2024屆北京市西城區(qū)北京四中數(shù)學(xué)高二上期末考試試題含解析

2024屆北京市西城區(qū)北京四中數(shù)學(xué)高二上期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上.若為鈍角三角形，則的取值范圍是A. B.C. D.2．過雙曲線（，）的左焦點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，雙曲線的左頂點(diǎn)為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.3．圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A.和 B.和C.和 D.和4．對(duì)于公差為1的等差數(shù)列，；公比為2的等比數(shù)列，，則下列說法不正確的是（）A.B.C.數(shù)列為等差數(shù)列D.數(shù)列的前項(xiàng)和為5．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A B.C. D.6．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的下焦點(diǎn)重合，則m的值為（）A.4 B.2C. D.7．經(jīng)過兩點(diǎn)直線的傾斜角是（）A. B.C. D.8．直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.都有可能9．設(shè)R，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝111．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為（）A. B.C.2 D.112．若圓C：上有到的距離為1的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，，三點(diǎn)共線，則m的值為___________.14．已知函數(shù)，若過點(diǎn)存在三條直線與曲線相切，則的取值范圍為___________15．雙曲線上的一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于1，那么點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為_________.16．在棱長為1的正方體中，___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在長方體中，，．點(diǎn)E在上，且（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值18．（12分）“既要金山銀山，又要綠水青山”.濱江風(fēng)景區(qū)在一個(gè)直徑為100米的半圓形花園中設(shè)計(jì)一條觀光線路（如圖所示）.在點(diǎn)與圓弧上的一點(diǎn)（不同于A，B兩點(diǎn)）之間設(shè)計(jì)為直線段小路，在直線段小路的兩側(cè)（注意是兩側(cè)）種植綠化帶；再從點(diǎn)到點(diǎn)設(shè)計(jì)為沿弧的弧形小路，在弧形小路的內(nèi)側(cè)（注意是一側(cè)）種植綠化帶（注：小路及綠化帶的寬度忽略不計(jì)）.（1）設(shè)(弧度)，將綠化帶總長度表示為的函數(shù)；（2）試確定的值，使得綠化帶總長度最大.(弧度公式：，其中為弧所對(duì)的圓心角)19．（12分）已知等差數(shù)列中，（1）分別求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和；（2）設(shè)，求20．（12分）已知橢圓：，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，過作的外角的平分線的垂線，垂足為，且（1）求橢圓方程：（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且直線，，的斜率之和為0（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）①求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)：②求面積的最大值21．（12分）已知對(duì)于，函數(shù)有意義，關(guān)于k的不等式成立.（1）若為假命題，求k的取值范圍；（2）若p是q的必要不充分條件，求m的取值范圍.22．（10分）(1)已知命題p：；命題q：，若“”為真命題，求x的取值范圍(2)設(shè)命題p：；命題q：，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合余弦定理分別討論當(dāng)為鈍角時(shí)的取值范圍，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，可以只考慮點(diǎn)在雙曲線上第一象限部分即可.【詳解】由題：雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，必有，若為鈍角三角形，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性不妨考慮點(diǎn)在雙曲線第一象限部分：當(dāng)為鈍角時(shí)，在中，設(shè)，有，，即，，所以；當(dāng)時(shí)，所在直線方程，所以，，，根據(jù)圖象可得要使，點(diǎn)向右上方移動(dòng)，此時(shí)，綜上所述：的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角形相關(guān)計(jì)算，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何意義結(jié)合特殊情況分類討論，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.2、C【解析】根據(jù)，，可以得到，從而得到與的關(guān)系式，再由，，的關(guān)系，進(jìn)而可求雙曲線的漸近線方程【詳解】解：由，，則是圓的切線，，，，所以，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，即為故選：C3、C【解析】利用圓的一般方程的圓心和半徑公式，即得解【詳解】可化為，由圓心為，半徑，易知圓心的坐標(biāo)為，半徑為.故選：C4、B【解析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判定選項(xiàng)A正確；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，即判定選項(xiàng)B錯(cuò)誤；利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和等差數(shù)列的定義判定選項(xiàng)C正確；利用錯(cuò)位相減法求和，即判定選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于A:由條件可得，，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：由條件可得，，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，則，即數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，上面兩式相減可得，所以，即選項(xiàng)D正確.故選：B.5、C【解析】由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.6、D【解析】求出橢圓的下焦點(diǎn)，即拋物線的焦點(diǎn)，即可得解.【詳解】解：橢圓的下焦點(diǎn)為，即為拋物線焦點(diǎn)，∴，∴.故選：D.7、B【解析】求出直線的斜率后可得傾斜角【詳解】經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率為，設(shè)該直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：B8、A【解析】求出圓心到直線的距離，然后與圓的半徑進(jìn)行大小比較即可求解.【詳解】解：圓的圓心，，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以直線與圓的位置關(guān)系是相交，故選：A.9、A【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)判斷即可.【詳解】若“”，則成立；反之，若，當(dāng)，時(shí)，不一定成立.如，但.故“”是“”的充分不必要條件.故答案為：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要調(diào)價(jià)的判斷，考查不等式與不等關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】設(shè)、，所以，運(yùn)用點(diǎn)差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因?yàn)椋獾?【考點(diǎn)定位】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.11、A【解析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過平移即可求出的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示，由可知，此直線可用由直線平移得到，求的最大值，即直線的截距最大，當(dāng)直線過直線的交點(diǎn)時(shí)取最大值，即故選：12、C【解析】利用圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以．因?yàn)閳AC上有到的距離為1的點(diǎn)，所以圓C與圓：有公共點(diǎn)，所以因?yàn)?，所以，解得，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)三點(diǎn)共線與斜率的關(guān)系即可得出【詳解】由，，三點(diǎn)共線，可知所在的直線與所在的直線平行，又，由已知可得，解得故答案為：14、【解析】設(shè)過M的切線切點(diǎn)為，求出切線方程，參變分離得，令，則原問題等價(jià)于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究g(x)的圖像即可求出m的范圍【詳解】，設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，則，化簡得，，令，則過點(diǎn)存在三條直線與曲線相切等價(jià)于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個(gè)交點(diǎn)∵，故當(dāng)x<0或x>1時(shí)，，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<1時(shí)，，g(x)單調(diào)遞減，又，，∴g(x)如圖，∴-2<-m-2<0，即故答案為：﹒15、【解析】首先將已知的雙曲線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)雙曲線的定義知雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為，即可求出點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為17.考點(diǎn)：雙曲線的定義.16、1【解析】根據(jù)向量的加法及向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】如圖，在正方體中，，故答案為：1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫出，，的坐標(biāo)，證明，，即可得證；（2）由（1）知，的法向量為，直接寫出平面法向量，按照公式求解即可.【小問1詳解】在長方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系因?yàn)椋?，所以，，，，，則，，，所以有，，則，，又所以平面小問2詳解】由（1）知平面的法向量為，而平面法向量為所以，由圖知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為18、（1）；（2）.【解析】（1）在直角三角形中，求出，在扇形中利用弧長公式求出弧的長度，則可得函數(shù)；（2）利用導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】（1）如圖，連接在直角三角形中，所以由于則弧的長為（2）由（1）可知，令得，因?yàn)樗?，?dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，使得綠化帶總長度最大.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：仔細(xì)審題，注意題目中的關(guān)鍵詞“兩側(cè)”和“一側(cè)”是解題關(guān)鍵.19、（1），（2）【解析】（1）利用可以求出公差，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）通過（1）判斷符號(hào)，進(jìn)而分和兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】解：設(shè)數(shù)列的公差為,，，，【小問2詳解】解：由（1）可知，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以.20、（1）；（2）①證明見解析，；②.【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義以及角平分線的性質(zhì)可得，，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，以及即可求出的值，進(jìn)而可得橢圓的方程.（2）①設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，求得，，利用斜率之和等于得出關(guān)于的方程，解得即可得所過的定點(diǎn)，②由弦長公式求出，點(diǎn)到直線的距離公式求得高，由面積公式表示三角形的面積，利用基本不等式即可求最值.【詳解】（1）如圖，由題意可知，由橢圓定義知，則，連接，所以，所以又在橢圓上則，解得：，，所以橢圓的方程為：；（2）①證明：設(shè)，，聯(lián)立，整理可得：，所以，可得，，，設(shè)直線，，的斜率為，，，因?yàn)橹本€，，的斜率之和為0，所以，即所以，由，所以，所以直線恒過定點(diǎn)；②由①可得：，原點(diǎn)到直線的距離，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)取等號(hào)，所以，即面積的最大值為1【點(diǎn)睛】解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時(shí)，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：21、（1）（2）【解析】（1）由與的真假相反，得出為真命題，將定義域問題轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，討論參數(shù)的取值，得出答案；（2）由必要不充分條件的定義得出，討論的取值結(jié)合包含關(guān)系得出的范圍.【詳解】解：（1）因?yàn)闉榧倜}，所以為真命題，所以對(duì)恒成立.當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則有，則.綜上，k的取值范圍為.（2）由，得.由（1）知，當(dāng)為真命題時(shí)，則令令因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以