遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中（Ⅰ）考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

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濱城高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高三期中1考試

數(shù)學(xué)

命題人：大連市第二十三中學(xué)馬曉晶校對人：大連市第二十三中學(xué)劉金秋

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1.設(shè)命題，則為（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)存在性命題的否定為全稱命題即可得解.

【詳解】因為命題，

所以為，

故選：A

2.已知集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由圖像可知陰影部分面積對應(yīng)的集合為，再由集合的運算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為，，則，

由圖像可知陰影部分面積對應(yīng)的集合為.

故選：C

3.若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法及共軛復(fù)數(shù)判斷即可得解.

【詳解】，

，

，

故對應(yīng)點在第三象限，

故選：C

4.已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則的值為（）

A.3B.C.1D.

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)是冪函數(shù)，由求得，再根據(jù)函數(shù)在上是減函數(shù)，確定的值求解.

【詳解】由函數(shù)為冪函數(shù)知，

，解得或.

∵在上是減函數(shù)，而當(dāng)時，，在是增函數(shù)，不符合題意，

當(dāng)時，，符合題意，

∴，，

∴.

故選：C.

5.函數(shù)（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為（）

A.9B.8C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出函數(shù)過定點的坐標(biāo)，再利用基本不等式求最值.

【詳解】函數(shù)（且）的圖象恒過定點,所以，

,

,當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立

故選：B.

6.已知中，，，，在線段BD上取點E，使得，則（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量基本定理得到，利用向量數(shù)量積公式得到，，從而利用夾角余弦公式求出答案.

【詳解】由題意知：,,

,

,

,.

故選：D

7.已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的零點，從小到大依次為，，，，則的取值范圍為（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，將有四個零點轉(zhuǎn)化為的圖象與有四個不同交點，分析可知，由韋達定理可得，設(shè)，，由導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，即可求出范圍.

【詳解】時，，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，

時，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，

畫出的圖象如下圖，有四個零點即的圖象與有四個不同交點，

由圖可得，是方程的兩根，即的兩根，

是方程的兩根，即的兩根，

，，則，

設(shè)，，則，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，即.

故選：A.

8.設(shè)函數(shù)（且）滿足以下條件：①，滿足；②，使得；且，則關(guān)于x的不等式的最小正整數(shù)解為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題干條件得到，，，進而解不等式得到或，由得到最小正整數(shù)為3，由得到最小正整數(shù)為2，綜上求出答案.

【詳解】由①得：，則，（1）

由②得：，則，（2）

且，即，

聯(lián)立（1）（2）得：，

因為，所以，

解得：，，

所以，

所以，

將代入得：，

因為，所以，

所以，

，

，

則或，

當(dāng)，解得：，，

，，

當(dāng)時，，故最小正整數(shù)為3，

當(dāng)，解得：，，

，，

當(dāng)時，，故最小正整數(shù)為2，

比較得到答案為2

故選：B.

【點睛】方法點睛：三角函數(shù)相關(guān)的參數(shù)取值或取值范圍問題，要能夠結(jié)合題目信息，從奇偶性，周期性，對稱性入手，得到等量關(guān)系或不等式，進而求出參數(shù)的值或取值范圍.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．

9.下列結(jié)論正確的是（）

A.若a，b為正實數(shù)，，則

B.若a，b，m為正實數(shù)，，則

C.若，則“”是“”的充分不必要條件

D.不等式成立的充分不必要條件是，則m的取值范圍是

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用作差法即可求解AB,結(jié)合充分不必要條件，即可根據(jù)不等式的性質(zhì)求解CD.

【詳解】對于A，因為，為正實數(shù)，，

所以，所以，故A正確；

對于B，因為，，為正實數(shù)，，所以，所以，故B錯誤；

對于C，由，可得或，故由可得，

但是不一定得到，故“”是“”的充分不必要條件，故C正確；

對于D，由可得，由于成立的充分不必要條件是，

所以或，解得，故D正確．

故選：ACD

10.已知向量滿足，且，則（）

A.B.

C.D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算化簡求模、數(shù)量積判斷AD，利用夾角公式可得，從而判斷BC.

【詳解】由，得，整理得①．

由，得，整理得②．

由①②及得，所以，

所以，所以，

所以反向共線，所以，

故選：AC．

11.已知為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，記，下列結(jié)論正確的是（）

A.為奇函數(shù)

B.若的一個零點為，且，則

C.在區(qū)間的零點個數(shù)為個

D.若大于的零點從小到大依次為，則

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用奇函數(shù)的定義可判斷A，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷B，數(shù)形結(jié)合作出函數(shù)的圖象，通過交點個數(shù)可判斷C，根據(jù)的圖象確定大于的零點的取值范圍即可判斷D.

【詳解】因為，

所以為奇函數(shù)，A正確；

假設(shè)，則，

此時，

所以當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，則，

由于的零點為，所以，

所以，B正確；

當(dāng)時，令，

大于零零點為的交點，由圖可知，

函數(shù)在有2個零點，

由于為奇函數(shù)，所以在有1個零點，

且，

所以在區(qū)間的零點個數(shù)為個，C錯誤；

由圖可知，大于1的零點，，

所以，而，所以，D正確.

故選:ABD.

12.已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時，，③，則以下說法中正確的是（）

A.的圖象關(guān)于對稱

B.

C.在上的最大值是10

D.不等式的解集為

【答案】ACD

【解析】

【分析】依題意令，求出，再令，即可得到，從而判斷A；令得到，再令，，即可判斷B；再利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；依題意原不等式等價于，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可；

【詳解】解：因為，則有，令，則，則，令則，即，故的圖象關(guān)于對稱，即A正確；

令，則，

令代x，則，即，即，故B錯誤；

設(shè)且，則，由，令，，則，即，由時，，得，則，所以，所以，即在上單調(diào)遞減，又，所以，，又，所以，故在上的最大值為，故C正確；

由，即，即，即，又因為，即，所以，即，即，即，解得，即原不等式的解集為，故D正確；

故選：ACD

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．

13.已知，則__________．

【答案】

【解析】

【分析】設(shè)，求出，代入已知式可得．

【詳解】設(shè)，則，因為，所以，即

故答案為：．

14.已知，，，若，則______．

【答案】##

【解析】

【分析】根據(jù)得，再由平方關(guān)系可得、的值，代入兩角差的正弦展開式計算可得答案.

詳解】由，得，又，

所以，又，所以，，

所以

．

故答案為：．

15.函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則a取值范圍是______．

【答案】

【解析】

【分析】利用分離常數(shù)法，構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍，進而求得正確答案.

詳解】由得，

設(shè)，

令，解得，

當(dāng)時，單調(diào)遞減，

當(dāng)時，單調(diào)遞增，

又，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

又當(dāng)，，由此畫出的大致圖象如圖所示，

由于函數(shù)恰有兩個零點，

所以的取值范圍是.

故答案為：.

16.牛頓迭代法又稱牛頓-拉夫遜方法，它是牛頓在世紀(jì)提出的一種在實數(shù)集上近似求解方程根的一種方法，具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個零點，任意選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線，設(shè)與軸交點的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值；過點作曲線的切線，設(shè)與軸交點的橫坐標(biāo)為，稱為的次近似值，過點作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值，設(shè)的零點為，取，則的次近似值為______：設(shè)，數(shù)列的前項積為．若任意的，恒成立，則整數(shù)的最小值為______．

【答案】①.②.

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出直線的方程，可得出，結(jié)合可求出的值，推導(dǎo)出，可求得，由已知條件可得出，由此可求得整數(shù)的最小值.

【詳解】，則，，

所以，曲線在點處的切線方程為，即，

由題意可知點在直線上，

所以，，，則，，

，，

因為函數(shù)的零點近似值為，且函數(shù)在上為增函數(shù)，

因為，，由零點存在定理可知，

由題意可知，，故整數(shù)的最小值為.

故答案為：；.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，得出數(shù)列的遞推公式，利用數(shù)列的遞推公式求解.

四、解答題：本大題共6小題，共10分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．

17.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，已知與的等比中項為，且與的等差中項為．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列前項和．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由等差數(shù)列的求和公式以及等差數(shù)列、等比數(shù)列的中項性質(zhì)，解方程可得首項和公差，即可得到所求；

（2）求得，由裂項相消法求和即可求解．

【小問1詳解】

設(shè)數(shù)列的公差為．

由題意，得，

即，解得，

所以數(shù)列的通項公式為.

【小問2詳解】

，

所以.

18.在中，角、、的對邊分別為、、．已知．

（1）求角的大小；

（2）給出以下三個條件：①，；②；③．

若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：

（i）求的值；

（ii）的角平分線交于點，求的長．

【答案】（1）

（2）（i）；（ii）.

【解析】

【分析】（1）由已知條件可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；

（2）由以及①或②或③解三角形，可得出正確的條件.

（i）求出的值，利用正弦定理可求得的值；（ii）由結(jié)合三角形的面積公式可求得的長.

【小問1詳解】

解：因為，若，則，不滿足，

所以，，，.

【小問2詳解】

解：由及①，由余弦定理可得，即，

，解得；

由及②，由余弦定理可得，

由可得，可得；

由及③，由三角形的面積公式可得，可得.

經(jīng)分析可知①②不能同時成立，①③不能同時成立，正確條件為②③，故，.

（i）將，代入②可得可得.

在中，由正弦定理，故.

（ii）因為，即，

所以，.

19.已知數(shù)列中，，設(shè)為前項和，．

（1）求的通項公式；

（2）求數(shù)列的前項和．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，化簡得到，得出當(dāng)時，可得，結(jié)合疊乘法，求得，驗證，即可求解.

（2）由（1）得到，結(jié)合乘公比錯位相減法求和，即可求解.

【小問1詳解】

解：由數(shù)列中，，且

當(dāng)時，，解得，

當(dāng)時，可得，

所以，即，

則當(dāng)時，可得，所以，

當(dāng)或時，，適合上式，

所以數(shù)列的通項公式為.

【小問2詳解】

解：由（1）知，可得，

所以，

可得，

兩式相減，得，

所以.

20.已知函數(shù)（且）的兩個相鄰的對稱中心的距離為．

（1）求在R上的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）將圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)，若，，求的值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）先化簡函數(shù)得，再根據(jù)單調(diào)性求解即可；

（2）先由平移伸縮得出，再結(jié)合二倍角余弦公式計算即得.

【小問1詳解】

，

由題意知，的最小正周期為，所以，解得，

∴，

令，，解得，

所以在R上的單調(diào)遞增區(qū)間為

【小問2詳解】

，，得，

∵，∴，

∴，

∴

21.已知函數(shù)，．

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

【答案】（1）答案見解析；

（2）.

【解析】

【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，對a分類討論，解不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)性；

（2）關(guān)于的不等式恒成立等價于在恒成立，構(gòu)建函數(shù)，研究其單調(diào)性與最值即可.

【小問1詳解】

的定義域為，求導(dǎo)得：，

若時，則，此時在單調(diào)遞增；

若時，則當(dāng)時，在單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，f(x)在單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

當(dāng)時，，

由題意在上恒成立，

令，則，

令，則，所以在上遞增，

又，所以在上有唯一零點，

由得，

當(dāng)時，即，單調(diào)遞減；時，即，單調(diào)遞增，所以為在定義域內(nèi)的最小值.

即

令，則方程等價于，

又易知單調(diào)遞增，所以，即

所以，的最小值

所以，即實數(shù)的取值范圍是

【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

22.已知函數(shù)．

（1）若直線與的圖像相切，且切點的橫坐標(biāo)為1，求實數(shù)m和b的值；

（2）若函數(shù)在上存在兩個極值點，且，證明：．

【答案】（1），

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

（2）首先根據(jù)題意得到，從而得到，再利用換元法，得到只需證即可.

【小問1詳解】

由題意，切點坐標(biāo)為，

所以切線斜率為，所以，

切線為，整理得，所以．

【小問2詳解】

由（1）知．

由函數(shù)在上存在兩個極值點，且，知，

則且，

聯(lián)立得，

即，

設(shè)，則，

要證，，只需證，只需證，

只需證．

構(gòu)造函數(shù)，則．

故，在上遞增，，即，絕密★啟用前

濱城高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高三期中1考試

數(shù)學(xué)

命題人：大連市第二十三中學(xué)馬曉晶校對人：大連市第二十三中學(xué)劉金秋

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1.設(shè)命題，則為（）

A.B.

C.D.

2.已知集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（）

A.B.C.D.

3.若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則的值為（）

A.3B.C.1D.

5.函數(shù)（且）圖象恒過定點，若且，，則的最小值為（）

A.9B.8C.D.

6.已知中，，，，在線段BD上取點E，使得，則（）

A.B.C.D.

7.已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同零點，從小到大依次為，，，，則的取值范圍為（）

A.B.C.D.

8.設(shè)函數(shù)（且）滿足以下條件：①，滿足；②，使得；且，則關(guān)于x的不等式的最小正整數(shù)解為（）

A.1B.2C.3D.4

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．

9.下列結(jié)論正確的是（）

A.若a，b為正實數(shù)，，則

B.若a，b，m為正實數(shù)，，則

C.若，則“”是“”的充分不必要條件

D.不等式成立的充分不必要條件是，則m的取值范圍是

10.已知向量滿足，且，則（）

A.B.

C.D.

11.已知為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，記，下列結(jié)論正確的是（）

A.為奇函數(shù)

B.若的一個零點為，且，則

C.在區(qū)間的零點個數(shù)為個

D.若大于的零點從小到大依次為，則

12.已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時，，③，則以下說法中正確是（）

A.的圖象關(guān)于對稱

B.

C.在上的最大值是10

D.不等式的解集為

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．

13.已知，