實變函數(shù)重點題集

（第3頁，共4頁）3、下列說法不正確的是（B）(A)凡外側(cè)度為零的集合都可測（B）可測集的任何子集都可測(C)開集和閉集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可測二.填空題(3分×5=15分)1、2、設(shè)是上有理點全體，則=,=,=.3、設(shè)是中點集，如果對任一點集都有，則稱是可測的4、可測的充要條件是它可以表成一列簡單函數(shù)的極限函數(shù).5、設(shè)為上的有限函數(shù)，如果對于的一切分劃，使成一有界數(shù)集,則稱為上的有界變差函數(shù)。1、設(shè)，若E是稠密集，則是無處稠密集。錯誤2、若，則一定是可數(shù)集.錯誤例如：設(shè)是集，則，但c，故其為不可數(shù)集3、若是可測函數(shù)，則必是可測函數(shù)。錯誤二、2.下列說法不正確的是(C)(A)的任一領(lǐng)域內(nèi)都有中無窮多個點，則是的聚點(B)的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個中異于的點，則是的聚點(C)存在中點列，使，則是的聚點(D)內(nèi)點必是聚點3.下列斷言(B)是正確的。（A）任意個開集的交是開集；(B)任意個閉集的交是閉集；(C)任意個閉集的并是閉集；(D)以上都不對；4.下列斷言中(C)是錯誤的。（A）零測集是可測集；（B）可數(shù)個零測集的并是零測集；（C）任意個零測集的并是零測集；（D）零測集的任意子集是可測集；1、設(shè)，則_________。2、設(shè)為Cantor集，則，_____，=________。3、設(shè)是一列可測集，則4、魯津定理：______________________________________________________

5、設(shè)為上的有限函數(shù)，如果_________則稱為上的絕對連續(xù)函數(shù)。答案：2，c；0；3，4，設(shè)是上有限的可測函數(shù)，則對任意，存在閉子集，使得在上是連續(xù)函數(shù)，且。5，對任意，使對中互不相交的任意有限個開區(qū)間只要，就有1、由于，故不存在使之間對應(yīng)的映射。錯誤2、可數(shù)個零測度集之和集仍為零測度集。正確3、收斂的函數(shù)列必依測度收斂。錯誤4、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。錯誤2.(6分)設(shè)使，則E是可測集。證明：對任何正整數(shù)，由條件存在開集使令，則是可測集，又因?qū)σ磺姓麛?shù)成立，因而，即是一零測度集，所以也可測.由知，可測。4.（8分）設(shè)函數(shù)列在有界集上“基本上”一致收斂于，證明：收斂于。證明：因為在上“基本上”一致收斂于，所以對于任意的，存在可測集，在上一致收斂于，且令，則在上處處收斂到，，k=1,2所以…1、設(shè)集合，則2、設(shè)為Cantor集，則，0，=。3、設(shè)是中點集，如果對任一點集都有，則稱是可測的4、葉果洛夫定理：設(shè)是上一列收斂于一個有限的函數(shù)的可測函數(shù)，則對任意存在子集，使在上一致收斂且。5、設(shè)在上可測，則在上可積的充要條件是||在上可積.1、任意多個開集之交集仍為開集。不成立反例：設(shè)Gn=(),n=1,2,,每個Gn為開集但不是開集.2、若，則一定是可數(shù)集。不成立；設(shè)是集，則，但c，故其為不可數(shù)集。3、收斂的函數(shù)列必依測度收斂。不成立4、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。不成立1、（6分）試證證明：記中有理數(shù)全體,令2、設(shè)是上的實值連續(xù)函數(shù)則對任意常數(shù)c，是一開集.證明:因f（x）連續(xù)，故.即.所以是E的內(nèi)點.由的任意性,E的每一個點都是內(nèi)點,從而E為開集.1、設(shè)是上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任意常數(shù)是閉集。證明：;;;;3、（6分）設(shè)是可測集的非負(fù)可積函數(shù)，是的可測函數(shù)，且，則也是上的可積函數(shù)。證明：，是可測集的非負(fù)可積函數(shù)是上的可積函數(shù).同理，也是上的可積函數(shù).是上的可積函數(shù)。1．設(shè)P為Cantor集，則（C）（A）0(B)(C)(D)5.設(shè)為上的有界變差函數(shù),則下面不成立的是(D)(A)在上可積(B)在上可積(C)在上可積(D)在上絕對連續(xù)2、設(shè),若則是閉集若，則是開集；若則是完備集.5、設(shè)為上的有限函數(shù)，如果對于的一切劃分，使成一有界數(shù)集，則稱為上的有界變差函數(shù)。1、A為可數(shù)集，B為至多可數(shù)集，則AB是可數(shù)集；成立2、若，則；不成立；為中的全體有理點