desi專(zhuān)題片空間中的緊致類(lèi)時(shí)子流形

desi專(zhuān)題片空間中的緊致類(lèi)時(shí)子流形

1desick空間中的緊致類(lèi)空子流形以nn和pn（c）為單位，n和p維指數(shù)為n，具有常截面曲率c（c）0的desitt空間，曲線張量場(chǎng)為k，nn和pn（c）的誘導(dǎo)測(cè)量值為。設(shè)Mn是Nnn+p(c)中的n維緊致類(lèi)時(shí)子流形,σ表示Mn的第二基本形式模長(zhǎng)平方,Rmax=supRijij和Rmin=infRijij分別表示Mn上每點(diǎn)截面曲率的上、下確界.對(duì)于deSitter空間中的緊致類(lèi)空子流形,目前已有許多研究結(jié)果.文獻(xiàn)將deSitter空間中的子流形分類(lèi)為類(lèi)空、類(lèi)光和類(lèi)時(shí)子流形.本文參考文獻(xiàn)[7-12],通過(guò)計(jì)算deSitter空間中類(lèi)時(shí)子流形的Ricci恒等式和第二基本形式長(zhǎng)度平方的Laplacian,獲得了如下deSitter空間中的緊致極大類(lèi)時(shí)子流形成為全測(cè)地子流形的充分條件.定理1設(shè)Mn是deSitter空間Nnn+p(c)中的n維緊致極大類(lèi)時(shí)子流形,如果下列條件之一成立:1)當(dāng)時(shí),Mn的第二基本形式長(zhǎng)度平方σ滿足σ<n(c-2Rmax);2)當(dāng)時(shí),Mn的第二基本形式長(zhǎng)度平方σ滿足3)當(dāng)時(shí),Mn的第二基本形式長(zhǎng)度平方σ滿足則Mn是的全測(cè)地子流形.定理2設(shè)Mn是deSitter空間Nnn+p(c)中的n維緊致極大類(lèi)時(shí)子流形,如果下列條件之一成立:則Mn是Nnn+p(c)的全測(cè)地子流形.2nnpln-pc的結(jié)構(gòu)方程約定各類(lèi)指標(biāo)范圍如下:1≤i,j,k,…≤n;n+1≤α,β,γ,…≤n+p;1≤A,B,C,…≤n+p.記Lnn+p+1是n+p+1維實(shí)向量空間賦予偽度量其中:v=(v1,…,vn+p,vn+p+1)∈Lnn+p+1;w=(w1,…,wn+p,wn+p+1)∈Lnn+p+1.對(duì)于非零向量時(shí),分別稱(chēng)向量v為類(lèi)空向量、類(lèi)光向量和類(lèi)時(shí)向量.令設(shè)Nnn+p(c)的度量所誘導(dǎo)的度量,x:Nnn+p(c)→Lnn+p+1是位置向量,映射X:U→Nnn+p(C)為浸入映射,X的像集Mn是Nnn+p(c)中的正則n維子流形,.在浸入映射X意義下Mn和U等同.易得Nnn+p(c)的度量形式是在偽Riemann標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架{eA}下的第一、第二結(jié)構(gòu)方程為n記Hααα=(hαij),,設(shè)hαij的一階和二階協(xié)變導(dǎo)數(shù)分別為hαij;k和hij;kl,其中i,j,k,l為Mn的切i∑h=1指標(biāo),α為Mn的法指標(biāo),由曲率張量場(chǎng)的相關(guān)概念,經(jīng)過(guò)計(jì)算可得Mn在Nn+pn(c)中的Gauss方程、Ricci方程和Codazzi方程分別為將ω1,…,ωn+p限制到Mn上,由于ωα(e1)=…=ωα(en)=0,于是有對(duì)式(6)外微分并利用Cartan引理得又由式(2),(3),(4),(6),(7),經(jīng)過(guò)計(jì)算可得在偽Riemann標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架下,有從而可得deSitter空間中類(lèi)時(shí)子流形的Ricci恒等式:設(shè)曲率張量場(chǎng)Kαijk的一階共變導(dǎo)數(shù)為Kαijk;l,類(lèi)似式(8),則有由式(5),(9),(11),得即hαij;kl=hαik;jl-Kαijk;l,當(dāng)l=k時(shí),有hαij;kk=hαik;jk-Kαijk;k.參考文獻(xiàn),再由式(1),(10)得經(jīng)過(guò)計(jì)算有仿文獻(xiàn)[10-11]的技巧,對(duì)一切實(shí)數(shù)A,有3理由3.1cooln相關(guān)定理及mn、n-pc的全測(cè)地子流形若Mn是deSitter空間Nnn+p(c)中的n維緊致極大類(lèi)時(shí)子流形,則由極大子流形的定義有將式(13)代入式(12)得由于Hα=(hαij)是對(duì)稱(chēng)方陣,所以對(duì)固定的α,令hαij=λiαδij,則有將式(15)兩邊關(guān)于α求和,再由式(13)得經(jīng)過(guò)計(jì)算易得將式(17)兩邊關(guān)于α,β求和,有此外,有如下Lincoln不等式成立:在式(14)中,令A(yù)≥1>0,又由式(16),(18),(19),得從而1)當(dāng)時(shí),g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=1時(shí),g(x)有最小值,因此當(dāng)σ<n(c-2Rmax)時(shí),式(20)右端非負(fù),由Hopf極大原理知,σ為常數(shù),從而Δσ=0,易得σ=0,即hαij=0對(duì)任意的i,j,α成立,所以Mn為Nnn+p(c)的全測(cè)地子流形.當(dāng)σ=n(c-2Rmax)時(shí),不等式(16),(18),(19)均為等式.2)當(dāng)時(shí),g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)有最小值時(shí),式(20)右端非負(fù),由Hopf極大原理知,σ為常數(shù),從而Δσ=0,易得σ=0,即hαij=0對(duì)任意的i,j,α成立,所以Mn為Nnn+p(c)的全測(cè)地子流形.當(dāng)時(shí),不等式(16),(18),(19)均為等式.3)當(dāng),則式(20)右端非負(fù),由Hopf極大原理知,σ為常數(shù),從而Δσ=0,易得σ=0,即hαij=0對(duì)任意的i,j,α成立,所以Mn為Nnn+p(c)的全測(cè)地子流形.3.2設(shè)密度為nn+pnc的全測(cè)地子流形,引起相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程,引起相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程,引起相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)在式(14)中,令A(yù)≥1>0,由式(16),(18)和(21),得從而當(dāng)σ=n(c-2Rmax)時(shí),不等式(16),(18),(21)均為等式,從而有:由式(23)得p-1個(gè)trH22α=0,不妨設(shè)trH2n+2=trHn+3=…=trH2n+p=0,式(24)成立的充要條件是trH2n+1=…=trH2n+p.由式(25)得λαi=0(其中α=n+1,…,n+p),從而,又因?yàn)閕Mn為緊致極大類(lèi)時(shí)子流形,所以Mn為Nn+pn(c)的全測(cè)地子流形.2)當(dāng),式(22)右端非負(fù),由Hopf極大而Δσ=0,易得σ=0,即hαij=0對(duì)任意的i,j,α成立,所以Mn為Nn+pn(c)的全測(cè)地子流形.當(dāng)時(shí),不等式(16),(18),(21)均為等式,類(lèi)似1)中證明可知,Mn為Nnn+p(c)的全測(cè)地子流形.3)當(dāng),類(lèi)似1)中證明,易得Mn為Nnn+p(c)的全測(cè)地子流形.定義1若子流形,TqM,NqM分別表示在q處的切空間與法空間,對(duì)任意q∈Mn,若NqM只含有類(lèi)空向量,則稱(chēng)Mn為Nn+pn(c)中的類(lèi)時(shí)子流形.用h和σ分別表示Mn在Nn+pn(c)中的第二基本形式和第二基本形