48.專題四 幾何折疊問題課件

幾何折疊問題類型一勾股定理在折疊中的應用一、勾股定理在直角三角形折疊中的應用方法解讀圖形分析將△ABC按照如圖所示的折痕折疊．解題思路(1)如圖①，設DE＝x，則CD＝DE＝x，AE＝AC＝b，故BD＝a－x，BE＝c－b.在Rt△BED中，(c－b)2＋x2＝(a－x)2；(2)如圖②，設CF＝x，則FD＝AF＝b－x，在Rt△DCF中，m2＋x2＝(b－x)2.方法應用1.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，將△ABC折疊，使點C與AB的中點D重合，折痕交AC于點M，交BC于點N，則線段CN的長為____．第1題圖2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，點D是BC上一動點，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點C落在點E處，DE交AB于點F，當∠DEB是直角時，DF的長為____．第2題圖3.(2022濟寧)如圖，在三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3.沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊BC上的點D處；再折疊紙片，使點C與點D重合，若折痕與AC的交點為E，則AE的長是____．第3題圖【解析】(1)由折疊的性質得AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，∴EG＝

＝3，∴EG∶AC＝3∶6＝1∶2；4.(2022合肥四十二中三模)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，點E在線段AC上，且AE＝1，D是線段BC上的一點，連接DE，將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，當點G恰好落在線段AC上時．(1)EG∶AC＝______；第4題圖1∶2(2)連接AF，則AF＝_____．第4題圖(2)如圖，過點F作FH⊥AC于點H，∟H∵sin∠FEG＝

，∴

，∴HF＝

，∵cos∠FEG＝

，∴

，∴EH＝

，∴AH＝AE＋EH＝

，∴AF＝

解題關鍵點過點F作AC的垂線，將線段AF轉化在直角三角形中．二、勾股定理在矩形折疊中的應用方法解讀圖形分析在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，將矩形按照如圖所示的折痕折疊．解題思路(1)如圖①，設DF＝x，則BF＝DF＝x，CF＝b－x.在Rt△CDF中，a2＋(b－x)2＝x2；(2)如圖②，設CE＝x，則DE＝EF＝a－x，在Rt△ABF中，a2＋BF2＝b2，求出BF，進而求出CF的長．在Rt△CEF中，x2＋CF2＝(a－x)2，求出x，從而求得DE的長．方法應用5.如圖，正方形ABCD的邊長為4，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH，若BE∶EC＝3∶1，則線段CH的長是(

)A.3B.

C.1

D.2第5題圖B6.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，將矩形沿AC折疊，點B落在點E處，線段CE交AD于定點O，過點O作OG⊥AC于點G，過點G作GH⊥BC于點H，則

的值為(

)A.1B.

C.

D.

第6題圖B7.(2022畢節(jié))如圖，在矩形紙片ABCD中，E為BC的中點，連接AE，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，連接CF.若AB＝4，BC＝6，則CF的長是________．第7題圖【解析】如圖，連接BF，交AE于O點，O∵將△ABE沿AE折疊得到△AFE，∴BE＝EF，∠AEB＝∠AEF，AE垂直平分BF，∵E為BC的中點，∴BE＝CE＝EF＝3，∴∠EFC＝∠ECF，第7題圖O∵∠BEF＝∠ECF＋∠EFC，∴∠AEB＝∠ECF，∴AE∥CF，∴∠BFC＝∠BOE＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝

＝5，∴BO＝

，∴BF＝2BO＝

，在Rt△BCF中，由勾股定理得，CF＝

.【答案】類型二全等、相似在折疊中的應用方法解讀圖形分析將矩形ABCD按照如圖所示的折痕折疊點B′落在矩形外點B′落在矩形內部(2017.14)結論①全等關系：△ABC≌△AB′C，△AB′F≌△CDF；②常用的特殊三角形：Rt△AFB′，Rt△CFD，等腰△AFC①全等關系：△BCP≌△B′CP；②相似關系：△AB′P∽△ABC方法應用1.(2022合肥三十八中一模)如圖，在△ABC紙片中，BC＝4，AC＝7，AB＝6，點D，E分別在AC，AB上，連接DE，將△ADE沿DE翻折，使點A的對應點F落在CB的延長線上，若FD平分∠EFC，則AD的長為(

)A.5B.4.2C.2.8D.2.4第1題圖B2.如圖，矩形紙片ABCD，AB＝4，AD＝6，點G是邊AD上的點，AG＝2，點H是邊BC上一點，將紙片沿GH折疊，A，B的對應點分別為E，F(xiàn).(1)當點F落在邊DC上時，CF的長為___；(2)CF的最小值為________．第2題圖2

解題關鍵點連接CG，F(xiàn)G，在△CFG中，利用CF≥CG－GF解題．3.(2022合肥一模)如圖，點E是菱形ABCD的邊AD的中點，點F是AB上的一點，點G是BC上的一點，先以CE為對稱軸將△CDE折疊，使點D落在CF上的點D′處，再以EF為對稱軸折疊△AEF，使得點A的對應點A′與點D′重合，以FG為對稱軸折疊△BFG，使得點B的對應點B′落在CF上.(1)寫出圖中一組相似三角形(除全等三角形)________________；(2)若∠A＝60°，則

的值為___．第3題圖△ECD′∽△GFB′

解題關鍵點求證△ECD′∽△GFB′是解題的關鍵．4.(2021包河區(qū)二模)如圖，正方形ABCD的邊長為8，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將正方形沿EF折疊，使點A落在點A′處，點B落在點B′處，A′B′交BC于點G.以下結論：①當A′為CD的中點時，△A′DE三邊之比為3∶4∶5；②當△A′DE三邊之比為3∶4∶5時，A′為CD的中點；③當A′在CD上移動時，△A′CG周長不變；④當A′在CD上移動時，始終有A′G＝A′D＋BG.其中正確的有________(寫出所有正確結論的序號).第4題圖第4題圖【解析】∵A′為CD的中點，正方形ABCD的邊長為8，∴AD＝8，A′D＝

CD＝4，∠D＝90°，由折疊性質得A′E＝AE，設A′E＝AE＝x，則DE＝8－x，∵在Rt△A′DE中，A′D2＋DE2＝A′E2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴AE＝5，DE＝3，∴當A′為CD的中點時，△A′DE三邊之比為3∶4∶5，故①正確；當△A′DE三邊之比為3∶4∶5時，設A′D＝3a，DE＝4a，A′E＝5a，則AE＝A′E＝5a，∵AD＝AE＋DE＝8，∴5a＋4a＝8，解得a＝

，∴A′D＝3a＝

，A′C＝CD－A′D＝8－

＝

，∴此時A′不是CD的中點，故②錯誤；第4題圖如圖，過點A作AH⊥A′G，垂足為H，連接A′A，AG，第4題圖∟H則∠AHA′＝∠AHG＝90°，由折疊的性質得∠EA′G＝∠EAB＝90°，A′E＝AE，∵∠D＝90°，∴∠EAA′＋∠DA′A＝90°，∵AE＝A′E，∴∠EAA′＝∠EA′A，∵∠EA′A＋∠AA′G＝90°，∴∠AA′G＝∠DA′A，∴△AA′D≌△AA′H(AAS)，∴AD＝AH，A′D＝A′H，∵AD＝AB，∴AH＝AB，第4題圖∟H在Rt△ABG與Rt△AHG中

∴Rt△ABG≌Rt△AHG(HL)，∴HG＝BG，∴△A′CG的周長為A′C＋A′G＋CG＝A′C＋A′H＋HG＋CG＝A′C＋A′D＋BG＋CG＝CD＋BC＝8＋8＝16，∴當A′在CD上移動時，△A′CG周長不變，故③正確；∵△AA′D≌△AA′H，RtABG≌Rt△AHG，∴A′D＝A′H，HG＝BG，∴A′G＝A′H＋HG＝A′D＋BG，故④正確．【答案】①③④類型三折疊產(chǎn)生特殊圖形的證明及計算(2020、2017.14)1.(2021重慶A卷)如圖，三角形紙片ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6.將這張紙片沿直線DE翻折，點A與點F重合．若DE∥BC，AF＝EF，則四邊形ADFE的面積為_____．第1題圖2.(2021江西)如圖，將?ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點E處，CE交AD于點F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，F(xiàn)C＝a，F(xiàn)D＝b，則?ABCD的周長為________．第2題圖4a＋2b3.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝6，點E，F(xiàn)分別是矩形的邊AD，BC上的動點，將該紙片沿直線EF折疊，使點B落在矩形邊AD上，對應點記為點G，點A落在點M處，連接EF，BG，BE，EF與BG交于點N.(1)四邊形BEGF的形狀為_____；(2)當點G與點D重合時，EF＝________．第3題圖菱形4.(2020安徽14題)在數(shù)學探究活動中，敏敏進行了如下操作：如圖，將四邊形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使得點B落在CD上的點Q處，折痕為AP；再將△PCQ，△ADQ分別沿PQ，AQ折疊，此時點C，D落在AP上的同一點R處．請完成下列探究：(1)∠PAQ的大小為________°；第4題圖【解析】(1)如圖，由折疊的性質得∠AQP＝∠B，∠C＋∠D＝∠PRQ＋∠ARQ＝180°，∠DQA＝∠RQA，∠CQP＝∠RQP，且∠DQA＋∠RQA＋∠CQP＋∠RQP＝180°，∴AD∥BC，∠B＝∠AQP＝90°，即∠BAD＝90°＝∠1＋∠2＋∠3，由折疊的性質知∠1＝∠2＝∠3，∴∠PAQ＝∠2＝30°；第4題圖【答案】30；123當四邊形APCD為平行四邊形時，∠C＝∠DAP＝∠1＋∠2＝60°，∴AD＝AR＝CP＝PR.又∵∠AQP＝90°.∴QR＝PR.∵∠QRP＝60°.∴△PQR為等邊三角形，∴QR＝QP，∠RPQ＝60°，∴∠QRP＝∠C＝60°＝∠QPR，∴tan∠APQ＝

，由折疊的性質得AB＝AQ，∴

.(2)當四邊形APCD是平行四邊形時，

的值為____．第4題圖123(2)如圖，5.(2022安慶二模)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，點P是AB上一點，連接CP，將∠B沿CP折疊，使點B落在點D處，連接AD.(1)當四邊形ACPD為菱形時，∠BCP＝_____；第5題圖【解析】(1)由翻折可得，BP＝DP，∵四邊形ACPD為菱形，∴CP＝DP，∴CP＝BP，∵∠B＝30°，∴∠BCP＝30°；30°第5題圖(2)當點D在AB上方時，如解圖①，過P作PH⊥BC交于H，(2)當∠DPA＝30°時，DP＝________．第5題解圖①∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，∴BC