4.2.1 等差數(shù)列的概念（練習(xí)）（解析版）-高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

4.2.1等差數(shù)列的概念一．單選題（每道題目只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，8題共40分）1．（2023春·遼寧大連）在數(shù)列中，，，則數(shù)列是（

）A．公差為的等差數(shù)列 B．公差為的等差數(shù)列C．公差為的等差數(shù)列 D．不是等差數(shù)列【答案】B【解析】由得：，即，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，ACD錯(cuò)誤，B正確.故選：B.2．（2023春·黑龍江佳木斯·高二?？计谥校┑炔顢?shù)列中，，求（

）A．45 B．15 C．18 D．36【答案】D【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，解得，所以，故選：D3．（2023北京）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其公差為，若，，也是等差數(shù)列，則其公差為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，是等差?shù)列，所以，所以，即，又，可得，所以公差.故選：D.4．（2023·四川綿陽(yáng)）現(xiàn)有茶壺九只，容積從小到大成等差數(shù)列，最小的三只茶壺容積之和為0.5升，最大的三只茶壺容積之和為2.5升，則從小到大第5只茶壺的容積為（

）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升【答案】B【解析】設(shè)九只茶壺按容積從小到大依次記為，由題意可得，所以，故選：B5．（2022秋·山西運(yùn)城·高三?？茧A段練習(xí)）若將2至2022這2021個(gè)整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是（

）A．95 B．96 C．97 D．98【答案】C【解析】由題意，3與7的最小公倍數(shù)為21，被3除余2且被7除余2的數(shù)的個(gè)數(shù)即為被21除余2的個(gè)數(shù)，又，2至2022這2021個(gè)整數(shù)中被21除余2的數(shù)的個(gè)數(shù)為：.故選：C6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在1和19之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，若這個(gè)數(shù)中第一個(gè)為，第個(gè)為，當(dāng)取最小值時(shí)，的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為,則,從而,此時(shí),故,所以,即,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”,又,解得,所以,所以,故選:B.7．（2023·安徽宣城）在1和17之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，若這個(gè)數(shù)中第一個(gè)為，第個(gè)為，當(dāng)取最小值時(shí)，A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】由題意，，所以，當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)，有最小值．所以，得，即，故選D．點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列、基本不等式的應(yīng)用．根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得，利用基本不等式中的條件型問(wèn)題，得，則時(shí)，即，即時(shí)，有最小值，解得，．8．（2023秋·遼寧）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家提出的“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，它在世界數(shù)學(xué)史上具有光輝的一頁(yè)，堪稱數(shù)學(xué)史上名垂百世的成就，而且一直啟發(fā)和指引著歷代數(shù)學(xué)家們.定理涉及的是數(shù)的整除問(wèn)題，其數(shù)學(xué)思想在近代數(shù)學(xué)，當(dāng)代密碼學(xué)研究及日常生活都有著廣泛的應(yīng)用，為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將1到2022這2022個(gè)數(shù)中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，那么此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】D【解析】由題意得：能被3除余2的數(shù)為2，5，8，11……，故，，被5除余3的數(shù)為3，8，13……，故，，被7除余1的數(shù)為1，8，15……，故，，由，，，故，，令，解得：，因?yàn)?，所以，故此?shù)列的項(xiàng)數(shù)為20.故選：D多選題（每道題目至少有兩個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，4題共20分）9．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列數(shù)列中是等差數(shù)列的是（

）A．，a，B．2，4，6，8，…，，C．，，，D．【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由于，故是等差數(shù)列，正確；對(duì)于B選項(xiàng)，2，4，6，8，…，，中，，是等差數(shù)列，正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，又，即?項(xiàng)與第2項(xiàng)的差不等于第2項(xiàng)與第1項(xiàng)的差，故不是等差數(shù)列；對(duì)于D選項(xiàng)，由得，滿足等差數(shù)列定義.故選：ABD.10．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得，因?yàn)?，所以，所以，故選：CD.11．（2023山東）已知在等差數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則即，所以故選：BC.12．（2023福建）在等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，依次取出項(xiàng)的序號(hào)被4除余3的項(xiàng)組成數(shù)列，則（

）A． B．C． D．中的第506項(xiàng)是中的第2022項(xiàng)【答案】AC【解析】因?yàn)?，，所以，故C正確；數(shù)列中項(xiàng)的序號(hào)被4除余3的項(xiàng)是第3項(xiàng)、第7項(xiàng)、第11項(xiàng)、…，所以，，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)數(shù)列中的第k項(xiàng)是數(shù)列中的第m項(xiàng)，則，所以當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列中的第506項(xiàng)是中的第2023項(xiàng)，故D錯(cuò)誤．故選：AC填空題（每題5分，4題共20分）13．（2023春·高二單元測(cè)試）已知,,依次是等差數(shù)列的第2項(xiàng)、第4項(xiàng)和第6項(xiàng),則實(shí)數(shù)的值是．【答案】2【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列的第2項(xiàng)、第4項(xiàng)和第6項(xiàng)仍然成等差數(shù)列所以,解得故答案為：214．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，成等差數(shù)列，則的最小值為.【答案】/【解析】根據(jù)題意可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.故答案為：.15．（2023春·安徽宿州·高二江西省泰和中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，，則．【答案】39【解析】由題意是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，則，則，故，故，故，故答案為：3916．（2023春·浙江寧波）已知等差數(shù)列，，，則.【答案】1【解析】記等差數(shù)列的公差為，則，因?yàn)?，，所以，所?故答案為：1解答題（17題10分，18-22題每題12分，6題共70分）17.（2023河北）在等差數(shù)列中，(1)已知，，求和公差d；(2)已知，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．(5)已知，，，求；(6)已知，，，求；(7)已知，，，求d；(8)已知，，，求．【答案】(1)，；(2)(3)28(4)17.(5)13(6)8(7)(8)【解析】（1），，；（2），，；（3），，；（4），，上兩式聯(lián)立：，，；故答案為：，，-12，28，17.（5）解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，，所以，所以；（6）解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，，所以，解得；（7）解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，，所以，解得；（8）解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，，所以，解得.18．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）由，得，，且，故數(shù)列為以2位首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知數(shù)列的首項(xiàng)為，公差，則數(shù)列，即，則.19．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列滿足，，設(shè).(1)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？試證明；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)是，證明見解析；(2).【解析】（1）解：數(shù)列是等差數(shù)列.證明如下：由已知可得，，則，所以.所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）解：由（1）知，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差.所以，所以，，所以.20．（2023陜西）已知等差數(shù)列為3，7，11，15，….(1)求的通項(xiàng)公式；(2)135，是數(shù)列中的項(xiàng)嗎？為什么？(3)若，是中的項(xiàng)，那么，是數(shù)列中的項(xiàng)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是，理由見解析(3)是，理由見解析【解析】1）設(shè)數(shù)列的公差為d，依題意有，，∴.（2）令，得，∴

135是數(shù)列的第34項(xiàng)；∵，且，∴是數(shù)列的第項(xiàng).（3）∵，是數(shù)列中的項(xiàng)，∴，，∴，∵，∴是數(shù)列的第項(xiàng).21．（2023山東）已知在數(shù)列中，，，數(shù)列滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見解析(2)最小值，最大值3，理由見解析【解析】（1）證明：因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，.又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，則.設(shè)函數(shù)，在區(qū)間和上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值3.22．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)