大學(xué)物理：第三章 剛體力學(xué)

第三章剛體力學(xué)Chap.3RigidBodyMechanics本章要點(diǎn)剛體運(yùn)動(dòng)的描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能力矩的功角動(dòng)量守恒定律第一節(jié)剛體運(yùn)動(dòng)的描述剛體(rigidbody)：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形狀和大小都不變的物體。研究剛體的運(yùn)動(dòng)，可以將剛體看成在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，任意兩質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)位置保持不變的質(zhì)點(diǎn)系。一、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)(translation)：

剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。可以用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的方法來(lái)處理剛體的平動(dòng)問(wèn)題。轉(zhuǎn)動(dòng)(rotation)：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng).剛體的平面運(yùn)動(dòng).剛體的一般運(yùn)動(dòng)：質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)是一般曲線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例，曲率半徑恒為r。一般圓周運(yùn)動(dòng)：勻速圓周運(yùn)動(dòng)：設(shè)：質(zhì)點(diǎn)作半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)

質(zhì)點(diǎn)所在的位矢與x軸的夾角角位移：角位置

：質(zhì)點(diǎn)從A到B位矢轉(zhuǎn)過(guò)的角度規(guī)定：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎槙r(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)角速度

：角加速度：RB

sxoA

定軸(fixed-axis)轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)O

x

P角坐標(biāo)角位移用角量來(lái)描寫(xiě)轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸處O點(diǎn)與剛體上任一點(diǎn)P之間的位置矢量處于

處，經(jīng)過(guò)

t時(shí)間后，該矢徑轉(zhuǎn)過(guò)

角度：z角速度(AngularVelocity)角速度的大?。?/p>

由右手螺旋法則確定。右手彎曲的四指沿轉(zhuǎn)動(dòng)方向，伸直的大拇指即為角速度的方向。角速度的方向：P點(diǎn)線速度與角速度的關(guān)系：O

x

Pz角加速度(AngularAcceleration)沿Z軸正方向若O

x

Pz對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體各質(zhì)元的角量相同，線量一般不同。對(duì)剛體的運(yùn)動(dòng)描述，要注意角量、線量的特點(diǎn)。1）每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；2）任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)均相同，但不同；3）運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo).定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)

角量與線量的關(guān)系勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)

當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量時(shí)，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng).剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比例6、一飛輪作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，3s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)234rad，角速度在3s末達(dá)到108rad/s。求角加速度和初角速度。解由勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程：消去ω0，并代入數(shù)值，可得角加速度：進(jìn)而可求得初角速度：例、某發(fā)動(dòng)機(jī)飛輪半徑為1m，在10s內(nèi)由1500r/min增加到3000r/min。假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)是勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，求（1）角加速度大小。（2）在此時(shí)間內(nèi)，飛輪轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)。（3）t=5s時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的速度與加速度。解（2）10s內(nèi)，飛輪的角位移：（1）由勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程：飛輪邊緣上一點(diǎn)P的速度大?。海?）t=5s時(shí)，該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度二、力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)定律、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dP要改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，不僅要有力，而且與力的大小、方向和作用點(diǎn)都有關(guān)。1、力矩(momentofforce):力矩是矢量單位：N·mφ注意力矩的方向！z

d例如：下圖中力F的方向不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，可以沿兩個(gè)方向分解：力矩方向沿定軸，可用正、負(fù)表示方向。一對(duì)相互作用力對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的力距之和為零。幾個(gè)力同時(shí)作用在剛體上，它們的合力矩就是各力的力矩的矢量和或代數(shù)和。2、轉(zhuǎn)動(dòng)定律dP把剛體看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，對(duì)其上P處的第i

個(gè)質(zhì)點(diǎn)

mi，分析其受力：合外力矩：合內(nèi)力矩：加速度：應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，進(jìn)行化簡(jiǎn)：對(duì)上式兩邊操作后，再對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和，并注意到，可以得到：其中J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(momentofinertia)

：轉(zhuǎn)動(dòng)定律：3、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體為連續(xù)體，則：J的單位：kg·m2。它與剛體對(duì)給定轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量分布有關(guān)。特別要注意：

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可相加性。剛體為離散體，則：

對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：：質(zhì)量線密度

對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：：質(zhì)量面密度

對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：：質(zhì)量體密度：質(zhì)量元

質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例7

計(jì)算質(zhì)量為m

，長(zhǎng)為

l

的細(xì)棒繞通過(guò)其端點(diǎn)的垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。oxzdxdmx解例8

一質(zhì)量為

m，半徑為R的均勻圓盤(pán)，求通過(guò)盤(pán)中心并與盤(pán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ordrR解平行軸定理

若剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

Jc，則剛體對(duì)與該軸相距為

d的平行軸z

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

Jz

是mR垂直軸定理o竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？

飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？例9

質(zhì)量m=16kg、半徑為R=0.15m的實(shí)心滑輪,一根細(xì)繩繞在其上，繩端掛一質(zhì)量為m

的物體。求（1）由靜止開(kāi)始1秒鐘后，物體下降的距離。（2）繩子的張力。轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用解mmRmmR三、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、力矩的功剛體中任一質(zhì)元mi動(dòng)能：因此，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：1、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能2、力矩的功和功率功率為：3、剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能定理合外力矩對(duì)剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。關(guān)于保守力、勢(shì)能、機(jī)械能等的分析，同樣適用于剛體。1.確定研究對(duì)象。2.受力分析，確定作功的力矩。3.確定始末兩態(tài)的動(dòng)能，Ek0、Ek。4.列方程求解。例1：一細(xì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為l，一端固定在軸上，靜止從水平位置擺下，求細(xì)桿擺到鉛直位置時(shí)的角速度。4、應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理解題方法解：以桿為研究對(duì)象，只有重力產(chǎn)生力矩，且重力矩隨擺角變化而變化。重力矩作功：始末兩態(tài)動(dòng)能：由動(dòng)能定理：本題可用機(jī)械能守恒定律計(jì)算例2：質(zhì)量為m、半徑為R的圓盤(pán)，以初角速度

0在摩擦系數(shù)為

的水平面上繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，解：以圓盤(pán)為研究對(duì)象，只有摩擦力矩作功。始末兩態(tài)動(dòng)能：摩擦力矩的功：將圓盤(pán)分割成無(wú)限多個(gè)圓環(huán)問(wèn)：圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)幾圈后靜止。每個(gè)圓環(huán)產(chǎn)生的摩擦力矩，圓盤(pán)的面密度為：圓環(huán)的質(zhì)量為：整個(gè)圓盤(pán)產(chǎn)生的摩擦力矩，摩擦力矩的功：由動(dòng)能定理：則轉(zhuǎn)過(guò)的角度：則轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)：其中例10

一質(zhì)量為M、半徑R

的實(shí)心滑輪,，一根細(xì)繩繞在其上，繩端掛有質(zhì)量為m

的物體。問(wèn)物體由靜止下落高度

h

時(shí)，其速度為多大？MmRh解解得：亦可：MmRhcoBA（1）水平例11

一質(zhì)量為m

、長(zhǎng)為l的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在O點(diǎn)，距A端l/3。桿從靜止開(kāi)始由水平位置繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直位置時(shí)的角速度和角加速度。解（2）垂直機(jī)械能守恒coBA勢(shì)能零點(diǎn)OcoBA

（3）任意位置勢(shì)能零點(diǎn)O可以求出任意位置的角速度和角加速度。其中例：如圖所示的物體系中，勁度系數(shù)為k的彈簧開(kāi)始時(shí)處在原長(zhǎng)，定滑輪的半徑為R、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，質(zhì)量為m的物體從靜止開(kāi)始下落,求下落h時(shí)物體的速度v。物體系的機(jī)械能守恒定律解：在物體m下落過(guò)程中只有重力和彈力保守力作功，物體系機(jī)械能守恒。選擇彈簧原長(zhǎng)為彈性0勢(shì)點(diǎn)，物體下落h時(shí)為重力0勢(shì)點(diǎn)。求解得第五節(jié)角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量(angularmomentum)是用來(lái)描述物體繞某定點(diǎn)（軸）旋轉(zhuǎn)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)量一、角動(dòng)量沖量矩角動(dòng)量定理1、角動(dòng)量od質(zhì)點(diǎn)對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量：角動(dòng)量是矢量：od角動(dòng)量的方向、單位角動(dòng)量單位：kg·m2/s剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量

方向沿定軸，可用正、負(fù)表示方向。對(duì)剛體中質(zhì)元

mi的角動(dòng)量：因此整個(gè)剛體的角動(dòng)量：轉(zhuǎn)動(dòng)定律的另一形式轉(zhuǎn)動(dòng)定律：作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所受的合外力矩等于剛體的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。

——適用范圍更廣！2、沖量矩、角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理：合外力矩的沖量矩等于系統(tǒng)角動(dòng)量的增量。是力矩在t1

到t2時(shí)間內(nèi)的沖量矩。例質(zhì)量為m1和

m2的兩物體，分別掛在兩條繩上，繩繞在鼓輪上（如圖所示）。已知鼓輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，求兩物體的加速度。R2R1m1m2解：系統(tǒng)角動(dòng)量為：m1gm2gQR2R1m1m2T1T2m1gm2gQ例一半徑為R、質(zhì)量為m

的均勻圓盤(pán)平放在粗糙的水平面上。若它的初速度為

o，繞中心O旋轉(zhuǎn)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間圓盤(pán)才停止。（設(shè)摩擦系數(shù)為

）oRdrr解：oR用角動(dòng)量定理二、角動(dòng)量守恒定律若系統(tǒng)合外力矩為零，則系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。

——自然界重要的普遍規(guī)律例一個(gè)人站在有光滑固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)上,雙臂伸直水平地舉起二啞鈴,在該人把此二啞鈴水平收縮到胸前的過(guò)程中,人、啞鈴與轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)組成的系統(tǒng)的（A）機(jī)械能守恒,角動(dòng)量守恒;（B）機(jī)械能守恒,角動(dòng)量不守恒,（C）機(jī)械能不守恒,角動(dòng)量守恒;（D）機(jī)械能不守恒,角動(dòng)量不守恒.例12、一長(zhǎng)為l，質(zhì)量為M

的桿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為m

，速度為

v

的子彈射入距支點(diǎn)為a

的棒內(nèi)，若棒偏轉(zhuǎn)角為30°,問(wèn)子彈的初速度為多少?角動(dòng)量守恒（過(guò)程1）機(jī)械能守恒（過(guò)程2）oalv30°解由此即可求得子彈的初速度v.教材P.29例題1-8也是應(yīng)用角動(dòng)量守恒的例子。例：在光滑水平桌面上放置一個(gè)靜止的質(zhì)量為M、長(zhǎng)為2l、可繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)的細(xì)桿，有一質(zhì)量為m的小球以速度v0

與桿的一端發(fā)生完全彈性碰撞，求小球的反彈速度v及桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度

。解：在水平面上，碰撞過(guò)程中系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，（1）彈性碰撞機(jī)械能守恒，（2）聯(lián)立(1)、(2)式求解注意沒(méi)有關(guān)系：第六節(jié)進(jìn)動(dòng)1、進(jìn)動(dòng)(precession)現(xiàn)象：oo’陀螺進(jìn)動(dòng)分析陀螺受合外力矩：注意其方向，并且的方向要與之一致！下一時(shí)刻的角動(dòng)量：由此決定了陀螺的進(jìn)動(dòng)方向！oz進(jìn)動(dòng)角速度