建模規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)示范之如何預(yù)報(bào)人口的增長

!-建模示例：如何預(yù)報(bào)人口的增長人類社會(huì)進(jìn)入20世紀(jì)以來，在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力飛速發(fā)展的同時(shí)，世界人口也以空前的規(guī)模增長。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示：謝謝閱讀年1625183019301960197419871999人口（億）5102030405060可以看出，人口每增加十億的時(shí)間，由一百年縮短為十二三年。我們賴以生存的地球，已經(jīng)攜帶著它的60億子民踏入21世紀(jì)。謝謝閱讀長期以來，人類的繁殖一直在自發(fā)地進(jìn)行著。只是由于人口數(shù)量的迅速膨脹和環(huán)境質(zhì)量的急劇惡化，人們才猛然醒悟，開始研究人類和自然的關(guān)系、人口數(shù)量的變化規(guī)律，以及如何進(jìn)行人口控制等問題。謝謝閱讀我國是世界第一人口大國，地球上每五個(gè)人中就有一個(gè)中國人。在謝謝閱讀世紀(jì)的一段時(shí)間內(nèi)我國人口的增長速度過快，請(qǐng)看：年1908193319531964198219902000人口（億）3.04.76.07.210.311.312.95有效地控制我國人口的增長，不僅是使我國全面進(jìn)入小康社會(huì)、到21世紀(jì)中葉建成富強(qiáng)民主文明的社會(huì)主義國家的需要，而且對(duì)于全人類社會(huì)的美好理想來說，也是我們義不容辭的責(zé)任。謝謝閱讀認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，建立人口模型，做出準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長的前提。長期以來人們?cè)谶@方面作了不少工作，下面介紹兩個(gè)最基本的人口模型，并利用表1給出的近兩個(gè)世紀(jì)的美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（以百萬為單位），對(duì)模型作檢驗(yàn)，最后用它預(yù)報(bào)2010年美國的人口。精品文檔放心下載!-年17901800181018201830184018501860人口3.95.37.29.612.917.123.231.4年18701880189019001910192019301940人口38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7年195019601970198019902000人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4表1 美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)指數(shù)增長模型最簡單的人口增長模型使人所共識(shí)的：記今年人口為x，k年后人謝謝閱讀0口為x，年增長率為r，則kxx(1r)k(1)k0顯然，這個(gè)公式的基本條件是年增長率r保持不變。二百多年前英國人口學(xué)家馬爾塞斯（Malths，1766—1834）調(diào)查了英國一百多年的人口統(tǒng)計(jì)資料，得出了人口增長率不變的假設(shè)，并據(jù)此建立了著名的人口指數(shù)增長模型。感謝閱讀模型建立記時(shí)刻t的人口為x(t)，當(dāng)考察一個(gè)國家或一個(gè)較大地區(qū)的謝謝閱讀人口時(shí)，x(t)是一個(gè)很大的整數(shù)。為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具，將x(t)視謝謝閱讀為連續(xù)、可微函數(shù)。記初始時(shí)刻（t0）的人口為x.假設(shè)人口增長率為感謝閱讀0常數(shù)r，即單位時(shí)間內(nèi)x(t)的增量等于r乘以x(t).考慮t到tt時(shí)間內(nèi)人口的增量，顯然有感謝閱讀xttxtrxtt令t0，得到xt滿足微分方程：dx!-rx，x(0)x0(2)dt有這個(gè)方程很容易解出xtxert(3)00時(shí)(3)式表示人口將按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間無限增長，稱為指數(shù)增長模型。謝謝閱讀年17901800181018201830184018501860人口3.95.37.29.612.917.123.231.4年18701880189019001910192019301940人口38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7年195019601970198019902000人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4rx參數(shù)估計(jì)(3)式的參數(shù)和0可以用表1的數(shù)據(jù)估計(jì)。為了利用簡單的線性最小二乘法，將(3)式取對(duì)數(shù)，xtx0ert可得yrta，ylnx，alnx0(4)1790年至1900年的數(shù)據(jù)擬合(4)式，用MATLAB軟件計(jì)算可得謝謝閱讀r=0.2743/10年，x=4.1884.以全部數(shù)據(jù)（1790年至2000年）擬合(4)謝謝閱讀0式，得r=0.2022/10年，x=6.0450.感謝閱讀0結(jié)果分析用上面得到的參數(shù)r和x代入(3)式，將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)精品文檔放心下載0據(jù)作比較。表2中計(jì)算人口x是用1790年至1900年的數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果，感謝閱讀1計(jì)算人口x是用全部數(shù)據(jù)（1790年至2000年）擬合的結(jié)果，圖3、圖4謝謝閱讀2是它們的圖形表示（+號(hào)是實(shí)際數(shù)據(jù)，曲線是計(jì)算結(jié)果）?？梢钥闯?，用精品文檔放心下載這個(gè)模型基本上能夠描述十九世紀(jì)以前美國人口的增長，但是進(jìn)入 20謝謝閱讀世紀(jì)后，美國人口增長明顯變慢，這個(gè)模型就不合適了。年 實(shí)際人口 計(jì)算人口x 計(jì)算人口x1 2!-17903.94.26.018005.35.57.418107.27.29.118209.69.511.1183012.912.513.6184017.116.516.60185023.221.720.30186031.428.624.90187038.637.630.5188050.249.537.3189062.965.145.7190076.085.655.9191092.068.41920106.583.71930123.2102.51940131.7125.51950150.7153.61960179.3188.01970204.0230.11980226.5281.71990251.4344.82000281.4422.1表2指數(shù)增長模型擬合美國人口數(shù)據(jù)的結(jié)果!-90807060504030201000 2 4 6 8 10 12圖3指數(shù)增長模型擬合圖形4504003503002502001501005000 5 10 15 20 25圖4指數(shù)增長模型擬合圖形練習(xí)用1900至2000年的數(shù)據(jù)擬合指數(shù)增長模型，計(jì)算并作圖，觀感謝閱讀察結(jié)果。歷史上，指數(shù)增長模型與十九世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)精品文檔放心下載可以很好地吻合，遷往加拿大的歐洲移民后代人口也大致符合這個(gè)模精品文檔放心下載!-型。另外，用它做短期人口預(yù)測可以得到較好的結(jié)果。顯然，這是因?yàn)樵谶@些情況下，模型的基本設(shè)計(jì)——人口增長率是常數(shù)——大致成立。但是長期以來，任何地區(qū)的人口都不可能無限增長，即指數(shù)模型不能描述、也不能預(yù)測較長時(shí)期的人口演變過程。這是因?yàn)?，人口增長率事實(shí)上是在不斷地變化著。排除災(zāi)難、戰(zhàn)爭等特殊時(shí)期，一般說來，當(dāng)人口較少時(shí)，增長較快，即增長率較大；人口增加到一定數(shù)量以后，增長就會(huì)慢下來，即增長率變小。表3是用數(shù)值微分的三點(diǎn)公式計(jì)算的美國人口增長率（﹪/年），可以看到，進(jìn)入20世紀(jì)后增長率明顯下降。用謝謝閱讀平均增長率作為r，用指數(shù)增長模型描述美國人口的變化，結(jié)果當(dāng)然會(huì)與表1的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相差很大。感謝閱讀年17901800181018201830184018501860增長率2.953.112.992.972.913.013.082.45年18701880189019001910192019301940增長率2.442.422.051.911.661.461.021.04195019601970198019902000感謝閱讀增長率 1.58 1.49 1.16 1.05 1.09 1.16感謝閱讀3美國人口增長率（﹪/年）看來，為了使人口預(yù)報(bào)特別是長期預(yù)報(bào)更好地符合實(shí)際情況，必須精品文檔放心下載修改指數(shù)增長模型關(guān)于人口增長率是常數(shù)這個(gè)基本假設(shè)[21].精品文檔放心下載阻滯增長模型（Logistic模型）模型建立分析人口增長到一定數(shù)量后增長率下降的主要原因，人們感謝閱讀注意到，自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口的增長起著阻滯作用，并且感謝閱讀隨著人口的增長，阻滯作用越來越大。所謂組織增長模型就是考慮到這感謝閱讀個(gè)因素，對(duì)指數(shù)增長模型的基本假設(shè)進(jìn)行修改后得到的。!-阻滯作用體現(xiàn)在對(duì)人口增長率r的影響上，使得r隨著人口數(shù)量x的增加而下降。若將r表示為x的函數(shù)r(x)，則它應(yīng)是減函數(shù)。于是方程(2)寫作精品文檔放心下載dxrxx，x0x(5)dt0對(duì)r(x)的一個(gè)最簡單的假定是，設(shè)r(x)為x的線性函數(shù)，即r(x)rsx,r0,s0(6)這里r稱固有增長率，表示人口很少時(shí)（理論上是x=0）的增長率。為感謝閱讀了確定系數(shù)s的意義，引入自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)精品文檔放心下載量x，稱人口容量。當(dāng)xx時(shí)人口不再增長，即增長率應(yīng)r(x)0，代mmm入(6)式得sr，于是(6)式為xmxrxr1x(7)m(7)式的另一種解釋是，增長率r(x)與人口尚未實(shí)現(xiàn)部分的比例精品文檔放心下載xxx成正比，比例系數(shù)為固有增長率r.mm將(7)代入方程(5)得dxxdtrx1x，x0x(8)0mx方程(8)右端的因子rx體現(xiàn)人口自身的增長趨勢，因子1x則體現(xiàn)m了資源和環(huán)境對(duì)人口增長的阻滯作用。顯然，x越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增長是兩個(gè)因子共同作用的結(jié)果。感謝閱讀如果以x為橫軸，dxdt為縱軸作出方程(8)的圖形（圖5），可以分謝謝閱讀!-析人口增長速度dxdt隨著x的增加而變化的情況，從而大致地看出xt的變化規(guī)律。精品文檔放心下載dxdtxxmxm2oxx0x2mxmotdxdt圖6x~t曲線圖圖5dxdt~x曲線圖與的關(guān)系，分析隨的變化情況：較?。◤木毩?xí)根據(jù)圖5xxttx較小）時(shí)和t較大（從而x較大）時(shí)x的增長速度有何不同，x多大時(shí)人口增長最快，t時(shí)x？等，由此你能大致畫出xt的圖形嗎。感謝閱讀實(shí)際上，方程(8)可以用分離變量法求解得到xtxm(9)1xmrtx0讀者可以用計(jì)算機(jī)畫出(9)式的圖形，它是一條S形曲線（圖6），x增精品文檔放心下載加得先快后慢，t時(shí)xxm，拐點(diǎn)在xx2m. 你在上面的聯(lián)系感謝閱讀中畫的圖形與這個(gè)圖形一樣嗎。參數(shù)估計(jì)為了利用簡單的線性最小二乘法估計(jì)這個(gè)模型的參數(shù)r和xm，我們不用(9)式，而將方程(8)表為精品文檔放心下載dxdtrsx,sr(10)xxm上式左端可以從表1的數(shù)據(jù)用數(shù)值微分計(jì)算，右端對(duì)參數(shù)r，s是線性精品文檔放心下載!-的。我們利用1860年至1990年的數(shù)據(jù)（去掉個(gè)別異常數(shù)據(jù)），用MATLAB軟件計(jì)算得到r=0.2557/10年，x=392.0886.謝謝閱讀m參數(shù)估計(jì)也可以借助專家的經(jīng)驗(yàn)。例如，某些人口學(xué)家估計(jì)世界人口的固有增長率r=0.029，又知道世界人口在1960年為29.8億時(shí)，增感謝閱讀dxdt長率是1.85﹪，即 x =0.0185，于是按照方程(8)，世界人口容量感謝閱讀x=29.8(1-0.0185/0.029)=82.3億。實(shí)際上，20世紀(jì)70年代世界人謝謝閱讀m口為40億左右時(shí)增長率達(dá)到最大，然后開始下降。注意到阻滯增長模型中xx/2時(shí)dx/dt最大，可以看出上述結(jié)果的一致性。謝謝閱讀m結(jié)果分析用上面得到的參數(shù)r和x代入(9)式，將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際謝謝閱讀m數(shù)據(jù)作比較，得表4和圖7年實(shí)際人口計(jì)算人口x17903.93.918005.35.018107.26.518209.68.3183012.910.7184017.113.7185023.217.5186031.422.3187038.628.3188050.235.8189062.945.0190076.056.2191092.069.7!-1920 106.5 85.51930 123.2 103.91940 131.7 124.51950 150.7 147.21960 179.3 171.31970 204.0 196.21980 226.5 221.21990 251.4 245.3表4 阻滯增長模型擬合美國人口數(shù)據(jù)的結(jié)果3002502001501005000 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20謝謝閱讀7阻滯增長模型擬合圖形（以1790年為起點(diǎn)）可以看出，用這個(gè)模型擬合時(shí)雖然中間一段（19世紀(jì)中葉到20世紀(jì)精品文檔放心下載中葉）不大好，但是最后一段（二十世紀(jì)中葉以后）吻合的不錯(cuò)。謝謝閱讀模型檢驗(yàn)在估計(jì)阻滯增長模型的參數(shù)時(shí)沒有用2000年的實(shí)際數(shù)據(jù)，精品文檔放心下載是為了用它作模型檢驗(yàn)。我們用模型計(jì)算2000年的人口，與已知的實(shí)精品文檔放心下載際數(shù)據(jù)（281.4百萬）比較，來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜁r(shí)候合適。謝謝閱讀!-為簡單起見，可利用x1990和方程(7)作如下計(jì)算感謝閱讀x2000x1990xx1990rx19901x1990/x精品文檔放心下載m得到x2000=274.5