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文檔簡介

2021年中考數(shù)學(xué)解答題壓軸題每日一題

1..如圖,拋物線>=工乂2必應(yīng)X-6與X軸交于4B(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))與y軸交于

63

點(diǎn)C,連接AC、BC.過點(diǎn)A作AQ〃BC交拋物線于點(diǎn)£>(8我,10),點(diǎn)P為線段BC下

方拋物線上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作PE//y軸交線段AD于點(diǎn)E.

(1)如圖1.當(dāng)PE+AE最大時,分別取線段AE,AC上動點(diǎn)G,H,使GH=5,若點(diǎn)M為

G”的中點(diǎn),點(diǎn)N為線段C8上一動點(diǎn),連接EN、MN,求EN+MN的最小值;

(2)如圖2,點(diǎn)尸在線段AO上,且4F:。尸=7:3,連接C凡點(diǎn)Q,R分別是PE與線

段CF,BC的交點(diǎn),以RQ為邊,在R。的右側(cè)作矩形RQTS,其中RS=2,作NACB的角

平分線CK交于點(diǎn)K,將AACK繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)75°得到△△'CK',當(dāng)矩形RQ7S

與△/!'CK'重疊部分(面積不為0)為軸對稱圖形時,請直接寫出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍.

【分析】(1)先通過二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A,8的坐標(biāo),再求出AC,AB,CB的長度,用

勾股定理逆定理證直角三角形,求出直線A。的解析式,用含相同字母的代數(shù)式分別表示E,

Q,。的坐標(biāo),并表示出EP長度,求出4E長度,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出EA+EP最大值

時點(diǎn)E的坐標(biāo).最后作出點(diǎn)E關(guān)于CB的對稱點(diǎn),利用兩點(diǎn)之間線段最短可求出結(jié)果;

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形CA'K與三角形CAK全等,且為等腰直角三角形,求出A',

K'的坐標(biāo),求出直線4'K'及CB的解析式,求出交點(diǎn)坐標(biāo),通過圖象觀察出尸的橫坐

標(biāo)的取值范圍.

【解答】解:(1)在拋物線丫=工2-漢£-6中,

63

當(dāng)y=0時,兌=-2?,m=6?,

當(dāng)x=0時,y=-6,

?..拋物線-空導(dǎo)”6與x軸交于A,8(點(diǎn)A在點(diǎn)3左側(cè)),與),軸交于點(diǎn)C,

6633

AA(-2。0),B(6?,0),C(0,-6),

;.4B=8近,ACf(26)2+62=W§,BC=7(6V3)2+62=12)

在△ABC中,

AC^+BC2^^,AB2=192,

.,.△ABC是直角三角形,且/AC8=90°,

,JAD//BC,

:.ZCAD=90°,

過點(diǎn)。作OLLx軸于點(diǎn)心

在RtAADZ,中,

DL=\0,AL=l0yf3<

tanZDAL=^-=^/^-,

AL3

AZDAB=30°,

把點(diǎn)A(-2“,0),D(8A/3-10)代入直線解析式,

得「2?k+b=0,

I8V3k+b=10

解得%=返,h=2,

3

.".yAD=^-x+2,

3

設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為“,EPLy軸于點(diǎn)Q,

則EQ,返a+2),Q(a,0),P(a,^cr-組-6),

363

.,@=返。+2,EP=?a+2-(12_區(qū)3-6)=」/+后+8,

33636

.?.在Rt/VLEB中,

AE=2EQ=2ea+4,

3

:.PE+AE^^Aa+4+(」/+仿+8)

36

=-Xa2^Ha+12

63

=-A(a-5加)2+堂

62

???根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)。=5b時,PE+4E有最大值,

,此時E(5加,7),

過點(diǎn)E作EFVCB交CB的延長線于點(diǎn)F,

則/EAC=/AC8=NACF=90°,

...四邊形ACFE是矩形,

作點(diǎn)E關(guān)于CB的對稱點(diǎn)E,

在矩形ACFE中,由矩形的性質(zhì)及平移規(guī)律知,

XF-XE=XC-yE-yF=yA-yc,

「A(-2A/3-0),C(0,-6),E(5依,7),

?■?XF-5A/3=0-(-2亞,7-yF=0-(-6),

xp—1yr—1?

:.F(7?,1),

?.?尸是EE'的中點(diǎn),

.XE+XE/yE+yEz

2=XF,2=yF'

'-XE'=9?,yE'=-5,

:.E(9A/3,-5),

連接交8C于點(diǎn)N,則當(dāng)GH的中點(diǎn)M在E'4上時,EN+MN有最小值,

■,-AE,=V(llV3)2+52=

M是RtAAGH斜邊中點(diǎn),

:.AM=^GH=^~,

22

:.EN+MN=E'41=2797-1-)

/.EN+MN的最小值是2西-1-

(2)在RtZXARC中,

;tan/ACO=^=返,

AC3

,/AOC=30°,

:KE平分/AC8,

ZACK=ZBCK=45°,

由旋轉(zhuǎn)知,l\CNK'會△CAK,ZACA'=75°,

:.ZOCA'=75°-ZACO=45°,ZAC1K'=45°,

OCK'=90°,

:.K'CJ_y軸,△C4K'是等腰直角三角形,

"C=AC=4b,

.?.研=華^=2加,劃,=2后6,

V2

.,.A,(2胡,2胡-6),

:.K'(4加,-6),

將A'(2加,2遍-6),K'(4灰,-6),代入一次函數(shù)解析式,

xH(2j^k+b=2,^-6

4v6k+b=-6

解得k=-1,b=4y[^-6,

,刻,K=-x+4捉-6,

?:CB"M),

將點(diǎn)C(0,-6),B(6?,0)代入一次函數(shù)解析式,

fb=-6

|6V3k+b=0

解得k=^3-,b=-6,

3

?'?ycB=^^-x~6,

3_

聯(lián)立)>A'K=-x+4捉-6和ycB=&6,

3

得-x+4加-6=^Xx-6,

3

,x=6加-6-721

直線C8與A'K'的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是6胡-6J],

?.?當(dāng)EP經(jīng)過A'時,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2五,

①如圖2-1,當(dāng)QR=QS=2時,即必&_=2,

__15

.?.當(dāng)x=2旦時符合題意;

4

②如圖2-2,當(dāng)x=2捉-1時符合題意;

③如圖2-3,圖2-4,當(dāng)PE經(jīng)過4時,R(2加,2近-6),

而此時4R=2近-2點(diǎn)>2,設(shè)S(x+2,也-6),

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