標(a,b)，則C點坐標(2a+1,2b+3)，然后結合C18.【答案】解：(1)在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點P在線段BC上，且滿足BP=PC．

設AB=a，AD=b，AA1=c，這三個向量不共面，{a,b,c}構成空間的一個基底．

所以D1P【解析】(1)根據平面向量的基本定理，設AB=a，AD=b，AA1=c，這三個向量不共面，{19.【答案】解：(1)由題意知當直線斜率存在時，kPQ=t2t?10，

當t=5時，直線PQ的方程為x=5，

當t≠5時，直線PQ的方程為y?t=t2t?10(x?t)．

直線PQ的方程為(2t?10)y=t(x+t?10【解析】(1)首先計算kPQ，分t=5和t≠5得到直線方程即可；

(2)根據題意得到A，B，20.【答案】解：(1)根據題意，選擇①與直線4x?3y+5=0垂直，

則直線l的斜率k×43=?1，解得k=?34，又其過點P(1,?2)，

則直線l的方程為：y+2=?34(x?1)，整理得：3x+4y+5=0；

選擇②過點(5,?5)，又直線l過點P(1,?2)

則直線l的斜率k=?5+25?1=?34，

則直線l的方程為：y+2=?34(x?1)，整理得：3x+4y+5=0；

選擇③與直線3x+4y+【解析】(1)選擇不同的條件，根據直線垂直，平行時，斜率之間的關系，以及直線方程的求解，即可求得結果；

(2)求得點O關于l的對稱點21.【答案】(1)證明：四邊形ABCD是等腰梯形，AD//BC，∴OD=1，OB=2，

連接EO，∴PEPB=DODB=13，∴EO//PD，

∵EO?平面AEC，PD?平面AEC，

∴PD/?/平面AEC．

(2)解：∵PO⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PO⊥AC，

∵tan∠PAC=2，∴【解析】(1)證明AD//BC，連接EO，說明EO/?/PD，然后證明PD/?/平面AEC．

(2)以O為坐標原點，分別以22.【答案】解：(1)證