2024屆安徽省滁州市英華高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024屆安徽省滁州市英華高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．學(xué)校開設(shè)甲類選修課3門，乙類選修課4門，從中任選3門，甲乙兩類課程都有選擇的不同選法種數(shù)為（）A.24 B.30C.60 D.1202．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為銳角的直線與交于、兩點，過線段的中點且垂直于的直線與的準(zhǔn)線交于點，若，則的斜率為（）A. B.C. D.4．某超市收銀臺排隊等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率如下：排隊人數(shù)01234概率0.10.16030.30.10.04則至少有兩人排隊的概率為（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.745．設(shè)拋物線C:的焦點為，準(zhǔn)線為．是拋物線C上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（）A.經(jīng)過點 B.經(jīng)過點C.平行于直線 D.垂直于直線6．拋物線準(zhǔn)線方程為()A. B.C. D.7．為了了解某地區(qū)的名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，打算從中抽取一個容量為的樣本，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法，需從總體中剔除個個體，在整個過程中，每個個體被剔除的概率和每個個體被抽取的概率分別為（）A. B.C. D.8．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且，則（）A.12 B.4C.6 D.810．已知二次函數(shù)交軸于，兩點，交軸于點.若圓過，，三點，則圓的方程是（）A. B.C. D.11．直線的傾斜角為A. B.C. D.12．等差數(shù)列的前項和，若，則A.8 B.10C.12 D.14二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式解集為_______14．傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)．用一點（或一個小石子）代表1，兩點（或兩個小石子）代表2，三點（或三個小石子）代表3，…他們研究了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）．如前四個四棱錐數(shù)為第n個四棱錐數(shù)為1+4+9+…+n2＝．中國古代也有類似的研究，如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…若一個“三角垛”共有20層，則第6層有____個球，這個“三角垛”共有______個球15．已知，，若，則______16．在長方體中，若，，則異面直線與所成角的大小為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項和是，且，等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）定義：記，求數(shù)列的前20項和18．（12分）已知圓，點.（1）若，半徑為的圓過點，且與圓相外切，求圓的方程；（2）若過點的兩條直線被圓截得的弦長均為，且與軸分別交于點、，，求.19．（12分）如圖，已知頂點，，動點分別在軸，軸上移動，延長至點，使得，且.（1）求動點的軌跡；（2）過點分別作直線交曲線于兩點，若直線的傾斜角互補，證明：直線的斜率為定值；（3）過點分別作直線交曲線于兩點，若，直線是否經(jīng)過定點？若是，求出該定點，若不是，說明理由.20．（12分）已知函數(shù)在處的切線與直線平行（1）求值，并求此切線方程；（2）證明：21．（12分）命題p：關(guān)于x的不等式對一切恒成立；命題q：函數(shù)在上遞增，若為真，而為假，求實數(shù)的取值范圍22．（10分）已知雙曲線C：的離心率為，過點作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為（1）求雙曲線C的方程；（2）直線（）與該雙曲線C交于不同的兩點A，B，且A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上，求m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用組合數(shù)計算出正確答案.【詳解】甲乙兩類課程都有選擇的不同選法種數(shù)為.故選：B2、B【解析】求出的等價條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】，因“”“”且“”“”，因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3、C【解析】設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點、、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出、，根據(jù)條件可求得的值，即可得出直線的斜率.【詳解】拋物線的焦點為，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點、、，聯(lián)立可得，，，所以，，，，直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，，因為，則，因為，解得，因此，直線的斜率為.故選：C.4、D【解析】利用互斥事件概率計算公式直接求解【詳解】由某超市收銀臺排隊等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率表，得：至少有兩人排隊的概率為：故選：D【點睛】本題考查概率的求法、互斥事件概率計算公式，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題5、A【解析】依據(jù)題意作出焦點在軸上的開口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段的垂直平分線經(jīng)過點，即可求解.【詳解】如圖所示：因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點.故選：A.6、D【解析】由拋物線的準(zhǔn)線方程即可求解【詳解】由拋物線方程得：．所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為故選D【點睛】本題主要考查了拋物線的準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】根據(jù)每個個體被抽取的概率都是相等的、被剔除的概率也都是相等的，分別由剔除的個數(shù)和抽取的樣本容量除以總體個數(shù)即可求解.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法可知：每個個體被抽取的概率都是相等的，每個個體被剔除的概率也都是相等的，所以每個個體被剔除的概率為，每個個體被抽取的概率為，故選：D.8、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】若，則，即或，推不出；反過來，若，可推出.故“”是“”的充分不必要條件故選：A.9、B【解析】利用等差數(shù)列的通項公式的基本量計算求出公差.【詳解】，所以.故選：B10、C【解析】由已知求得點A、B、C的坐標(biāo)，則有AB的垂直平分線必過圓心，所以設(shè)圓的圓心為，由，可求得圓M的半徑和圓心，由此求得圓的方程.【詳解】解：由解得或，所以，又令，得，所以，因為圓過，，三點，所以AB的垂直平分線必過圓心，所以設(shè)圓的圓心為，所以，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程是，即，故選：C11、B【解析】分析出直線與軸垂直，據(jù)此可得出該直線的傾斜角.【詳解】由題意可知，直線與軸垂直，該直線的傾斜角為.故選：B.【點睛】本題考查直線的傾斜角，關(guān)鍵是掌握直線傾斜角的定義，屬于基礎(chǔ)題12、C【解析】假設(shè)公差為,依題意可得.所以.故選C.考點：等差數(shù)列的性質(zhì).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題意求得，由此判斷出在上遞增，由此求解出不等式的解集.【詳解】令，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式可化為，則，解得：【點睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.14、①.21②.1540【解析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的數(shù)列與層數(shù)的關(guān)系，得到＝，由此可求的值，以及前20層的總球數(shù)【詳解】由題意可知，，故＝＝，所＝＝21，所以S20＝a1+a2+a3+a4+??+a20＝（12+22+32+??+202）+（1+2+3+??+20）＝×+×＝1540故答案為：21；154015、【解析】根據(jù)空間向量垂直得到等量關(guān)系，求出答案.【詳解】由題意得：，解得：故答案為：16、【解析】畫出長方體,再將異面直線與利用平行線轉(zhuǎn)移到一個三角形內(nèi)求解角度即可.【詳解】畫出長方體可得異面直線與所成角為與之間的夾角,連接.則因為,則,又,故,又,故為等腰直角三角形,故,即異面直線與所成角的大小為故答案為【點睛】本題主要考查立體幾何中異面直線的角度問題,一般的處理方法是將異面直線經(jīng)過平行線的轉(zhuǎn)換構(gòu)成三角形求角度,屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）利用求得遞推關(guān)系得等比數(shù)列，從而得通項公式，再由等差數(shù)列的基本時法求得通項公式；（2）根據(jù)定義求得，然后分組求和法求得和【小問1詳解】由題意，當(dāng)時，兩式相減，得，即是首項為3，公比為3的等比數(shù)列設(shè)數(shù)列的公差為，小問2詳解】由18、（1）或（2）【解析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，即可得出圓的方程；（2）分析可知直線、的斜率存在，設(shè)過點且斜率存在的直線的方程為，即，利用勾股定理可得出，可知直線、的斜率、是關(guān)于的二次方程的兩根，求出、的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值.【小問1詳解】解：設(shè)圓心，圓的圓心為，由題意可得，解得或，因此，圓的方程為或.【小問2詳解】解：若過點的直線斜率不存在，則該直線的方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意.設(shè)過點且斜率存在的直線的方程為，即，由題意可得，整理可得，設(shè)直線、的斜率分別為、，則、為關(guān)于的二次方程的兩根，，由韋達(dá)定理可得，，在直線的方程中，令，可得，即點在直線的方程中，令，可得，即點，所以，，解得.19、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）設(shè)點M,P,Q的坐標(biāo),將向量進(jìn)行坐標(biāo)化，整理即可得軌跡方程；（2）設(shè)點，，直線的傾斜角互補，則兩直線斜率互為相反數(shù)，用斜率公式計算得到，即可計算kAB；（3）若，由兩直線斜率積為-1，可得到關(guān)于與的等量關(guān)系，寫出直線AB的方程，將等量關(guān)系代入直線方程整理可得直線AB經(jīng)過的定點【詳解】（1）設(shè)，，.由，得，即.因為，所以，所以.所以動點的軌跡為拋物線，其方程為.（2）證明：設(shè)點，，若直線的傾斜角互補，則兩直線斜率互為相反數(shù)，又，，所以，，整理得，所以.（3）因為，所以，即，①直線的方程為：，整理得：，②將①代入②得，即，當(dāng)時，即直線經(jīng)過定點.【點睛】本題考查直接法求軌跡方程，考查直線斜率為定值的求法和直線恒過定點問題.20、（1）；；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，解方程求得，進(jìn)而得到切線方程；（2）當(dāng)時，由，知不等式成立；當(dāng)時，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，從而得到，由此可得結(jié)論.【小問1詳解】，，在處的切線與直線平行，即切線斜率為，，解得：，，，所求切線方程為：，即；【小問2詳解】要證，即證；①當(dāng)時，，，，即，；②當(dāng)時，令，，，當(dāng)時，，，，，即，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，即在上恒成立；綜上所述：.【點睛】思路點睛：本題第二問考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題，解題的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題；通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法可確定恒成立，從而得到所證結(jié)論.21、【解析】依題意，可分別求得p真、q真時m的取值范圍，再由p∨q為真，而p∧q為假求得實數(shù)a的取值范圍即可【詳解】命題p：關(guān)于x的不等式x2+2ax+4＞0對一切x∈R恒成立；①若命題p正確，則△＝（2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a＜2；②命題q：函數(shù)f（x）＝logax在（0，+∞）上遞增?a＞1，∵p∨q為真，而p∧q為假，∴p、q一真一假，當(dāng)p真q假時，有，∴﹣2＜a≤1；當(dāng)p假q真時，有，∴a≥2∴綜上所述，﹣2＜a≤1或a≥2即實數(shù)a的取值范圍為（﹣2，1]∪[2，+∞）【點睛】本題考查復(fù)合命題的真假，分別求得p真、q真時m的取值范圍是關(guān)鍵，考查理解與運算能力，屬于中檔題22、（1）（2）或【解析】（1）利用雙曲線離心率、點在雙曲線上及得到關(guān)于、、的方程組，進(jìn)而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線和雙曲線的方程，得到