2023-2024學(xué)年吉林省四平市公主嶺市第五高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末檢測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年吉林省四平市公主嶺市第五高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的值是（）A. B.C. D.2．在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列中，首項(xiàng)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A. B.C. D.3．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被圓所截得的弦最短時(shí)的直線的方程為（）A. B.C. D.4．已知點(diǎn)與不重合的點(diǎn)A，B共線，若以A，B為圓心，2為半徑的兩圓均過(guò)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.5．如圖，A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，且平面ABC中的小方格均為單位正方形，，，則（）A.1 B.C.2 D.6．隨機(jī)地向兩個(gè)標(biāo)號(hào)分別為1與2的格子涂色，涂上紅色或綠色，在已知其中一個(gè)格子顏色為紅色條件下另一個(gè)格子顏色也為紅色的概率為（）A. B.C. D.7．過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作x軸的垂線，并交C于A，B兩點(diǎn)，直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn).若以線段AB為直徑的圓與有2個(gè)公共點(diǎn)，則C的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)且在第一象限，以為圓心，為半徑的圓交的準(zhǔn)線于，兩點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線，則（）A.2 B.4C.6 D.89．若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍（）A. B.C. D.10．在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（）A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心11．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.不存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為90°B.存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為45°C.存在點(diǎn)使得二面角的平面角為45°D.當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積為12．已知橢圓的中心為，一個(gè)焦點(diǎn)為，在上，若是正三角形，則的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．寫(xiě)出一個(gè)離心率且焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程________,并寫(xiě)出該雙曲線的漸近線方程________14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)______.15．已知數(shù)列滿足，，則使得成立的n的最小值為_(kāi)_________.16．如圖，在直棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).18．（12分）已知四邊形是空間直角坐標(biāo)系中的一個(gè)平行四邊形，且，，（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求平行四邊形的面積19．（12分）在如圖所示的多面體中，且，，，且，，且，平面，（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值20．（12分）男子10米氣步槍比賽規(guī)則如下：在資格賽中，射手在距離靶子10米處，采用立姿，在105分鐘內(nèi)射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8名的射手進(jìn)入決賽；在決賽中，每位射手僅射擊10發(fā)子彈．已知甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員均進(jìn)入了決賽，資格賽中的環(huán)數(shù)情況整理得下表：環(huán)數(shù)頻數(shù)678910甲2352327乙5502525以各人這60發(fā)子彈環(huán)數(shù)的頻率作為決賽中各發(fā)子彈環(huán)數(shù)發(fā)生的概率，甲乙兩人射擊互不影響（1）求甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；（2）決賽打完第9發(fā)子彈后，甲比乙落后2環(huán)，求最終甲能戰(zhàn)勝乙（甲環(huán)數(shù)大于乙環(huán)數(shù)）的概率21．（12分）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且的短軸長(zhǎng)為（1）求的方程；（2）若直線與交于P，Q兩點(diǎn)，，且的面積為，求k22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，為正三角形，且側(cè)面底面ABCD，（1）求證：平面ACM；（2）求平面MBC與平面DBC的夾角的大小

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式可以求出的面積是關(guān)于的一個(gè)式子，即可求出答案.【詳解】圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)為..當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.故選：C.2、C【解析】當(dāng)時(shí)，，故可以得到，因?yàn)?，進(jìn)而得到，所以是等比數(shù)列，進(jìn)而求出【詳解】由，得，得，又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，∴，∴，即∴數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和，得，故選：C.3、C【解析】當(dāng)是弦中點(diǎn)，她能時(shí)，弦長(zhǎng)最短．由此可得直線斜率，得直線方程【詳解】根據(jù)題意，圓心為，當(dāng)與直線垂直時(shí)，點(diǎn)被圓所截得的弦最短，此時(shí)，則直線的斜率，則直線的方程為，變形可得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，掌握垂徑定理是求解圓弦長(zhǎng)問(wèn)題的關(guān)鍵4、D【解析】由題意可得兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓，然后由圓的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最小，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可【詳解】設(shè)點(diǎn)，則以A，B為圓心，2為半徑的兩圓方程分別為和，因?yàn)閮蓤A過(guò)，所以和，所以兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓，因?yàn)辄c(diǎn)與不重合的點(diǎn)A，B共線，所以為圓的一條弦，所以當(dāng)弦長(zhǎng)最小時(shí)，，因?yàn)?，半徑?，所以弦長(zhǎng)的最小值為，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)為4，因?yàn)?，所以?dāng)弦長(zhǎng)最小時(shí)，的最大值為，當(dāng)弦長(zhǎng)最大時(shí)，的最小值為，所以的取值范圍為，故選：D5、B【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，將向量表示為，再根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算可得答案,【詳解】因?yàn)?，所?，故選：B.6、D【解析】根據(jù)古典概型的概率公式即可得出答案.【詳解】在已知其中一個(gè)格子顏色為紅色條件下另一個(gè)格子顏色有紅色與綠色兩種情況，其中一個(gè)格子顏色為紅色條件下另一個(gè)格子顏色也為紅色的情況有1種，所以在已知其中一個(gè)格子顏色為紅色條件下另一個(gè)格子顏色也為紅色的概率為.故選：D.7、A【解析】求得以為直徑的圓的圓心和半徑，求得直線的方程，利用圓心到直線的距離小于半徑列不等式，化簡(jiǎn)后求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】橢圓的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，，所以為直徑的圓的圓心為，半徑為.直線的方程為，由于以線段為直徑的圓與相交，所以，，，，，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A8、B【解析】根據(jù)，，三點(diǎn)共線，結(jié)合點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，得到，再利用拋物線的定義求解.【詳解】如圖所示：∵，，三點(diǎn)共線，∴是圓的直徑，∴，軸，又為的中點(diǎn)，且點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，∴，由拋物線的定義可得，故選：B.9、B【解析】用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)，使用參數(shù)分離法即可.【詳解】，在上是增函數(shù)，即恒成立，；設(shè)，；∴時(shí)，是增函數(shù)；時(shí)，是減函數(shù)；故時(shí)，，∴；故選：B.10、B【解析】利用三角形面積公式，推出點(diǎn)O到三邊距離相等?！驹斀狻坑淈c(diǎn)O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心.故選：B11、D【解析】由正方體的性質(zhì)可將異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，而當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，可得，可判斷A；與或重合時(shí)，直線與所成的角最小可判斷B；當(dāng)與重合時(shí)，二面角的平面角最小，通過(guò)計(jì)算可判斷C；過(guò)作，交于，交于點(diǎn)，由題意可得四邊形即為平面截正方體所得的截面，且四邊形是等腰梯形，然后利用已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可判斷D.【詳解】異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)與所成的角為90°，所以A錯(cuò)誤；當(dāng)與或重合時(shí)，直線與所成角最小，為60°，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)與重合時(shí)，二面角的平面角最小，，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過(guò)作，交于，交于點(diǎn)，因?yàn)椋?、分別是、的中點(diǎn)，又，所以，四邊形即為平面截正方體所得的截面，因?yàn)?，且，所以四邊形是等腰梯形，作交于點(diǎn)，所以，，所以梯形的面積為，所以D正確.故選：D.12、D【解析】根據(jù)是正三角形可得的坐標(biāo)，代入方程后可求離心率.【詳解】不失一般性，可設(shè)橢圓的方程為：，為半焦距，為右焦點(diǎn)，因?yàn)榍?，故，故，，整理得到，故，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.(答案不唯一)②.(答案不唯一)【解析】令雙曲線為，根據(jù)離心率可得，結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系寫(xiě)出一個(gè)符合要求的雙曲線方程，進(jìn)而寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的漸近線方程.【詳解】由題設(shè)，可令雙曲線為且，∴，則，故為其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程，此時(shí)漸近線方程為.故答案為：，(答案不唯一).14、【解析】根據(jù)公式求解即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橐策m合此等式，所以.故答案為：15、11【解析】由題設(shè)可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義知從第二項(xiàng)開(kāi)始是公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，即可求使成立的最小值n.【詳解】因?yàn)?，所以，兩式相除得，整理?因?yàn)?，故從第二?xiàng)開(kāi)始是等比數(shù)列，且公比為2，因?yàn)椋瑒t，所以，則，由得：，故故答案為：11.16、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系后求相關(guān)的向量后再用夾角公式運(yùn)算即可.【詳解】如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，故異面直線與所成角的余弦值為，故答案為:.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；或時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).【解析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分和兩種情況判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)，求其單調(diào)區(qū)間；（2）由，得，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和極值，畫(huà)出此函數(shù)的圖像，再判斷圖像與直線的交點(diǎn)情況，從而可得答案【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）顯然0不是函數(shù)的零點(diǎn)，由，得.令，則.或時(shí)，，時(shí)，，所以在和上都是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，時(shí)取極小值，又當(dāng)時(shí)，.所以時(shí)，關(guān)于的方程無(wú)解，或時(shí)關(guān)于的方程只有一個(gè)解，時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同解.因此，時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，或時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的零點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是由，得，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和極值，畫(huà)出此函數(shù)的圖像，再判斷圖像與直線的交點(diǎn)情況，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題18、（1）；（2）【解析】（1）由題設(shè)可得，結(jié)合向量的共線坐標(biāo)表示求的坐標(biāo)；（2）向量的坐標(biāo)運(yùn)算求邊長(zhǎng)，由余弦定理求，進(jìn)而求其正弦值，再應(yīng)用三角形面積公式求面積.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，，令，則，∴，可得，故.【小問(wèn)2詳解】由（1），，，則，又，則，∴平行四邊形的面積.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，證明即可得證；（2）求出平面與平面的法向量，再利用向量法即可得解.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，且，因?yàn)?，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，，所以；【小問(wèn)2詳解】，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，有，設(shè)平面和平面的夾角為，，所以平面和平面的夾角的余弦值為20、（1）（2）【解析】（1）先求出甲運(yùn)動(dòng)員打中10環(huán)的概率，從而可求出甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；（2）由于甲比乙落后2環(huán)，所以甲要獲勝，則乙6環(huán)，甲9環(huán)或10環(huán)，或者乙7環(huán)，甲10環(huán)，再利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求解即可【小問(wèn)1詳解】由表中的數(shù)據(jù)可得甲運(yùn)動(dòng)員打中10環(huán)的概率為，所以甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率為【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榧妆纫衣浜?環(huán)，所以甲要獲勝，則乙打中6環(huán)，甲打中9環(huán)或10環(huán)，或者乙打中7環(huán)，甲打中10環(huán)，因?yàn)橛深}意可得乙打中6環(huán)的概率和打中7環(huán)的概率均為，甲打中9環(huán)的概率為，打中10環(huán)的概率為，且甲乙兩人射擊互不影響所以最終甲能戰(zhàn)勝乙的概率為21、（1）（2）或k=1.【解析】（1）根據(jù)題意求得雙曲線的焦點(diǎn)即知橢圓焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓短軸長(zhǎng)，可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，整理得，從而得到根與系數(shù)的關(guān)系式，然后求出弦長(zhǎng)以及到直線PQ的距離，進(jìn)而表示出，由題意得關(guān)于k的方程，解得答案.【小問(wèn)1詳解】雙曲線即，故雙曲線交點(diǎn)坐標(biāo)為，由此可知橢圓焦點(diǎn)也為，又的短軸長(zhǎng)為，故，所以，故橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】聯(lián)立，整理得：，其，設(shè)，則，所以=，點(diǎn)到直線PQ的距離為，所以=，又的面積為，則=，解得或k=1.22、（1）證明見(jiàn)解析（2）30°【解析】（1）