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文檔簡介
2021年中考數(shù)學(xué)解答題壓軸題每日一題
1..如圖,拋物線>=工乂2必應(yīng)X-6與X軸交于4B(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))與y軸交于
63
點(diǎn)C,連接AC、BC.過點(diǎn)A作AQ〃BC交拋物線于點(diǎn)£>(8我,10),點(diǎn)P為線段BC下
方拋物線上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作PE//y軸交線段AD于點(diǎn)E.
(1)如圖1.當(dāng)PE+AE最大時,分別取線段AE,AC上動點(diǎn)G,H,使GH=5,若點(diǎn)M為
G”的中點(diǎn),點(diǎn)N為線段C8上一動點(diǎn),連接EN、MN,求EN+MN的最小值;
(2)如圖2,點(diǎn)尸在線段AO上,且4F:。尸=7:3,連接C凡點(diǎn)Q,R分別是PE與線
段CF,BC的交點(diǎn),以RQ為邊,在R。的右側(cè)作矩形RQTS,其中RS=2,作NACB的角
平分線CK交于點(diǎn)K,將AACK繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)75°得到△△'CK',當(dāng)矩形RQ7S
與△/!'CK'重疊部分(面積不為0)為軸對稱圖形時,請直接寫出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍.
【分析】(1)先通過二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A,8的坐標(biāo),再求出AC,AB,CB的長度,用
勾股定理逆定理證直角三角形,求出直線A。的解析式,用含相同字母的代數(shù)式分別表示E,
Q,。的坐標(biāo),并表示出EP長度,求出4E長度,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出EA+EP最大值
時點(diǎn)E的坐標(biāo).最后作出點(diǎn)E關(guān)于CB的對稱點(diǎn),利用兩點(diǎn)之間線段最短可求出結(jié)果;
(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形CA'K與三角形CAK全等,且為等腰直角三角形,求出A',
K'的坐標(biāo),求出直線4'K'及CB的解析式,求出交點(diǎn)坐標(biāo),通過圖象觀察出尸的橫坐
標(biāo)的取值范圍.
【解答】解:(1)在拋物線丫=工2-漢£-6中,
63
當(dāng)y=0時,兌=-2?,m=6?,
當(dāng)x=0時,y=-6,
?..拋物線-空導(dǎo)”6與x軸交于A,8(點(diǎn)A在點(diǎn)3左側(cè)),與),軸交于點(diǎn)C,
6633
AA(-2。0),B(6?,0),C(0,-6),
;.4B=8近,ACf(26)2+62=W§,BC=7(6V3)2+62=12)
在△ABC中,
AC^+BC2^^,AB2=192,
.,.△ABC是直角三角形,且/AC8=90°,
,JAD//BC,
:.ZCAD=90°,
過點(diǎn)。作OLLx軸于點(diǎn)心
在RtAADZ,中,
DL=\0,AL=l0yf3<
tanZDAL=^-=^/^-,
AL3
AZDAB=30°,
把點(diǎn)A(-2“,0),D(8A/3-10)代入直線解析式,
得「2?k+b=0,
I8V3k+b=10
解得%=返,h=2,
3
.".yAD=^-x+2,
3
設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為“,EPLy軸于點(diǎn)Q,
則EQ,返a+2),Q(a,0),P(a,^cr-組-6),
363
.,@=返。+2,EP=?a+2-(12_區(qū)3-6)=」/+后+8,
33636
.?.在Rt/VLEB中,
AE=2EQ=2ea+4,
3
:.PE+AE^^Aa+4+(」/+仿+8)
36
=-Xa2^Ha+12
63
=-A(a-5加)2+堂
62
???根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)。=5b時,PE+4E有最大值,
,此時E(5加,7),
過點(diǎn)E作EFVCB交CB的延長線于點(diǎn)F,
則/EAC=/AC8=NACF=90°,
...四邊形ACFE是矩形,
作點(diǎn)E關(guān)于CB的對稱點(diǎn)E,
在矩形ACFE中,由矩形的性質(zhì)及平移規(guī)律知,
XF-XE=XC-yE-yF=yA-yc,
「A(-2A/3-0),C(0,-6),E(5依,7),
?■?XF-5A/3=0-(-2亞,7-yF=0-(-6),
xp—1yr—1?
:.F(7?,1),
?.?尸是EE'的中點(diǎn),
.XE+XE/yE+yEz
2=XF,2=yF'
'-XE'=9?,yE'=-5,
:.E(9A/3,-5),
連接交8C于點(diǎn)N,則當(dāng)GH的中點(diǎn)M在E'4上時,EN+MN有最小值,
■,-AE,=V(llV3)2+52=
M是RtAAGH斜邊中點(diǎn),
:.AM=^GH=^~,
22
:.EN+MN=E'41=2797-1-)
/.EN+MN的最小值是2西-1-
(2)在RtZXARC中,
;tan/ACO=^=返,
AC3
,/AOC=30°,
:KE平分/AC8,
ZACK=ZBCK=45°,
由旋轉(zhuǎn)知,l\CNK'會△CAK,ZACA'=75°,
:.ZOCA'=75°-ZACO=45°,ZAC1K'=45°,
OCK'=90°,
:.K'CJ_y軸,△C4K'是等腰直角三角形,
"C=AC=4b,
.?.研=華^=2加,劃,=2后6,
V2
.,.A,(2胡,2胡-6),
:.K'(4加,-6),
將A'(2加,2遍-6),K'(4灰,-6),代入一次函數(shù)解析式,
xH(2j^k+b=2,^-6
4v6k+b=-6
解得k=-1,b=4y[^-6,
,刻,K=-x+4捉-6,
?:CB"M),
將點(diǎn)C(0,-6),B(6?,0)代入一次函數(shù)解析式,
fb=-6
得
|6V3k+b=0
解得k=^3-,b=-6,
3
?'?ycB=^^-x~6,
3_
聯(lián)立)>A'K=-x+4捉-6和ycB=&6,
3
得-x+4加-6=^Xx-6,
3
,x=6加-6-721
直線C8與A'K'的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是6胡-6J],
?.?當(dāng)EP經(jīng)過A'時,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2五,
①如圖2-1,當(dāng)QR=QS=2時,即必&_=2,
__15
.?.當(dāng)x=2旦時符合題意;
4
②如圖2-2,當(dāng)x=2捉-1時符合題意;
③如圖2-3,圖2-4,當(dāng)PE經(jīng)過4時,R(2加,2近-6),
而此時4R=2近-2點(diǎn)>2,設(shè)S(x+2,也-6),
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