吉林省長(zhǎng)春市東北師大附中高三年級(jí)上學(xué)期第三次摸底數(shù)學(xué)（理）試題及答案

試卷第=page22頁(yè)，總=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat27頁(yè)吉林省長(zhǎng)春市東北師大附中高三年級(jí)上學(xué)期第三次摸底數(shù)學(xué)（理）試題及答案一、單選題1．（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.【詳解】.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出集合，利用集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交運(yùn)算，同時(shí)考查了一元二次不等式的解法以及絕對(duì)值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.3．角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用三角函數(shù)的定義可得，再由二倍角公式可得【詳解】由題意可得，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義以及二倍角公式，需熟記公式，掌握三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4．已知向量，，設(shè)與的夾角為，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出向量，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)，由，，可得，設(shè)與的夾角為，且則，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了向量坐標(biāo)表示、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5．設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由單調(diào)遞增，所以，即.由為增函數(shù)，則，所以，綜上可得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小，屬于基礎(chǔ)題.6．若滿足,則的最大值為A． B． C． D．【答案】A【解析】先作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，再利用線性規(guī)劃求最值得解.【詳解】當(dāng)x≥y時(shí)，設(shè)z=x-y,由題得，不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示，當(dāng)直線z=x-y經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,-2)時(shí)，直線的縱截距-z最小，z最大，此時(shí)z取最大值2-(-2)=4.當(dāng)x＜y時(shí)，設(shè)z=y-x,由題得，不等式組沒(méi)有可行域，所以該情況不存在.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.7．函數(shù)的圖像大致是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以去掉B,D;當(dāng)時(shí)，所以去掉C,選A.8．設(shè)，則“”是“”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】運(yùn)用絕對(duì)值不等式的解法和余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，化簡(jiǎn)兩已知不等式，結(jié)合充分必要條件的定義，即可得到結(jié)論．【詳解】∵，，則，可得“”是“”的充分不必要條件，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，同時(shí)考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，運(yùn)用定義法和正確解不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．9．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)是等比數(shù)列，由，即可得也是等比數(shù)列，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)即可求出的最小值.【詳解】是等比數(shù)列，，即，也是等比數(shù)列，且，，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)以及基本不等式求和的最小值，熟記等比數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由圖可知函數(shù)的周期，進(jìn)而根據(jù)周期公式求出，利用對(duì)稱軸以及的范圍可求出，再由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間整體代入即可求解.【詳解】由圖可知，解得，所以，又，解得.，所以，所以，由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式以及整體代入法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.11．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，.記當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值點(diǎn)從小到大依次記為并記相應(yīng)的極大值為，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)以及極值點(diǎn)與極值的定義求出判斷分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】由，即，當(dāng)時(shí)，，由題意可知，，當(dāng)時(shí)，則，則，，當(dāng)時(shí)，則，，則，，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、極值點(diǎn)以及極值的定義、等差數(shù)列、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記定義與公式，屬于中檔題.12．已知為銳角的外心，且三邊與面積滿足，若（其中是實(shí)數(shù)），則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用余弦定理以及三角形的面積公式求出，以邊所在的直線為軸，邊的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系（為邊的中點(diǎn)），由外接圓的性質(zhì)可得,由，不妨設(shè)外接圓的半徑，則,可得的坐標(biāo)，設(shè)，則的外接圓的方程為：，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，從而求出，代入外接圓方程可得，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由，可知，解得，所以，如圖所示，以邊所在的直線為軸，邊的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系（為邊的中點(diǎn)）由外接圓的性質(zhì)可得,由，不妨設(shè)外接圓的半徑，則,，,，則的外接圓的方程為：，，，，，否則三點(diǎn)共線，由圖可知不可能的.可化為，代入的外接圓的方程可得，化為，化為，解得或，又，所以，所以的最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理、三角形的面積公式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及基本不等式求最值，綜合性比較強(qiáng)，屬于難題.二、填空題13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】由題可判斷出點(diǎn)在曲線上，所以通過(guò)求導(dǎo)求出切線的斜率，把斜率和點(diǎn)代入點(diǎn)斜式方程即可．【詳解】∵點(diǎn)（0，1）在曲線上，又由題意，，∴斜率k＝，∴所求方程為：，即y＝x+1．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為，記，從點(diǎn)?????這六點(diǎn)中任取兩點(diǎn)為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】2【解析】向量的數(shù)量積最大，需要兩個(gè)向量的模以及兩個(gè)向量的夾角的余弦函數(shù)值的乘積取得最大值即可.【詳解】由題意可知：則，由圖可知時(shí)，所以，故的最大值為2.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的定義，掌握向量數(shù)量積的定義是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15．公元前世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過(guò)正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了黃金分割，其比值為方程的正根，這一數(shù)值也可以表示為，則______.【答案】【解析】利用誘導(dǎo)公式以及二倍角的余弦公式即可求解.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式以及二倍角的余弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.16．已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】由已知條件令可得，分離參數(shù)可得，令，求出的值域即可求解.【詳解】，且令，，即，從而可得，令，則，令，則，因?yàn)椋?，即在上為增函?shù)，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，考查了分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，屬于難題.三、解答題17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見(jiàn)解析【解析】（Ⅰ）根據(jù)與的關(guān)系，可得，從而判斷為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，利用等差數(shù)列的求和公式可得，再利用裂項(xiàng)求和法可求出，令，易知單調(diào)遞增，借助函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，②由①-②得，即，當(dāng)時(shí)，，，所以數(shù)列為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以，所以，所以令，易知單調(diào)遞增，所以，即，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了與的關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)求和法以及函數(shù)的單調(diào)性求值域，綜合性比較強(qiáng)，屬于中檔題.18．如圖，在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，點(diǎn)在邊上.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，且的面積與的面積之比為，求.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用正弦定理邊化角可得，再利用兩角和的正弦公式的逆應(yīng)用即可求解.（Ⅱ）在中，，，從而可得，進(jìn)而求出，在中，由正弦定理可得，根據(jù)的面積與的面積之比為，可得，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，∵，由正弦定理可得，即，∴，在中，，∴.∴，又在中，，∴.（Ⅱ）在中，，，∴.由（Ⅰ）可知，∴，在中，由正弦定理可得，∵的面積與的面積之比為，∴，∴.在中，由余弦定理可得，∴【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟記定理，屬于中檔題.19．如圖，三棱柱的側(cè)面是正方形，平面平面，，，點(diǎn)在上，，是的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）判斷平面與平面是否垂直，直接寫(xiě)出結(jié)論，不必說(shuō)明理由；（Ⅲ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析（Ⅱ）平面平面（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）連結(jié)交于，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，利用線面平行的判定定理即可證出（Ⅱ）首先利用面面垂直的判定定理即可得出結(jié)論.（Ⅲ）建立空間直角建立坐標(biāo)系，分別求出平面的一個(gè)法向量、平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】（Ⅰ）如圖所示，連結(jié)交于，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?平面,所以平面.（Ⅱ）平面平面.（Ⅲ）如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，則，同理可得平面的一個(gè)法向量為，所以，因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以求二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定定理、面面垂直的判定定理以及空間向量法求二面角，考查了推理能力以及空間想象能力，屬于中檔題.20．已知的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且所在直線的斜率之積等于，記頂點(diǎn)的軌跡為.（Ⅰ）求頂點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，且為的重心（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：的面積為定值，并求出該定值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見(jiàn)解析，定值為.【解析】（Ⅰ）設(shè)，根據(jù)題意列方程即可求解.（Ⅱ）設(shè)，，，由為的重心，可得，從而，，將直線與橢圓方程聯(lián)立整理利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程可得，再利用弦長(zhǎng)公式以及三角形的面積公式即可求解.【詳解】（Ⅰ）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的斜率為同理，直線的斜率為由題設(shè)條件可得，.化簡(jiǎn)整理得，頂點(diǎn)的軌跡的方程為：.（Ⅱ）設(shè)，，，因?yàn)闉榈闹匦?，所以，所以，，由得，，，，，∴，又點(diǎn)在橢圓上，所以，∴，因?yàn)闉榈闹匦?，所以是的倍，，原點(diǎn)到直線的距離為，.所以，所以，的面積為定值，該定值為.【點(diǎn)睛】本題考查了直接法求曲線的軌跡方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.21．已知函數(shù)，.（Ⅰ）若為函數(shù)的極小值點(diǎn)，求的取值范圍，并求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ），的遞減區(qū)間和，遞增區(qū)間為，（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）首先求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類討論或，判斷的正負(fù)即可求解.（Ⅱ）令，且，求出，令，且，求出在上單調(diào)遞增，進(jìn)而分類討論或，求出的單調(diào)區(qū)間，即可求出的單調(diào)區(qū)間，判斷的正負(fù)即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意知：，且，若，即時(shí)，當(dāng)，，所以不可能為的極小值點(diǎn)；若，即時(shí)，令；令或，所以的遞減區(qū)間和，遞增區(qū)間為，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，綜上：，的遞減區(qū)間和，遞增區(qū)間為.（Ⅱ）令，則，，令，則，因?yàn)?，令，則，，所以在上單調(diào)遞增，所以，（1）當(dāng)，即時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，所以對(duì)恒成立.所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，，符合題意；（2）當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?，又且，又在上連續(xù)且單調(diào)遞增，所以存在，使得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，所以，所以，所以在單調(diào)遞減，所以，，矛盾，舍去.綜上：.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性以及導(dǎo)數(shù)在研究不等式恒成立中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，屬于難題.22．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷直線與曲線的位置關(guān)系；（Ⅱ）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，且與曲線交于兩點(diǎn)，且，求的值.【答案】（Ⅰ）直線與曲線相切（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）將極坐標(biāo)方程以及參數(shù)方程化為普通方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，點(diǎn)坐標(biāo)為，且直線的斜率為，直線的傾斜角為，將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，利用參數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，曲線的參數(shù)方程為，∴曲線的普通方程為，表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，∵，∴，∴直線的直角坐標(biāo)方程為，即，∵到直線的距離為，∴直線與曲線相切；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，點(diǎn)坐標(biāo)為，且直線的斜率為，∴直線的傾斜角為，∴直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的普通方程為，將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，整理，