2023-2024學(xué)年天津市濱海新區(qū)大港第八中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2023-2024學(xué)年天津市濱海新區(qū)大港第八中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．命題“，”否定形式是（）A.， B.，C.， D.，2．等差數(shù)列中，若，，則等于（）A. B.C. D.3．甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為（）A.0.26 B.0.28C.0.72 D.0.984．若雙曲線（，）的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.25．已知點(diǎn)，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，且，則的離心率為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是A. B.C. D.7．已知空間中三點(diǎn)，，，則下列結(jié)論中正確的有（）A.平面ABC的一個(gè)法向量是 B.的一個(gè)單位向量的坐標(biāo)是C. D.與是共線向量8．若點(diǎn)在橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.9．某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬元購進(jìn)一臺(tái)新設(shè)備用于生產(chǎn).第一年需運(yùn)營費(fèi)用萬元，從第二年起，每年運(yùn)營費(fèi)用均比上一年增加萬元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為萬元.設(shè)該設(shè)備使用了年后，年平均盈利額達(dá)到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B.C. D.10．準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.11．平面與平面平行的充分條件可以是（）A.平面內(nèi)有一條直線與平面平行B.平面內(nèi)有兩條直線分別與平面平行C.平面內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面平行D平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行12．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在n時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.14．若無論實(shí)數(shù)取何值，直線與圓恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.15．點(diǎn)P是棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點(diǎn)，則的取值范圍是__.16．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，以點(diǎn)為圓心圓被軸截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程.18．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.19．（12分）如圖，在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，O是BC的中點(diǎn)，（1）證明：平面平面BCD；（2）若三棱錐的體積為，E是棱AC上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角E－BD－C大小為60°，求t的值20．（12分）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且.(1)分別求直線，的方程；(2)設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，求外接圓的方程.21．（12分）已知過點(diǎn)的圓的圓心M在直線上，且y軸被該圓截得的弦長為4（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，若點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并寫出取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中點(diǎn)（1）證明：平面PCD；（2）若PB與底面ABCD所成角的正切值為，求二面角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}“，是特稱命題，所以其否定是全稱命題，即為，故選：C2、C【解析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C3、A【解析】依據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率即可求得甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率.【詳解】記甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中兩種情況，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為故選：A4、A【解析】先求出漸近線方程，進(jìn)而將點(diǎn)代入直線方程得到a,b關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，而一條漸近線過點(diǎn)，則，.故選：A.5、D【解析】設(shè)，先求出點(diǎn)，得，化簡即得解【詳解】由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，如圖所示，設(shè)，則，∵為等腰三角形，且，∴.過作垂直軸于點(diǎn)，則，∴，，即點(diǎn).∵點(diǎn)在過點(diǎn)且斜率為的直線上，∴，解得，∴.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出橢圓的代入離心率的公式即得解）；（2）方程法（通過已知找到關(guān)于離心率的方程解方程即得解）.6、C【解析】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和，不滿足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，令，得或．時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，且，此時(shí)在必有零點(diǎn)，故不滿足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，且，要使得存在唯一的零點(diǎn)，且，只需，即，則，選C考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性7、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間中平面法向量的定義，向量模長的求解，以及共線定理，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】因?yàn)?，，，故可得，因?yàn)?，故，不平行，則D錯(cuò)誤；對(duì)A：不妨記向量為，則，又，不平行，故向量是平面的法向量，則A正確；對(duì)B：因?yàn)橄蛄康哪ｉL為，其不是單位向量，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)?，故可得，故C錯(cuò)誤；故選：A.8、C【解析】根據(jù)給定條件求出即可計(jì)算橢圓的離心率.【詳解】因點(diǎn)在橢圓，則，解得，而橢圓長半軸長，所以橢圓離心率.故選：C9、D【解析】設(shè)該設(shè)備第年的營運(yùn)費(fèi)為萬元，利用為等差數(shù)列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設(shè)該設(shè)備第年的營運(yùn)費(fèi)為萬元，則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，則該設(shè)備使用年的營運(yùn)費(fèi)用總和為，設(shè)第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，注意根據(jù)題設(shè)條件概括出數(shù)列的類型，另外用基本不等式求最值時(shí)注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.10、D【解析】的準(zhǔn)線方程為.【詳解】的準(zhǔn)線方程為.故選：D.11、D【解析】根據(jù)平面與平面平行的判定定理可判斷.【詳解】對(duì)A，若平面內(nèi)有一條直線與平面平行，則平面與平面可能平行或相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若平面內(nèi)有兩條直線分別與平面平行，若這兩條直線平行，則平面與平面可能平行或相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若平面內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面平行，若這無數(shù)條直線互相平行，則平面與平面可能平行或相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，若平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行，則根據(jù)平面與平面平行的判定定理可得平面與平面平行，故D正確.故選：D.12、D【解析】由題建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，結(jié)合條件即求.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為，由題意知：在拋物線上，即，解得：，，當(dāng)水位下降1米后，即將代入，即，解得：，∴水面寬為米.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題可得，求導(dǎo)可得的單調(diào)性，將的最小值代入，即得.【詳解】∵，，使得成立，∴由，得，當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為又在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：.14、【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到，根據(jù)，解不等式得到答案.【詳解】依題意有圓心到直線的距離，即，又無論取何值，，故，故.故答案：15、[﹣，0]【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，計(jì)算?x2﹣x，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域即可【詳解】解：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；則點(diǎn)A（1，0，0），C1（0，1，1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），∴?x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，?取得最小值為；當(dāng)x＝0或1，且y＝0或1時(shí)，?取得最大值為0，則?的取值范圍是[，0]故答案為：[，0]【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用與向量的數(shù)量積運(yùn)算問題，是綜合性題目16、【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，然后利用單調(diào)性求函數(shù)的最小值【詳解】解：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即取等號(hào)，因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值0，故答案為：0三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)垂徑定理，可直接計(jì)算出圓的半徑；（2）根據(jù)直線的斜率是否存在分類討論，斜率不存在時(shí)，可得到直線方程為的直線滿足題意，斜率存在時(shí)，利用直線與圓相切，即到直線的距離等于半徑，然后解出關(guān)于斜率的方程即可.【小問1詳解】不妨設(shè)圓的半徑為，根據(jù)垂徑定理，可得：解得：則圓的方程為：【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則有：故此時(shí)直線與圓相切，滿足題意當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線的斜率為，點(diǎn)的直線的距離為直線的方程為：則有：解得：，此時(shí)直線的方程為：綜上可得，直線的方程為：或18、（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）利用關(guān)系可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義易知為等比數(shù)列，進(jìn)而寫出的通項(xiàng)公式；（2）由，將不等式左側(cè)放縮，即可證結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得：，整理可得：，而，所以是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列，故，即，.【小問2詳解】，..19、（1）證明見解析（2）3【解析】（1）證得平面BCD，結(jié)合面面垂直判定定理即可得出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的公式可得，進(jìn)而解方程即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，O是BC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，且，平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，因?yàn)槠矫鍭BC，所以平面平面BCD【小問2詳解】連接OD，又因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，所以，由（1）知平面BCD，所以AO，BC，DO兩兩互相垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則O（0，0，0），A（0，0，m），B（1，0，0），C（－1，0，0），，因?yàn)锳－BCD的體積為，所以，解得，即A（0，0，3），，∵，∴，設(shè)平面BCD的法向量為，,則，取平面BCD的法向量為，，，設(shè)是平面BDE的法向量，則，∴取平面BDE的法向量，解得或（舍）20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)式即可求出直線l1的方程，根據(jù)直線垂直的關(guān)系即可求l2的方程；（2）先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，通過三角形的長度關(guān)系知道三角形是以AC為斜邊長的直角三角形，故AC的中點(diǎn)即為外心，AC即為直徑.解析：(1)∵直線經(jīng)過點(diǎn)，，∴，設(shè)直線的方程為，∴，∴.(2)，即：，∴，的中點(diǎn)為，∴的外接圓的圓心為，半徑為，∴外接圓的方程為：.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是已知兩直線位置關(guān)系求參的問題，還考查了三角形外接圓的問題．對(duì)于三角形為外接圓，圓心就是各個(gè)邊的中垂線的交點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外側(cè)，銳角三角形圓心在三角形內(nèi)部，直角三角形圓心在直角三角形斜邊的中點(diǎn)21、（1）（2），【解析】（1）用待定系數(shù)法設(shè)出圓心，根據(jù)圓過點(diǎn)和弦長列出方程求解即可；（2）當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，求出直線MN的方程，令y=0即可.【小問1詳解】由題意可設(shè)圓心，因?yàn)閥軸被圓M截得的弦長為4，所以，又，則，化簡得，解得，則圓心，半徑，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，則直線的方程為，即，令，得，則22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）依題意可得，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，即可得證；（2）取的中點(diǎn)為，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)