2024屆廣東省百校聯考數學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆廣東省百校聯考數學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線，則拋物線的焦點到其準線的距離為（）A. B.C. D.2．函數的單調遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.3．拋物線y＝4x2的焦點坐標是（）A.（0，1） B.（1，0）C. D.4．19世紀法國著名數學家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發(fā)展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，且該圓的半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長的平方和的算術平方根．若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則b的值為（）A. B.C. D.5．已知，表示兩條不同的直線，表示平面.下列說法正確的是A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則6．已知等差數列前項和為，若，則的公差為（）A.4 B.3C.2 D.17．已知雙曲線C：-=1的焦距為10，點P（2,1）在C的漸近線上，則C的方程為A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=18．已知向量，，且，則的值是（）A. B.C. D.9．如圖，在平行六面體中，（）A. B.C. D.10．數列的通項公式是（）A. B.C. D.11．已知為偶函數，且當時，，其中為的導數，則不等式的解集為()A. B.C. D.12．一條直線過原點和點，則這條直線的傾斜角是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數列的前n項和滿足：，則________14．在中，若面積，則______15．拋物線的焦點坐標為___________.16．設直線，直線，若，則_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，是等邊三角形.（1）證明：平面平面.（2）求點到平面的距離.18．（12分）已知等比數列滿足，.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若，設（），記數列的前n項和為，求.19．（12分）已知數列為各項均為正數的等比數列，若（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和20．（12分）已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.（1）m∈R時，證明l與C總相交；（2）m取何值時，l被C截得的弦長最短？求此弦長21．（12分）某省電視臺為了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各5個城市，得到觀看該節(jié)目的人數（單位：千人）如下莖葉圖所示：其中一個數字被污損.（1）求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數的概率.（2）隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀眾對成語知識的學習積累的熱情，從中獲益匪淺.現從觀看該節(jié)目的觀眾中隨機統(tǒng)計了4位觀眾的周均學習成語知識的時間（單位：小時）與年齡（單位：歲），并制作了對照表（如下表所示）年齡（歲）20304050周均學習成語知識時間（小時）2.5344.5由表中數據，試求線性回歸方程，并預測年齡為55歲觀眾周均學習成語知識時間.參考公式：，.22．（10分）已知為等差數列，前n項和為，數列是首項為1的等比數列，，，.（1）求和的通項公式；（2）求數列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】將拋物線方程化為標準方程，由此確定的值即可.【詳解】由可得拋物線標準方程為：，，拋物線的焦點到其準線的距離為.故選：D.2、B【解析】求出函數的定義域，解不等式可得出函數的單調遞增區(qū)間.【詳解】函數的定義域為，由，可得.因此，函數的單調遞增區(qū)間為.故選：B.3、C【解析】將拋物線方程化為標準方程，由此可拋物線的焦點坐標得選項.【詳解】解：將拋物線y＝4x2的化為標準方程為x2＝y(tǒng)，p＝，開口向上，焦點在y軸的正半軸上，故焦點坐標為（0，）.故選：C4、B【解析】由題意求出蒙日圓方程，再由兩圓只有一個交點可知兩圓相切，從而列方程可求出b的值【詳解】由題意可得橢圓的蒙日圓的半徑，所以蒙日圓方程為，因為圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，所以兩圓相切，所以，解得，故選：B5、B【解析】A．運用線面平行的性質，結合線線的位置關系，即可判斷；B．運用線面垂直的性質，即可判斷；C．運用線面垂直的性質，結合線線垂直和線面平行的位置即可判斷；D．運用線面平行的性質和線面垂直的判定，即可判斷【詳解】A．若m∥α，n∥α，則m，n相交或平行或異面，故A錯；B．若m⊥α，，由線面垂直的性質定理可知，故B正確；C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故C錯；D．若m∥α，m⊥n，則n∥α或n?α或n⊥α，故D錯故選B【點睛】本題考查空間直線與平面的位置關系，考查直線與平面的平行、垂直的判斷與性質，記熟定理是解題的關鍵，注意觀察空間的直線與平面的模型6、A【解析】由已知，結合等差數列前n項和公式、通項公式列方程組求公差即可.詳解】由題設，，解得.故選：A7、A【解析】由題意得，雙曲線的焦距為，即，又雙曲線的漸近線方程為，點在的漸近線上，所以，聯立方程組可得，所以雙曲線的方程為考點：雙曲線的標準方程及簡單的幾何性質8、A【解析】求出向量，的坐標，利用向量數量積坐標表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，因為，所以，解得：，故選：A.9、B【解析】由空間向量的加法的平行四邊形法則和三角形法則，可得所求向量【詳解】連接，可得，又，所以故選：B.10、C【解析】根據數列前幾項，歸納猜想出數列的通項公式.【詳解】依題意，數列的前幾項為：；；；……則其通項公式.故選C.【點睛】本小題主要考查歸納推理，考查數列通項公式的猜想，屬于基礎題.11、A【解析】根據已知不等式和要求解的不等式特征，構造函數，將問題轉化為解不等式.通過已知條件研究g(x)的奇偶性和單調性即可解該不等式.【詳解】令，則根據題意可知，，∴g(x)是奇函數，∵，∴當時，，單調遞減，∵g(x)是奇函數，g(0)＝0，∴g(x)在R上單調遞減，由不等式得，.故選：A.12、C【解析】求出直線的斜率，結合傾斜角的取值范圍可求得所求直線的傾斜角.【詳解】設這條件直線的傾斜角為，則，，因此，.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用“當時，；當時，"即可得出.【詳解】當時，當時，，不適合上式，數列的通項公式.故答案為：.14、##【解析】結合三角形面積公式與余弦定理得，進而得答案.【詳解】解：由三角形的面積公式得，所以，因為，所以，即，因為，所以故答案為：15、【解析】化成拋物線的標準方程即可.【詳解】由題意知，，則焦點坐標為.故答案為：16、##0.5【解析】根據兩直線平行可得，，即可求出【詳解】依題可得，，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據等邊三角形的性質、線面垂直的性質，結合面面垂直的判定定理進行證明即可；（2）利用余弦定理，結合三棱錐的等積性進行求解即可.【小問1詳解】證明：設，因為是等邊三角形，且，所以是的中點，則.又，所以，所以，即.又平面平面，所以.又，所以平面.因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】解：因為，所以.在中，，所以，則又平面，所以.如圖，連接，則，所以.設點到平面的距離為，因為，所以，解得，即點到平面的距離為.18、（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）設等比數列的公比為q，由已知建立方程組，求得數列的首項和公比，從而求得數列的通項；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得和（），運用錯位相減法可求得數列的和【詳解】解：（Ⅰ）設等比數列的公比為q，由，可得，記為①又因為，可得，即記為②，由①②可得或，故的通項公式為或（Ⅱ）由（Ⅰ）及可知，所以（），所以③④③－④得，所以【點睛】方法點睛：數列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比數列的求和公式求和.（2）錯位相減法：若是等差數列，是等比數列，求.（3）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，相消剩下首尾的若干項.常見的裂頂有，，等.（4）分組求和法：把數列的每一項分成若干項，使其轉化為等差或等比數列，再求和.（5）倒序相加法.19、（1）（2）【解析】（1）利用等比數列通項公式列出方程組，可求解，，從而寫出；（2）化簡數列，裂項相消法求和即可.【小問1詳解】設數列的公比為，∵，∴，即①∵，∴②②÷①，解得∴∴【小問2詳解】∵，∴∴∴20、（1）證明見解析；（2）當時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.【解析】（1）求出直線l的定點，進而判斷定點和圓C的位置關系，最后得到答案；（2）當圓心C到直線l的距離最大時，弦長最短，進而求出m，然后根據勾股定理求出弦長.【詳解】（1）直線l的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，則l過定點P(4，－3)，由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以點P在圓內，故直線l與圓C總相交（2）圓的C方程可化為：(x－3)2＋(y＋6)2＝25，如圖所示，當圓心C(3，－6)到直線l的距離最大時，弦AB的長度最短，此時PC⊥l，又，所以直線l的斜率為，則，在直角中，|PC|＝，|AC|＝5，所以|AB|＝.故當時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.21、（1）；（2）詳見解析.【解析】（1）先根據兩個平均值的大小得到的取值范圍，再利用古典概型的概率公式進行求解；（2）先利用最小二乘法求出線性回歸方程，再利用方程進行預測.試題解析：（1）設被污損的數字為，則的所有可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10種等可能結果，令，解得，則滿足“東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數的”的取值有0,1,2,3,4,5,6,7共8個，所以其概率為.（2）由表