2023-2024學(xué)年廣東省云浮市郁南縣連灘中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題含解析

2023-2024學(xué)年廣東省云浮市郁南縣連灘中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．曲線在處的切線的斜率為（）A.-1 B.1C.2 D.32．已知雙曲線E的漸近線為，則其離心率為（）A. B.C. D.或3．下列四個命題中為真命題的是（）A.設(shè)p：1＜x＜2，q：2x＞1，則p是q的必要不充分條件B.命題“”的否定是“”C.函數(shù)的最小值是4D.與的圖象關(guān)于直線y＝x對稱4．若將雙曲線繞其對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象，且該函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.5．已知，，，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.6．一盒子里有黑色、紅色、綠色的球各一個，現(xiàn)從中選出一個球.事件選出的球是紅色，事件選出的球是綠色.則事件與事件（）A.是互斥事件，不是對立事件 B.是對立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是對立事件 D.既不是互斥事件也不是對立事件7．已知雙曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，其虛軸長為（）A.16 B.8C.2 D.18．據(jù)記載，歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”特別是當(dāng)時，得到一個令人著迷的優(yōu)美恒等式，將數(shù)學(xué)中五個重要的數(shù)（自然對數(shù)的底，圓周率，虛數(shù)單位，自然數(shù)的單位和零元）聯(lián)系到了一起，有些數(shù)學(xué)家評價它是“最完美的數(shù)學(xué)公式”.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)的虛部（）A. B.C. D.9．直線被圓所截得的弦長為（）A. B.C. D.10．函數(shù)在處的切線方程為()A. B.C. D.11．已知雙曲線的離心率，點是拋物線上的一動點，到雙曲線的上焦點的距離與到直線的距離之和的最小值為，則該雙曲線的方程為A. B.C. D.12．已知平面法向量為，，則直線與平面的位置關(guān)系為A. B.C.與相交但不垂直 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若過點作圓的切線，則切線方程為___________.14．圓錐的高為1，底面半徑為，則過圓錐頂點的截面面積的最大值為____________15．已知拋物線的焦點F在直線上，過點F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，△的面積是△面積的4倍，則直線l的方程為____________16．已知，在直線上存在點P，使，則m的最大值是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直棱柱中，已知，點分別的中點.（1）求異面直線與所成的角的大小；（2）求點到平面的距離；（3）在棱上是否存在一點，使得直線與平面所成的角的大小是?若存在，請指出點的位置，若不存在，請說明理由.18．（12分）2021年7月29日，中國游泳隊獲得了女子米自由泳接力決賽冠軍并打破世界紀(jì)錄.受奧運精神的鼓舞，某游泳俱樂部組織100名游泳愛好者進行自由泳1500米測試，并記錄他們的時間（單位：分鐘），將所得數(shù)據(jù)分成5組：，，，，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求出直方圖中m的值；（2）利用樣本估計總體的思想，估計這100位游泳愛好者1500米自由泳測試時間的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表）.19．（12分）某班名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是、、、.（1）估計該班本次測試的平均分；（2）在、中按分層抽樣的方法抽取個數(shù)據(jù)，再從這個數(shù)據(jù)中任抽取個，求抽出個中至少有個成績在中的概率.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動點，滿足，記點的軌跡為（1）請說明是什么曲線，并寫出它的方程；（2）設(shè)不過原點且斜率為的直線與交于不同的兩點，，線段的中點為，直線與交于兩點，，請判斷與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1（1）求證：AB⊥PC；（2）點M在線段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，求三棱錐M﹣ACP體積22．（10分）在等差數(shù)列中，已知公差，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】先求解出導(dǎo)函數(shù)，然后代入到導(dǎo)函數(shù)中，所求導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率.【詳解】因為，所以，所以切線的斜率為.故選：D.2、D【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程與漸近線的關(guān)系即可求解.【詳解】當(dāng)雙曲線焦點在x軸上時，漸近線為，故離心率為；當(dāng)雙曲線焦點在y軸上時，漸近線為，故離心率為；故選：D.3、D【解析】根據(jù)推出關(guān)系和集合的包含關(guān)系判斷A，根據(jù)全稱命題的否定形式可判斷B，根據(jù)對鉤函數(shù)性質(zhì)即三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)反函數(shù)的圖像性質(zhì)可判斷D.【詳解】解：對于選項A：是的真子集，所以命題p是q的充分不必要條件，故A錯誤；對于選項B：命題“”的否定是“”，故B錯誤；對于選項C：函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時取最小值，故C錯誤；對于選項D：與互為反函數(shù)，故圖象關(guān)于直線y＝x對稱，故D正確.4、C【解析】由題意，可知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為120°，再確定參數(shù)的正負(fù)即可求解.【詳解】雙曲線，令，則，顯然，則一條漸近線方程為，繞其對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象，則漸近線就需要旋轉(zhuǎn)到與坐標(biāo)軸重合，故漸近線方程的傾斜角為120°，即，該函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，可知，所以，所以.故選：C5、A【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及根式的運算，確定的大小關(guān)系，則問題得解.【詳解】因為，即；又，故.故選：A.6、A【解析】根據(jù)事件的關(guān)系進行判斷即可.【詳解】由題意可知，事件與為互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件與事件是互斥事件，不是對立事件.故選：A.【點睛】本題考查事件關(guān)系的判斷，考查互斥事件和對立事件概率的理解，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程的特點，結(jié)合虛軸長的定義進行求解即可.【詳解】因為雙曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，所以，因此該雙曲線的虛軸長為，故選：C8、D【解析】由歐拉公式的定義和復(fù)數(shù)的概念進行求解.【詳解】由題意，得，則復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.9、A【解析】求得圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合點到直線的距離公式和圓的弦長公式，即可求解.【詳解】由圓的方程可知圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，所以弦長為.故選：A.10、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求切線方程﹒【詳解】，，，，在處的切線為：，即﹒故選：C﹒11、B【解析】先根據(jù)離心率得，再根據(jù)拋物線定義得最小值為（為拋物線焦點），解得，即得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的離心率，所以，設(shè)為拋物線焦點，則，拋物線準(zhǔn)線方程為，因此到雙曲線的上焦點的距離與到直線的距離之和等于，因為，所以，即，即雙曲線的方程為，選B.【點睛】本題考查雙曲線方程、離心率以及拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬中檔題.12、A【解析】.本題選擇A選項.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】根據(jù)圓心到切線的距離等于圓的半徑即可求解.【詳解】由題意可知，，故在圓外，則過點做圓的切線有兩條，且切線斜率必存在，設(shè)切線為，即，則圓心到直線的距離，解得或，故切線方程為或故答案為：或14、2【解析】求出圓錐軸截面頂角大小，判斷并求出所求面積最大值【詳解】如圖，是圓錐軸截面，是一條母線，設(shè)軸截面頂角為，因為圓錐的高為1，底面半徑為，所以，，所以，，設(shè)圓錐母線長為，則，截面的面積為，因為，所以時，故答案為：215、【解析】設(shè)A，B分別為，由焦點在已知直線上求F坐標(biāo)及拋物線方程，再根據(jù)題設(shè)三角形的面積關(guān)系可得，并設(shè)直線l為，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達定理求參數(shù)m，即可知直線l的方程.【詳解】設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為，直線，令可得，故焦點F的坐標(biāo)為，所以，由，，而△的面積是△面積的4倍，所以，即，設(shè)直線l為，聯(lián)立方程，消去x后整理為，所以，代入，有，可得，則直線l的方程為故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)拋物線焦點位置及其所在直線求拋物線方程，由面積關(guān)系得到交點縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，注意交點在x軸兩側(cè)，再設(shè)直線聯(lián)立拋物線求參數(shù)即可.16、11【解析】設(shè)P點坐標(biāo)，根據(jù)條件知，由向量的坐標(biāo)運算可得P點位于圓上，再根據(jù)P存在于直線上，可知直線和圓有交點，因此列出相應(yīng)的不等式，求得m范圍，可得m的最大值.【詳解】設(shè)P（x,y）,則，由題意可知,所以，即，即滿足條件的點P在圓上，又根據(jù)題意P點存在于直線上，則直線與圓有交點，故有圓心(1,0)到直線的距離小于等于圓的半徑，即，解得，則m的最大值為11，故答案為：11.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）不存在，理由見解析【解析】（1）由題意，以點A為原點，方向分別為x軸、y軸與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.，利用向量法求解異面直線成角即可.（2）先求出平面DEF的一個法向量，然后利用向量法求解點面距離.（3）設(shè)（），由可得關(guān)于的方程，從而得出答案.【小問1詳解】由題意，以點A為原點，方向分別為x軸、y軸與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，故，，從而，所以異面直線AE與DF所成角的大小為.小問2詳解】，設(shè)平面DEF的法向量為，則，即，取，得到平面DEF的一個法向量為.點A到平面DEF的距離為.【小問3詳解】假設(shè)存在滿足條件的點M，設(shè)（），則，從而.即，即，此方程無實數(shù)解，故不存在滿足條件的點M.18、（1）（2），【解析】（1）利用頻率之和也即各矩形的面積和為1即可求解.（2）利用平均數(shù)和中位數(shù)的計算方法求解即可.【小問1詳解】由，可得.【小問2詳解】平均數(shù)為：，設(shè)中位數(shù)為，則，解得.19、（1）；（2）.【解析】（1）將每個矩形底邊的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全部相加可得的值；（2）分析可知，所抽取的個數(shù)據(jù)中，成績在內(nèi)的有個，分別記為、、、，成績在內(nèi)的有個，分別記為、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：由頻率分布直方圖可得.【小問2詳解】解：因為數(shù)學(xué)成績在、內(nèi)的頻率分別為、，所以，所抽取的個數(shù)據(jù)中，成績在內(nèi)的有個，分別記為、、、，成績在內(nèi)的有個，分別記為、，從這個數(shù)據(jù)中，任取抽取個，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共個，其中，事件“抽出個中至少有個成績在中”所包含的基本事件有：、、、、、、、、，共個，故所求概率為.20、（1）橢圓，（2），證明見解析【解析】（1）結(jié)合橢圓第一定義直接判斷即可求出的軌跡為；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，寫出韋達定理；由中點公式求出點，進而得出直線方程，聯(lián)立橢圓方程求出，結(jié)合弦長公式可求，可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達定理可化簡，進而得證.【小問1詳解】設(shè)，，則因為，滿足，即動點表示以點，為左、右焦點，長軸長為4，焦距為的橢圓，其軌跡的方程為；【小問2詳解】可以判斷出，下面進行證明：設(shè)直線的方程為，，，由方程組，得①，方程①判別式為，由，即，解得且由①得，，所以點坐標(biāo)為，直線方程為，由方程組，得，，所以又所以.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為證明AB⊥平面PAC，然后結(jié)合已知可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法結(jié)合已知先確定點M位置，然后轉(zhuǎn)化法求體積可得.【小問1詳解】由題意得四邊形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=.又BC=2，所以，所以，所以AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.而PA平面PAC，AC平面PAC，，所以AB⊥平面PAC.又PC平面PAC，所以AB⊥PC【小問2詳解】過點A作AE⊥BC于E，易知E為BC中點，以A為原點，AE，AD，AP