2023屆四川省瀘州市瀘縣五中高考模擬信息考試數(shù)學(xué)試題（五）

2023屆四川省瀘州市瀘縣五中高考模擬信息考試數(shù)學(xué)試題（五）注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為99，則判斷框中可以填（）A． B． C． D．2．某人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其軌道的離心率為，設(shè)地球半徑為，該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為，則該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為（）A． B．C． D．3．若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則實(shí)數(shù)a為（）A． B．2 C． D．4．函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．5．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．106．函數(shù)的圖象大致是()A． B．C． D．7．如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖．則下列結(jié)論中表述不正確的是()A．從2000年至2016年，該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額逐年增加；B．2011年該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多；C．2012年該地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2004年的投資額翻了兩番；D．為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為）建立了投資額y與時(shí)間變量t的線性回歸模型，根據(jù)該模型預(yù)測(cè)該地區(qū)2019的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為256.5億元.8．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等腰或直角三角形 D．鈍角三角形9．下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)10．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn).若依次構(gòu)成等差數(shù)列，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．11．已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．12．德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個(gè)關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開式,該公式于明朝初年傳入我國(guó).在我國(guó)科技水平業(yè)已落后的情況下,我國(guó)數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國(guó)的數(shù)學(xué)研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時(shí)近30年,證明了包括這個(gè)公式在內(nèi)的三個(gè)公式,同時(shí)求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個(gè)新級(jí)數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國(guó)用級(jí)數(shù)計(jì)算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開式”計(jì)算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，是互相垂直的單位向量，若與λ的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是__．14．在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（3,4），則該雙曲線的準(zhǔn)線方程為_____．15．下圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的x的值為_______．16．四邊形中，，，，，則的最小值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知成等差數(shù)列.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.18．（12分）在如圖所示的四棱錐中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，.（1）求證：平面；（2）已知二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）如圖，在四棱柱中，平面，底面ABCD滿足∥BC，且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知圓的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是是參數(shù)），若直線與圓相切，求實(shí)數(shù)的值.21．（12分）如圖，三棱臺(tái)的底面是正三角形，平面平面，.（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線l過點(diǎn)，且傾斜角為，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程，并判斷曲線C是什么曲線；設(shè)直線l與曲線C相交與M，N兩點(diǎn)，當(dāng)，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，即可容易求得結(jié)果.【詳解】運(yùn)行該程序：第一次，，；第二次，，；第三次，，，…；第九十八次，，；第九十九次，，，此時(shí)要輸出的值為99.此時(shí).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，涉及判斷條件的選擇，屬基礎(chǔ)題.2、A【解析】

由題意畫出圖形，結(jié)合橢圓的定義，結(jié)合橢圓的離心率,求出橢圓的長(zhǎng)半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離.【詳解】橢圓的離心率：，（c為半焦距;a為長(zhǎng)半軸），設(shè)衛(wèi)星近地點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面距離分別為r，n，如圖：則所以,,故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求法，注意半焦距與長(zhǎng)半軸的求法,是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.3、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部為求得值．【詳解】解：在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，，即．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．4、A【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，該函?shù)為偶函數(shù)，排除B、D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，排除C選項(xiàng).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象，一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法得出結(jié)果，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.5、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.6、B【解析】

根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,把分母設(shè)為新函數(shù),首先計(jì)算函數(shù)定義域,然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性,對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè)，，則的定義域?yàn)?，當(dāng)，，單增，當(dāng)，，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡(jiǎn)化了運(yùn)算,同學(xué)們還可以用特殊值法等方法進(jìn)行判斷.7、D【解析】

根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析排除，由此得到表述不正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，由圖像可知，投資額逐年增加是正確的.對(duì)于選項(xiàng)，投資總額為億元，小于年的億元，故描述正確.年的投資額為億，翻兩翻得到，故描述正確.對(duì)于選項(xiàng)，令代入回歸直線方程得億元，故選項(xiàng)描述不正確.所以本題選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析能力，考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

利用正弦定理將邊化角，再由，化簡(jiǎn)可得，最后分類討論可得；【詳解】解：因?yàn)樗运运运运援?dāng)時(shí)，為直角三角形；當(dāng)時(shí)即，為等腰三角形；的形狀是等腰三角形或直角三角形故選：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】

利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.故答案為C【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查終邊相同的角的公式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.10、D【解析】

如圖所示，設(shè)依次構(gòu)成等差數(shù)列，其公差為.根據(jù)橢圓定義得，又，則，解得，.所以，，，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故選D．11、A【解析】

先求出函數(shù)在處的切線方程，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在處的切線方程為：，令，它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示：利用數(shù)形結(jié)合思想可知：不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.12、B【解析】

執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，逐次循環(huán)，找到計(jì)算的規(guī)律，即可求解.【詳解】由題意，執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，可得：第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；第10次循環(huán)：，此時(shí)滿足判定條件，輸出結(jié)果，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出，其中解答中認(rèn)真審題，逐次計(jì)算，得到程序框圖的計(jì)算功能是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出λ的值．【詳解】解：由題意，設(shè)（1，0），（0，1），則（，﹣1），λ（1，λ）；又夾角為60°，∴（）?（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【點(diǎn)睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算問題，是中檔題．14、【解析】

代入求解得,再求準(zhǔn)線方程即可.【詳解】解：雙曲線經(jīng)過點(diǎn),,解得,即．又,故該雙曲線的準(zhǔn)線方程為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的準(zhǔn)線方程求解,屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】

利用流程圖，逐次進(jìn)行運(yùn)算，直到退出循環(huán)，得到輸出值.【詳解】第一次：x＝4，y＝11，第二次：x＝5，y＝32，第三次：x＝1，y＝14，此時(shí)14＞10×1＋3，輸出x，故輸出x的值為1．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的識(shí)別，“還原現(xiàn)場(chǎng)”是求解這類問題的良方，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).16、【解析】

在中利用正弦定理得出，進(jìn)而可知，當(dāng)時(shí)，取最小值，進(jìn)而計(jì)算出結(jié)果.【詳解】，如圖，在中，由正弦定理可得，即，故當(dāng)時(shí)，取到最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形，同時(shí)也考查了常見的三角函數(shù)值，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，；（2）【解析】

（1）由成等差數(shù)列，可得到，再結(jié)合公式，消去，得到，再給等式兩邊同時(shí)加1，整理可證明結(jié)果；（2）將（1）得到的代入中化簡(jiǎn)后再裂項(xiàng)，然后求其前項(xiàng)和.【詳解】（1）由成等差數(shù)列，則，即，①當(dāng)時(shí)，，又，②由①②可得：，即，時(shí)，.所以是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，所以.（2），所以.【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)列遞推式，等比數(shù)列的證明，裂列相消求和，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由已知可得，結(jié)合，由直線與平面垂直的判定可得平面；（2）由（1）知，，則，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，0，，由二面角的余弦值為求解，再由空間向量求解直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危?，，所?又，所以，因此，，又，且，，平面，所以平面.（2）取的中點(diǎn)，連接，，由于，因此，又平面，平面，所以.由于，，平面，所以平面，故，所以為二面角的平面角.在等腰三角形中，由于，因此，又，因?yàn)?，所以，所以以為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為所以，即，令，則，，則平面的法向量，，設(shè)直線與平面所成角為，則【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，屬于中檔題．19、(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)證明，根據(jù)得到，得到證明.(Ⅱ)如圖所示，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量，，計(jì)算向量夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如圖所示：分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量，則，即，取得到，，設(shè)直線與平面所成角為故.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直，線面夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.20、【解析】

將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，直線的參數(shù)方程化為普通方程，再根據(jù)直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求實(shí)數(shù)的值.【詳解】由，得，，即圓的方程為，又由消，得，直線與圓相切，，．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查方程的互化，考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用圓心到直線的距離等于半徑,研究直線與圓相切.21、（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)為，連結(jié)，易證四邊形為平行四邊形，即，由于，為的中點(diǎn)，可得到，從而得到，即可證明平面，從而得到；（Ⅱ）易證，，兩兩垂直，以，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量為，設(shè)與平面所成角為，則，即可得到答案．【詳解】解：（Ⅰ）取的中點(diǎn)為，連結(jié).由是三棱臺(tái)得，平面平面，從而.∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴.∵，為的中點(diǎn)，∴，∴.∵平面平面，且交線為，平面，∴平面，而平面，∴.（Ⅱ）連結(jié).由是正三角形，且為中點(diǎn)，則.由（Ⅰ）知，平面，，∴，，∴，，兩兩垂直.以，，分別為，，軸，