2023-2024學(xué)年河南省開(kāi)封高中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年河南省開(kāi)封高中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列中，，，則該數(shù)列的公比為（）A. B.C. D.2．命題“對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有”的否定形式是（）A.，使得B.，使得C.，使得D.，使得3．原點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A. B.C. D.4．設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心（，）C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg5．已知向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B.C. D.6．向量，向量，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.1C. D.7．雅言傳承文明，經(jīng)典浸潤(rùn)人生．某市舉辦“中華經(jīng)典誦寫(xiě)講大賽”，大賽分為四類(lèi)：“誦讀中國(guó)”經(jīng)典誦讀大賽、“詩(shī)教中國(guó)”詩(shī)詞講解大賽、“筆墨中國(guó)”漢字書(shū)寫(xiě)大賽、“印記中國(guó)”學(xué)生篆刻大賽．某人決定從這四類(lèi)比賽中任選兩類(lèi)參賽，則“誦讀中國(guó)”被選中的概率為（）A. B.C. D.8．已知空間向量，，若，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B.0C.1 D.29．如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點(diǎn)，則等于（）A B.C. D.10．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且滿(mǎn)足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.511．已知函數(shù)，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，，都有，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A. B.C. D.12．已知p：，那么p的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線，左右焦點(diǎn)分別為，若過(guò)右焦點(diǎn)的直線與以線段為直徑的圓相切，且與雙曲線在第二象限交于點(diǎn)，且軸，則雙曲線的離心率是_________.14．某個(gè)彈簧振子在振動(dòng)過(guò)程中的位移y（單位：mm）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為，則當(dāng)s時(shí)，彈簧振子的瞬時(shí)速度為_(kāi)________mm/s.15．設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件則的最大值為_(kāi)_______16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則其通項(xiàng)公式______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，四邊形是正方形，平面，，（1）證明：平面平面；（2）若與平面所成角為，求二面角的余弦值18．（12分）為深入學(xué)習(xí)貫徹總書(shū)記在黨史學(xué)習(xí)教育動(dòng)員大會(huì)上的重要講話精神和中共中央有關(guān)決策部署，推動(dòng)教育系統(tǒng)圍繞建黨百年重大主題，深化中學(xué)在校師生理想信念教育，引導(dǎo)師生學(xué)史明理、學(xué)史增信、學(xué)史崇德、學(xué)史力行，以昂揚(yáng)的狀態(tài)迎接中國(guó)共產(chǎn)黨建黨周年，哈工大附中高二年級(jí)組織本年級(jí)同學(xué)開(kāi)展了一場(chǎng)黨史知識(shí)競(jìng)賽．為了解本次知識(shí)競(jìng)賽的整體情況，隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中a的值，并求該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)（精確到0.1）；（2）已知該樣本分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中，男生占，女生占現(xiàn)從該樣本分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中隨機(jī)抽出人，求至少有人是女生的概率.19．（12分）已知某學(xué)校的初中、高中年級(jí)的在校學(xué)生人數(shù)之比為9：11，該校為了解學(xué)生的課下做作業(yè)時(shí)間，用分層抽樣的方法在初中、高中年級(jí)的在校學(xué)生中共抽取了100名學(xué)生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時(shí)間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖：（1）在抽取的100名學(xué)生中，初中、高中年級(jí)各抽取的人數(shù)是多少？（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)和平均時(shí)長(zhǎng)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（3）另?yè)?jù)調(diào)查，這100人中做作業(yè)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的人中2人來(lái)自初中年級(jí)，3人來(lái)自高中年級(jí)，從中任選2人，恰好1人來(lái)自初中年級(jí)，1人來(lái)自高中年級(jí)的概率是多少20．（12分）已知，2，4，6中的三個(gè)數(shù)為等差數(shù)列的前三項(xiàng)，且100不在數(shù)列中，102在數(shù)列中.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，數(shù)列前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，設(shè)的前項(xiàng)和為，令，求證：.22．（10分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，可得出，即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，可得出.故選：C.2、B【解析】可將原命題變成全稱(chēng)命題形式，而全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，即可選出答案.【詳解】命題“對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有”，可寫(xiě)成：，使得，此命題為全稱(chēng)命題，故其否定形式為：，使得.故選：B.3、C【解析】求出直線過(guò)的定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線距離最大，則可求出原點(diǎn)到直線距離的最大值；【詳解】因?yàn)榭苫癁?，所以直線過(guò)直線與直線交點(diǎn)，聯(lián)立可得所以直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線距離最大，最大距離即為，此時(shí)最大值為，故選：C.4、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心（），B正確；該大學(xué)某女生身高增加1cm，預(yù)測(cè)其體重約增加0.85kg，C正確；該大學(xué)某女生身高為170cm，預(yù)測(cè)其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯(cuò)誤故選D5、A【解析】先求出向量，再利用空間向量中點(diǎn)到平面的距離公式即可求解.【詳解】解：由題知，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，所以又向量為平面的法向量所以點(diǎn)到平面的距離為：故選：A.6、C【解析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示列方程即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，向量，若，則，解得：，故選：C.7、B【解析】由已知條件得基本事件總數(shù)為種，符合條件的事件數(shù)為3中，由古典概型公式直接計(jì)算即可.【詳解】從四類(lèi)比賽中選兩類(lèi)參賽，共有種選擇，其中“誦讀中國(guó)”被選中的情況有3種，即“誦讀中國(guó)”和“詩(shī)教中國(guó)”，“誦讀中國(guó)”和“筆墨中國(guó)”，“誦讀中國(guó)”和“印記中國(guó)”，由古典概型公式可得，故選：.8、C【解析】根據(jù)空間向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，因此?故選：C9、D【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解【詳解】由已知，故選：D10、B【解析】由已知條件可得數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，然后根據(jù)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，，解得或（舍去），故選：B11、B【解析】不妨設(shè)，由題意，可得，構(gòu)造函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，從而有在上恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值即可求解.【詳解】解：由題意，不妨設(shè)，因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，，都有，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，?shí)數(shù)的最小值為.故選：B.12、C【解析】按照充分不必要條件依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)：，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，，正確；D選項(xiàng)：，錯(cuò)誤.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)，可得再根據(jù)雙曲線的定義，即可得到，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】如圖所示：設(shè)切點(diǎn)為，所以，又軸所以，所以，由，，所以又，所以故答案為：.14、0【解析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求解時(shí)的導(dǎo)函數(shù)值即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以求?dǎo)得，所以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得該振子在時(shí)的瞬時(shí)速度為,故答案為：.15、1【解析】先作出可行域，由，得，作出直線，向下平移過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，求出點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中可得答案【詳解】作出可行域如圖（圖中陰影部分），由，得，作出直線，向下平移過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故答案為：116、【解析】利用當(dāng)時(shí)，，可求出此時(shí)的通項(xiàng)公式，驗(yàn)證n=1時(shí)是否適合，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不適合上式，∴，故答案為:.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）連接與交于點(diǎn)O，易得平面，取的中點(diǎn)M，易得為平行四邊形，即，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理證明；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)與平面所成角為，由，解得，然后分別求得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，由求解.【詳解】（1）如圖所示：連接與交于點(diǎn)O，因?yàn)闉檎叫?，故，又平面，故，由，故平面，取的中點(diǎn)M，連接，注意到為的中位線，故，且，因此，且，故為平行四邊形，即，因此平面，而平面，故平面平面（2）以A坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由（1）可知平面，因此平面的一個(gè)法向量為，而，由與平面所成角為，得，即，解得；則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則得令，則，故設(shè)平面的一個(gè)法向量，則得令，則，，故所以，注意到二面角為鈍二面角，故二面角的余弦值為18、（1）（2）【解析】（1）利用頻率和為1求出a；利用百分位數(shù)的定義求出知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)；（2）先利用分層抽樣求出男、女生的人數(shù)，利用古典概型求概率.【小問(wèn)1詳解】，由，解得設(shè)該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)為x，則，解得：.即該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)為【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖可知：分?jǐn)?shù)在）的人數(shù)有人，所以這人中，女生有人，記為、，男生有人，記為、、、從這人中隨機(jī)選取人，基本事件為：、、、、、、、、、、、、、、，共種不同取法；則至少有人是女生的基本事件為、、、、、、、、，共種不同取法，則所求的概率為19、（1）初中、高中年級(jí)所抽取人數(shù)分別為45、55（2）2.375小時(shí)，2.4小時(shí)（3）【解析】（1）依據(jù)分層抽樣的原則列方程即可解決；（2）依據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)和平均時(shí)長(zhǎng)即可；（3）依據(jù)古典概型即可求得恰好1人來(lái)自初中年級(jí)，1人來(lái)自高中年級(jí)的概率.【小問(wèn)1詳解】設(shè)初中、高中年級(jí)所抽取人數(shù)分別為x、y，由已知可得，解得；【小問(wèn)2詳解】的頻率為，的頻率為，的頻率為因?yàn)椋?，所以中位?shù)在區(qū)間上，設(shè)為x，則，解得，所以學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.375小時(shí)；平均時(shí)長(zhǎng)為小時(shí).故估計(jì)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.375小時(shí)，平均時(shí)長(zhǎng)為2.4小時(shí)【小問(wèn)3詳解】2人來(lái)自初中年級(jí)，記為，，3人來(lái)自高中年級(jí)，記為，，，則從中任選2人，所有可能結(jié)果有：，，，，，，，，，共10種，其中恰好1人來(lái)自初中年級(jí)，1人來(lái)自高中年級(jí)有6種可能，所以恰好1人來(lái)自初中年級(jí)，1人來(lái)自高中年級(jí)的概率為20、（1）（2）【解析】（1）確定數(shù)列為遞增數(shù)列，然后由4個(gè)數(shù)確定等差數(shù)列，得通項(xiàng)公式，驗(yàn)證100和102是否為數(shù)列中的項(xiàng)得結(jié)論；（2）由裂項(xiàng)相消法求和【小問(wèn)1詳解】首先數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)2，4，6為的前三項(xiàng)時(shí)，易知此時(shí)，100，102都是該數(shù)列中的項(xiàng)，不滿(mǎn)足題意當(dāng)，2，6為的前三項(xiàng)時(shí)，易知此時(shí)，100不是該數(shù)列中的項(xiàng)，102是該數(shù)列中的項(xiàng)，滿(mǎn)足題意所以【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樗运?21、（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)利用累加法求通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系可求的通項(xiàng)公式；(2)求出并判斷其范圍，求出，利用裂項(xiàng)相消法求的前n項(xiàng)和即可證明.【小問(wèn)1詳解】由題可知，當(dāng)n≥2時(shí)，＝當(dāng)n