2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第六章　圓

2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第六章圓

第一節(jié)圓的基本性質(zhì)

考點(diǎn)

易錯(cuò)自糾

易錯(cuò)點(diǎn)1未準(zhǔn)確掌握?qǐng)A的相關(guān)概念而出錯(cuò)

1.下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（A）

限徑是弦;段過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直徑;③平分弦的直徑垂直于弦;領(lǐng)三點(diǎn)可以作一個(gè)圓;⑤兩條弧相等，

它們所對(duì)的圓心角也相等.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

易錯(cuò)點(diǎn)2因考慮問(wèn)題不全面而漏解

2.在半徑為2的0。中，弦的=2,則弦相所對(duì)的圓周角的度數(shù)為30一或150’.

方法

U提分特訓(xùn)

如圖，應(yīng)■為0。的直徑,〃■交。。于點(diǎn)44?交0。于點(diǎn)￡連接做s兩線相交于點(diǎn)尸，連接化延長(zhǎng)應(yīng)到點(diǎn)。，使CQ=AR.

⑴當(dāng)冊(cè)“C時(shí)，

公證:ZW&△0。；

②SBCCa,AB=&時(shí),△4田的面積是4.

(2)連接0E,DE芳，伍=6C則當(dāng)N4及M60°時(shí),四邊形。皮C是菱形.

(I){2?明:NEBD=N即ZABP=NQCA,

又,.?HP=CA,AB=QC,

ax

②t

解法提示：：?△麗擔(dān)

?；AP=AQ.

:,應(yīng),是0。的直徑，,：,

；.4AE(}=NAECW0°,

.\QE=EP.

VBP=AC,ZBEP=/CEA^a,ZEBP:/ECA、

.：△BE3△CEA..：BE：EC.

在RlA"中一%EC苧改H,

?：AE-AB-BEa-ECA

，QP=2QEA

；.S,...iXPQXAE^-X\X2力.

(2)60

解法提示:連接加

丁四邊形麗’為菱形，

:?DE=DC=OE=OC.

VOD=OCt

，OD=OC=DC、

?：NDCBW(r.

又丁心圖

?:成為等邊三角形，

?：/4/060°.

真題

考法1垂徑定理及其推論

1」涉及考點(diǎn):垂徑定理、切線的性質(zhì)、圓周角定理的推詔

[2013河南,7]如圖，⑦是。。的直徑，弦1員LG9于點(diǎn)C,直線即與。0相切于點(diǎn)〃，則下列結(jié)論中不一定正確的是（C）

A.AG=BGV,.AB//EF

C.AD//BCD.ZABC=Z.ADC

考法2圓周角定理及其推論

2」涉及考點(diǎn):圓周角定理的推論、切線的性質(zhì)|

[2011河南,10]如圖,63切。。于點(diǎn)4a交。。于點(diǎn)〃，且48為?！ǖ闹睆剑c(diǎn)萬(wàn)是做上異于點(diǎn)4。的一點(diǎn).若

ZC-40°，則NE的度數(shù)為40，.

3.|涉及考點(diǎn):圓周角定理的推論、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形麗定

[2019河南,17]如圖，在△4及7中期及＞90。，以43為直徑的半圓。交4C于點(diǎn)。，點(diǎn)￡是如上不與點(diǎn)8,重合

的任意一點(diǎn)，連接AE交加于點(diǎn)￡連接膜并延長(zhǎng)交IC于點(diǎn)G.

（1）求證:

（2）填空：

（2?48=1,且點(diǎn)萬(wàn)是的的中點(diǎn)，則如1的長(zhǎng)為4-2/；

②?靛的中點(diǎn)4連接以明當(dāng)/龍區(qū)的度數(shù)為30’時(shí),四邊形OBEH為英形.

⑴證明：：'以加C；N4/G9O°,

?：NC4A=NC25".

:F8為半圓。的直徑，

???/ADF=/BDG=^Q°、

?：ND8A=NDABW5\

.\AD=BD.

丁/血/和/〃法都是防所對(duì)的圓周角，

，/DAF=/DBG、

?：△月〃走△戚

⑵，「：企

酬，

解法提示:①二的為半圓。的直徑，

?：//阱90"

?：//跖馮0°.

丁點(diǎn)￡、是粉的中點(diǎn),.：/&△=/

又AE=AE、??AAEf^2AEG、

???AG=AB4

在RtZX/7仞中,力/人仍?cosZ/21//-1X—^y/2,

?：IX=AGADA2五.

由（1）知△/〃〃,匕△加6；.：/〃三〃。=12V2.

②連接OE,

丁四邊形〃麻〃是菱形，,：〃廬以；

又OB=OEy

?：Z\O應(yīng)是等邊三角形，.：NE游頊）°,,：/無(wú)出二30".

作業(yè)

基礎(chǔ)分點(diǎn)練（建議用時(shí)：40分鐘）

?考點(diǎn)1圓周角定理及其推論

1.[2020湖北宜昌]下列選項(xiàng)中，點(diǎn)￡￡G為圓上的三點(diǎn),2儆片50°，點(diǎn)產(chǎn)可能是圓心的是

2.[2020福建]如圖,四邊形力及力內(nèi)接于0。儲(chǔ)仁力/為前的中點(diǎn),2位匕由0°,則/4步等于（A）

A

A.40°B,50°。NX

C.60°D.70°

3.[2020山東青島]

如圖,8〃是。。的直徑，點(diǎn)4c在。。上，觸毋，連接明他47交班于點(diǎn)G若/。⑺=126°,則/月"的度數(shù)為(B)

A.99°B.108°C.110°D.117°

4.[2019開封二模]如圖,。月經(jīng)過(guò)點(diǎn)qo,o)，e/5,o)以0/),點(diǎn)〃是八軸下方。月上的一點(diǎn)，連接做做則n如〃的度數(shù)是

(B)

A.15°B.30°C.45°D.60°

5.[2019安徽]如圖公力況內(nèi)接于0"/6)1廬30°,/加工5°,血/18于點(diǎn)〃若。〃的半徑為2,則⑦的長(zhǎng)

為

6.[2019平頂山二模]如圖,4。為半圓。的直徑,4為半圓。上一點(diǎn)，且點(diǎn)8不與點(diǎn)4。重合，點(diǎn)〃為半徑附的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

夕作BE〃AC交力。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.連接CE.

⑴求證:點(diǎn)〃為花的中點(diǎn).

⑵連接AB,BC,若仍8〃=10,請(qǐng)直接寫出△順的面積.

⑴證明:如圖，丁點(diǎn)〃為川的中點(diǎn)，

???OD=BD.

丁陽(yáng)〃4C?：N1=N2.

在&ADO和AEDB中,1)0=BD,42=4\/ADO=/EDB,

???叢ADOq2印B、

.\AD=ED,

?:點(diǎn)〃是.花的中點(diǎn).

(2)6.

解法提示:如圖，連接應(yīng);過(guò)點(diǎn)〃作加工力。于點(diǎn)F.

丁力(.是半圓〃的直徑，

?：/他'為0°,,：〃「

VAC-BF=AB-BCy

.“ABxBC8x624

而T

?：S.A2.

丁點(diǎn)〃為"的中點(diǎn)，

11

又:儂△￡漱,?：5,八5”、總

7.[2020江蘇南京]如圖，在中，水以匕點(diǎn)〃是/山上一點(diǎn),0。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C,D,交比于點(diǎn)￡；過(guò)點(diǎn)〃作DF〃BC,交00

于點(diǎn)片連接EF￡F、AF.

求證:(1)四邊形〃應(yīng)尸是平行四邊形；

Q]AF=EF.

證明:(1):?AC=BC、

???/BAC=/B.

VDF//BC.

?,./ADF=/B、

；,/BAC=4ADF.

又/BAONCFD,

"ADF=ZCFD,

/.BD//CF.

又DF//BC,

?:四邊形〃應(yīng)尸是平行四邊形.

⑵如圖，連接花

：?/ADF=/B,/ADF=，AEF、

???4AEF=ZB.

丁四邊形.仍。'是。。的內(nèi)接四邊形,

?：/況尸N￡4"=18O°.

VBD//CF.

?:N&7Q廬180",

???4EAF=NB、

???/AEF=/EAF,

?：AF=EF.

向考點(diǎn)2圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

8.[2020湖南張家界]如圖，四邊形/此為。0的內(nèi)接四邊形，已知NM?為120°,則N版的度數(shù)為(C)

A.100°B.110°

C.120°D.130°

9.[2019甘肅天水]如圖,四邊形力8口是菱形,0。經(jīng)過(guò)點(diǎn)AC。,與比相交于點(diǎn)￡；連接AQAE若。，則/必。的

度數(shù)為(C)

A.20°B.25°

C.30°D.35°N

R

10.［2019湖北十堰］

如圖,四邊形川%?內(nèi)接于OQ/反L8交⑦的延長(zhǎng)線于點(diǎn)“若BA平分NZ?%M=5,<W亙則AE=(D)

A.3B.3V2

C.4V3D.2V3

11/2020湖北黃石］如圖,點(diǎn)48/,在。。上,0?上供血刃，垂足分別為4￡若/比乒40°,則//0的度數(shù)為（C）

A.140°B.70°

C.110°D.80°

綜合提升練（建議用時(shí):25分鐘）

1/2019開封一模］如圖,0。的半徑為4,將。。的一部分沿著弦翻折，劣弧恰好經(jīng)過(guò)圓心Q則折痕/0的長(zhǎng)為（A

A.4gB.2V3

C.6D.3

2.［2019河南省實(shí)驗(yàn)四模］如圖,，仍是0。的直徑，點(diǎn)如?在0（?上，且點(diǎn)G9在相的異側(cè),連接仞以曲（X；若

NABD=15。，且AD//優(yōu);則/仇￥'的度數(shù)為（B）

A.120°B.105°C.100°D.110°

3.如圖，等腰直角三角板』斷的斜邊相與量角器的0刻度線重合,量角器的中心點(diǎn)為/切中點(diǎn)，點(diǎn)。是量角器上60°

刻度線的外端點(diǎn)，連接CD交4B于息￡則NC協(xié)的度數(shù)為（D）

A.60°B.65°C.70°D.75°

4.［2020貴州貴陽(yáng)］如圖,回是O0的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)。是圓心，點(diǎn)〃波分別在邊上，若DA=EB則NDOE的度

數(shù)是120度.

(第4題)(第5題)

5.如圖,四邊形內(nèi)接于0Q,對(duì)角線，傳過(guò)圓心。，且ACLBDF為及;延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，如_1_劭，若4c=10,4介8,則外的

長(zhǎng)為12.

6.[2019湖北潛江]已知△/1班內(nèi)接于OQN歷1C的平分線交00于點(diǎn)〃連接。為笫

⑴如圖(1),當(dāng)N胡G420"時(shí),請(qǐng)直接寫出線段.4氏4G4。之間滿足的等量關(guān)系：；

(2)如圖(2),當(dāng)284090°時(shí)，請(qǐng)寫出線段44/心4〃之間滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)如圖(3),若仇』,劭X,求蝎%的值.

解:⑴/切

⑵川，'3(714〃

理由如下：

如圖(1),延長(zhǎng)加至點(diǎn)火使用六火；連接DM.

圖⑴

丁四邊形仍依內(nèi)接于0。，

?：N\IBD=NACD.

丁/剛廬NOIZM5°,

JBD=CD、

二.△MB哈4ACD,

.\MD=AD,AM=ACAD=A^°,

?：/孫當(dāng)0°,

；/7泛他即，仍+用/-VI也

?：AB+AC&AD.

(3)如圖(2),延長(zhǎng)44至點(diǎn);使研三力C連接DN.

圖⑵

:?四邊形/誼以內(nèi)接于。a

"NBIA/ACD.

???/BAD:/CAD,

，BD=CD、

.：N質(zhì)?三NZCT,△八Z四△力紹

?：ND=AD,/.，￥=/CAD=NBAD=/DCB=/歐,

?:3△儂

.ANAD

一正礪，

,AD_BD

一麗'BC'

又AHAB心=AB+AC,BCABDA

.ADBD4

"tAB+ACBC~5'

第二節(jié)與圓有關(guān)的位置關(guān)系

考n占t\w

易錯(cuò)自糾

易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)圓的相關(guān)概念掌握不準(zhǔn)確而出錯(cuò)

1.有下列說(shuō)法:。圓的切線垂直于圓的半徑;②三角形的外心到三邊的距離相等;礴直于半徑的直線是圓的切線;④

若直線/與。。有公共點(diǎn)，則點(diǎn)。到直線/的距離小于或等于半徑.其中正確的是‘H（填序號(hào)）.

易錯(cuò)點(diǎn)2混淆三角形的外心與內(nèi)心的定義而出錯(cuò)

2.已知在中,NC力0°=3,點(diǎn)。為的內(nèi)心，則點(diǎn)"C之間的距離為_魚_.

易錯(cuò)點(diǎn)3因考慮問(wèn)題不全面而出錯(cuò)

3.已知00的直徑為8c叫直線/上一點(diǎn)一到圓心。的距離加=6cm,則直線/與Q0的位置關(guān)系是相切、相交或

相離.

方法

0提分特訓(xùn)

1.如圖，四是0。的直徑，點(diǎn)。是48上方半圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作00的切線，過(guò)點(diǎn)/I作該切線的垂線，交于點(diǎn)￡垂

足為點(diǎn)〃連接BC.EC.

⑴求證:

⑵填空：

(I旌接笫當(dāng)博=v時(shí)，四邊形。a%是正方形;

LCL------

②當(dāng)N8的度數(shù)為60或30°時(shí)，以4瓦C0為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

⑴證明:連接班;依比;延長(zhǎng)co交/處于點(diǎn)/■.

二仍是00的直徑,,：/小生90°,即BE1AE.又VCDA.DE,.\CD//BE.

：Z力是?！ǖ那芯€,.“aLCD、:.COLBE.

又丁。Q陽(yáng).：/=做二直線C〃是線段龐的垂直平分線，,：拉7=6C

②60?；?0°

解法提示:/當(dāng)四邊形代〃1是正方形時(shí)，點(diǎn)」與點(diǎn)〃重合，如圖⑴，此時(shí)浣y(tǒng).

②^點(diǎn)/：一在，仍上方，且四邊形.汝7：.是平行四邊形時(shí)，如圖(2),連接OE.

:.：四邊形力是菱形，

，A0=0E=AE=EC=OC、

?：△/應(yīng);△&T是等邊三角形，.：/兒藥/仇匕60°,

?:N/心210°，?:.

當(dāng)點(diǎn)/：'在,也下方，且四邊形4訛'是平行四邊形時(shí)，如圖⑶.

丁”二龍;.：四邊形，怙”是菱形,?"小歐二例

?是等邊三角形,,：/力戊=0°,?：/廬30°.

綜上可知的度數(shù)為60或30°.

2.[2019安陽(yáng)二模]如圖,在矩形用％刀中，點(diǎn)〃在對(duì)角線力。上，以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑的0。與分別交于點(diǎn)日J(rèn)；且

乙ACB=4DCE.

⑴判斷直線"與00的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑵若tan/力呵，比%求。。的半徑.

⑴直線〃與◎〃相切.

證明：丁四邊形力是矩形,?：8C〃他

」N4CB=Z.DAC.6

又4ACB=4DCE,/

"DCE=NDAC./

連接依則N%L//I斂IV

?:ZDCE=Z.AEO.\/

又ZDCE+/DEC4?！?^\~D

???/AE(h4DEC=^Q”.???/OECW。，即OE1CE、-------/I

?：直線(力與?！ㄏ嗲?

(2)TtanN幽8咨Jg,

DCN

?"廬2.

???/ACBNDCE,

，DE=DOxm4DCE=AB?tanZJ6^=l,

?:心4T=3.

1Q

過(guò)點(diǎn)〃作訪L，歷于點(diǎn)G貝以6方任弓

313

」(X；1(；?i<)nZDAC-AG,ianZ.167^-X-

.：”V0G2+AG2J(/+?)2苧

真題

考法切線的性質(zhì)（10年7考）

1.涉及考點(diǎn):切線的性質(zhì)、圓周角定理及其推論、平行線的判定

[2012河南,8]如圖，已知"是。。的直徑,4?切00于點(diǎn)4助分.則下列結(jié)論中不一定正確的是（D）

A.BALDAB.0C//AE

C./COEt乙CAED.0DX.AC

2」涉及考點(diǎn):切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定定理|

[2020河南,20]我們學(xué)習(xí)過(guò)利用尺規(guī)作圖平分一個(gè)任意角，而“利用尺規(guī)作圖三等分一個(gè)任意角”曾是數(shù)學(xué)史上一大

難題,之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的.人們根據(jù)實(shí)際需要，發(fā)明了一種簡(jiǎn)易操作工具一一三分角器,圖⑴是它的示

意圖，其中4?與半圓。的直徑8C在同一直線上，且48的長(zhǎng)度與半圓的半徑相等;仍與垂直于點(diǎn)片加足夠長(zhǎng).

使用方法如圖⑵所示，若要把乙傷V三等分，只需適當(dāng)放置三分角器，使的經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)￡點(diǎn)力落在邊切/上泮

圓。與另一邊EV恰好相切,切點(diǎn)為￡則用灑。就把N初郵三等分了.

為了說(shuō)明這一方法的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明.如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整,并寫出“證

明”過(guò)程.

已知:如圖⑵，點(diǎn)4反。,「在同一直線上垂足為點(diǎn)4.

求證:.

已知:如圖（2）,點(diǎn)4日"C在同一直線上沖LM；垂足為點(diǎn)氏,仍二傲點(diǎn)2在射線￡獷上,￡漱切半圓0于點(diǎn)F.

求證:N1=/2=N3.

證明:連接班

TEBLAC,

"ABE=/OBE由。：

又?..AB=OB、EB=EB、

「△械空△儂

?：N1=N2.

丁—V切半圓。于點(diǎn)人

.\OFLEF.

又「OBLEB且0F=0氏

磁平分/布冗

.：Z3=Z2,

.：Z1=Z2=Z3.___________________________________________________________

3.|涉及考點(diǎn):切線的性質(zhì)、正方形的判定、羲形的判定、面的相關(guān)性質(zhì)、等角對(duì)等邊|

[2018河南,19]如圖,，仿是。。的直徑,ML加于點(diǎn)0,連接的交。。于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)('作。0的切線交加于點(diǎn)￡連接BC

交〃。于點(diǎn)F.

⑴求證:廢藥：

(2)連接力尸并延長(zhǎng)，交00于點(diǎn)G；連接EG,OG,OC.填空：

①當(dāng)?shù)亩葦?shù)為30°時(shí)，四邊形即g為菱形;

②SN〃的度數(shù)為22.5時(shí)，四邊形以ag為正方形.

⑴證明:連接OC.

:"是。。的切線，.：3J_函

?：/FC()+/EC-

：7?0_LM,：N/N版=90°.

?：/CFE=/BFO、

??./B+/CFE幫：

???OC=OB、，/FCO=4氏

???/ECF=/CFE,

.\CE=EF.

(2)030°

.2.5°

4」涉及考點(diǎn):切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定、菱形的判定、正方形的判定|

[2014河南,17]如圖，切是。。的直徑，且CD之cm,點(diǎn)產(chǎn)為功的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)夕作0。的切線也外，切點(diǎn)分別為

點(diǎn)A,B.

⑴連接〃；若/小T0。，試證明是等腰三角形.

⑵連接AO,OB,AD,BD.填空：

DP=Ian時(shí),四邊形A。劭是菱形；

②3DP=(V21)cm時(shí),四邊形4QBP是正方形.

⑴證明:連接0A.

:?必為。。的切線，

.ZOAA.PA.

在°-N4rt>90°-30°W0°,

工/〃73/」〃/苫、60。^30°,

.：NACP=NAPO,

.'.AC=AP,

是等腰三角形.

⑵01②T)

作業(yè)

基礎(chǔ)分點(diǎn)練（建議用時(shí):60分鐘）

⑥考點(diǎn)1點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系

1.在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)。為圓心,5為半徑作圓，若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3,4）,則點(diǎn)尸與00的位置關(guān)系是（C）

A.點(diǎn)戶在。。外

B.點(diǎn)/，在。。內(nèi)

C.點(diǎn)P在。。上

D.點(diǎn)戶在0。上或在O0外

2.[2020廣東廣州]

如圖,在口八郎中,/。視°,小5,3樽，以點(diǎn)8為圓心,r為半徑作08,當(dāng)r=3時(shí),08與的位置關(guān)系是（B）

A.相離B.相切

C.相交D.無(wú)法確定

K

3.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知點(diǎn)M4,3）,以"為圓心、不為半徑的圓與八軸相交，與『軸相離，那么/的取值范圍為（D）

A.0<r<5B.3<r<5

C.4<r<5D.3<r?

4.如圖，。業(yè)的半徑為2,圓心切的坐標(biāo)為（3,4）,點(diǎn)尸是。物上的任意一點(diǎn)倒_LH,且PA,PB與x軸分別交于4/兩點(diǎn)，若

點(diǎn)48關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，則47的最小值為（C）

5.已知直線y%MAW0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（12,七）,將直線向上平移或加X））個(gè)單位，若平移后得到的直線與半徑為6的。。相交（點(diǎn)

。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則勿的取值范圍為0切岑.

?考點(diǎn)2切線的性質(zhì)

6.[2019廣東廣州]平面內(nèi),。。的半徑為1,點(diǎn)，到點(diǎn)。的距離為2,過(guò)點(diǎn)P可作O。的切線的條數(shù)為

A.0條B.1條C.2條D.無(wú)數(shù)條

7.[2020黑龍江哈爾濱]如圖，相為。。的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)08交。0于點(diǎn)，點(diǎn)。在。。上，連接AD,CD,OA若

,則/4％的度數(shù)為

A.25°B.20°C.30°D.35°

8.[2020浙江溫州]如圖，菱形如回的頂點(diǎn)在。。上，過(guò)點(diǎn)/作G）0的切線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃若00的半徑為

1,則物的長(zhǎng)為

A.1B.2C.V2D.V3

（第8題）（第9題）

9.[2020浙江杭州]如圖，已知44是的直徑,8。與O0相切于點(diǎn)耳連接AC,OC.若sinN物鳥，則

tanNBOC=乎.

10.[2020湖北咸寧]如圖，在m△/1%中,NC力0°,點(diǎn)。在〃'上，以。為半徑的半圓。交/出于點(diǎn)〃交力。于點(diǎn)￡過(guò)點(diǎn)

〃作半圓。的切線DF,交回于點(diǎn)F.

⑴求證:所二例

⑵若求半圓〃的半徑長(zhǎng)./

⑴證明:如圖，連接如._：g：f

丁勿'是半圓。的切線，

?：/必須°,

"ADO+/BDF*。".

???OA=OD,，4ADO=/DAO,

???/DAO+/BDFa0.

：?/G90°,?：/加〃+/戶90°,

???NBDF=NB,

???BF=DF.

⑵解:如圖，連接班設(shè)半圓。的半徑為r.

VAC=4tBC=^tCF=l,

???OCa-r、DF=BR2.

在RtZ\m?'和RtZ\W中,=?，Oi$+D戶=OF、

r.oC+cP=oif^y

即(4-7y14卷，

解得r筆.

故半圓〃的半徑長(zhǎng)為圣

11.[2019許昌二模]如圖,4?是半圓。的直徑是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)48重合)”是弦/匕上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作

/定_1/14垂足為￡冠點(diǎn)C作半圓。的切線，交功的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

⑴求證/C噌

(2)⑦隹接”:當(dāng)N06的度數(shù)為15時(shí),四邊形龐汽「是矩形；

理點(diǎn)〃是弦4、的中點(diǎn)，半圓。的半徑為5,408,則R7的長(zhǎng)為_與_.

⑴證明:連接效

:?%是半圓〃的切線,“是半徑，

?：3_1"；即/用力+/筋二90°.

：?DE工AB、?：/力如+//W0°.

???OCOA,，—A、.：N/I麻+/筋二90

.：ZFCD二/ADE二/FDC、?：FOFD.

⑵@50

鱷

解法提示:。當(dāng)四邊形如既,為矩形時(shí),/￡次‘刁01

又：7〃二比；.：2\,4”,為等腰直角三角形，

-=45°.

②^點(diǎn)/?'作/"于點(diǎn)反

了點(diǎn)〃為弦行的中點(diǎn)，?:DC爭(zhēng)0=^X8=4.

7/7/LCDJ:l)-FC,.：D吟)(iX4二2.

連接仇；丁力9為半圓〃的直徑，/N/1儂90,

；.”J102-82-6,.：sinZC”嗡1

：?心AB,皿AC/ADE=NFDHt

3

「ZCAB=Z./〃〃ZsinZHH)=sinZC/W=z,

DH3.23.10.....10

即an而W..而rn虧虧.

12.如圖，點(diǎn)「是以月方為直徑的半圓。上的動(dòng)點(diǎn)，連接B&AC.點(diǎn)E是”的中點(diǎn)，跖的延長(zhǎng)線交半圓。于點(diǎn)，；連接

CF0F.點(diǎn)〃在"的延長(zhǎng)線上，且少與半圓。相切.

⑴求證:/比加/。次

⑵填空：

魂/CAB=30'時(shí),四邊形6m'是菱形；

②已知科4/§,當(dāng)及三上遮—時(shí),△口?是等腰直角三角形.

⑴證明：丁切與半圓〃相切,.：弦1色

?：/DCB+40CB由Q0.

二四是半圓。的直徑，

?：4ACBWb：?：4AC0+N0CB^G1?：/IX：B=/AC0.

?；0A=0C、?'?4CAB=/ACO,?CAB=4BCD，

又：?NCFB=4CAB、?：ZBCD=ACFB.

解法提示:如圖⑴，丁四邊形如了是菱形,

??.0B;BC.

又0B「0C、

,：△如0是等邊三角形,.：/。陽(yáng)不0°,.：/。尻30。.

②啦

解法提示:如圖(2),當(dāng)△C如是等腰直角三角形時(shí)，/月Q90°,N39=N/T6M5",NG7/F5°.

過(guò)點(diǎn)C作CG1防于點(diǎn)G,則CGXB.

丁點(diǎn)E是/的中點(diǎn)，.：OF=Q.OEtEC>/5,

?：tan/FE02、???tan4CEGe,，CGtEG.

:F(m、.：EG42砌飛石)，

"；i,則(m；1NL

?考點(diǎn)3切線的判定

13.[2020四川南充]如圖，點(diǎn)/,氏。是半徑為2的。。上三個(gè)點(diǎn)，例為直徑,N物C的平分線交圓于點(diǎn)〃，過(guò)點(diǎn)〃作.M的

垂線交力C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)己延長(zhǎng)以交/切的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

⑴判斷直線)與。。的位置關(guān)系，并證明.

⑵若DF=Kl,求tanN刃〃的值.

(1)直線夕,.與?！ㄏ嗲?

證明:連接例如圖.

:?力〃平分N加C

?：/EAD=/OAD.

又VOA^OD,

???/ODA=NOAD/=EAD,

/.OD//AE.

又AE1EF,

.\ODA.EF.

又丁點(diǎn)〃在。0上，

?：直線/：廠與0〃相切.

⑵由⑴可得△0〃/?、為直角三角形.

：V^-2,V2,

???()除

?:心8.

VOD//AE,

??.△ODFS^AEF,

,ODOF_DF_pf]_2_64&

"'AE4FEF,GAE8ED+4V2,

.”84x/2

,.%/:〃管

.:在RlZUM中,ianNKM學(xué)學(xué).

AE2

14.[2020濮陽(yáng)模擬]如圖,43為0〃的直徑,〃、為。。的弦，處為。。的切線,N4T之N1.

⑴求證7r是。。的切線.

（2）點(diǎn)〃是優(yōu)弧力7上一動(dòng)點(diǎn)，

盜接見氣傲灰;若四邊形成磔為菱形，則

舞接AD,CD,當(dāng)ACm,/ADC4q。時(shí),的周長(zhǎng)的最大值為」V5_.

⑴證明:連接5

；/BOC之八￡APC吃八

???NBOC=/APC.

又N8a、+N4T=180°,.：//1/0/力*=180°

廠明為00的切線，,：/如尸R0°,

又四邊形力a71的內(nèi)角和為360”,

?：/%產(chǎn)90°,即0C1PC、

又優(yōu)為3〃的半徑,?："為1）0的切線.

⑵刎°

解法提示:①丁四邊形能勿為菱形，.：/=%.

又?；0C=0B,,?,0C=0B=BC「??/B0C4Q°、

?：/嗎/毗=30°.

②當(dāng)△水〃的周長(zhǎng)取得最大值時(shí),，切，必應(yīng)取最大值.

將%繞點(diǎn)〃順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120;得到戊二連接CC\

又丁/4％'=60°,

?:點(diǎn)4/C'三點(diǎn)共線,,

；,ADH：D=AD+DC'-AC'.

設(shè)點(diǎn)4GC'所在的圓為3自則點(diǎn)〃在的垂直平分線上，且N4G60;

?:點(diǎn)〃為”的垂直平分線與優(yōu)弧“、的交點(diǎn)，即點(diǎn)/：.為優(yōu)弧”的中點(diǎn).

易知當(dāng)/“、'為的直徑時(shí),〃'最長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)〃與點(diǎn)/?重合,△/!以為等邊三角形,

的周長(zhǎng)的最大值為VI

@考點(diǎn)4三角形的內(nèi)切圓與外接圓

15.[2020浙江金華]如圖,0。是等邊三角形1%的內(nèi)切圓,分別切AB,BC,AC于點(diǎn)是命上一點(diǎn)，則/四空的度數(shù)

是（B）

A.65°

16.[2020江蘇連云港]10個(gè)大小相同的正六邊形按如圖所示方式緊密排列在同一平面內(nèi)均是正六邊形的

頂點(diǎn).則點(diǎn)。是下列哪個(gè)三角形的外心？（D）

A.△力叫B.△力協(xié)C.△比〃D.XACD

17.[2019湖北荊門]

如圖，△力應(yīng)’的內(nèi)心為/,連接4/并延長(zhǎng)交△四。的外接圓于點(diǎn)〃，連接必則線段〃/與血的關(guān)系是(A)

A.DI=DB^.DI>DB

C.DI<DE^.不確定

D

18.如圖，。為銳角三角形48。的外心，四邊形比）定為正方形，其中￡點(diǎn)在△』瓦、的外部三點(diǎn)不共線，則下列敘述

正確的是（B）

A.0是的外心,0是的外心A

B.0是△?!叫的外心,。不是△｛成的外心

C.0不是△4史f的外心，。是的外心/Z\\D

D.。不是的外心,0不是△/劭的外心J7/

◎考點(diǎn)5正多邊形和圓

19.[2019四川成都]如圖，正五邊形4附切內(nèi)接于＜3。/為施上的一點(diǎn)（點(diǎn)戶不與點(diǎn)。重合），則NOW的度數(shù)為（B）

A.30°B.36°

C.60°D.72°

20.[2019湖北孝感]劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期卓越的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，

利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來(lái)近似計(jì)算圓的面積.如圖，若用圓的內(nèi)接正十二邊形的面積S來(lái)近似估計(jì)00

的面積S,設(shè)。。的半徑為1,則s-s^0.11.（n?。?.14）

綜合提升練健議用時(shí)：35分鐘）

1.[2020江蘇南京]如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸在第一象限尸與x軸、y軸都相切，且經(jīng)過(guò)矩形4。比"的頂點(diǎn)C,

與比相交于點(diǎn)D.若O戶的半徑為5,點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,8）,則點(diǎn)。的坐標(biāo)是（A）

A.（9,2）B.（9,3）C.（10,2）D.（10,3）

2.[2019四川樂山]如圖,拋物線與x軸交于兩點(diǎn)/是以點(diǎn)40,3）為圓心,2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn),0是線段

處的中點(diǎn)，連接閘則線段8的最大值是(C)

A.3B與C.ZD.4

3.[2019浙江寧波]如圖，在■中,N890°,/!俏12,點(diǎn)。在邊BC上CD$、BK.點(diǎn)戶是線段4?上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)半徑

為6的O戶與△胸的一邊相切時(shí),4戶的長(zhǎng)為―冷或:.

4.[2020浙江寧波]如圖,0。的半徑力4,8是。0上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)力重合)，過(guò)點(diǎn)9作O0的切線及7/。=如連接0C,AC.

當(dāng)△的。是直角三角形時(shí)，其斜邊長(zhǎng)為2或或2次.

5.[2020湖南岳陽(yáng)]如圖,45為半圓。的直徑,MC是半圓上的三等分點(diǎn)物與半圓”相切于點(diǎn)瓦點(diǎn)/，為俞上一動(dòng)

點(diǎn)(不與點(diǎn)4〃重合)，直線PC變放于點(diǎn)D,BEA_OC干點(diǎn)、￡延長(zhǎng)BE交PC于點(diǎn)、￡連接附,則下列結(jié)論正確的是

②小.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))

①PB=PD,胸1的長(zhǎng)為

③NZ?F=15°;④4BCFs4PFB,

@CF>(T為定值.

6.定義:如圖⑴，在△＜式?中，三個(gè)內(nèi)角都小于120°,點(diǎn)尸在其內(nèi)部，連接PA,PB,PC,如果NBPC=NBPA=ZAPCA2Q：那

么點(diǎn)戶叫做的等角中心.

完成下列問(wèn)題：

(1)求證:等邊三角形的等角中心與其外心重合.

(2)如圖(2),已知△板的三個(gè)內(nèi)角都小于120。，以及;為邊向外作等邊三角形及力,00是等邊三角形及力的外接圓,

連接.4〃與。。交于點(diǎn)￡求證:點(diǎn)￡是44?。的等角中心.

圖Q)圖(2)

⑴證明:如圖⑴,是等邊三角形，點(diǎn)。為箕外心，連接OA.OH.OC,

9A^AOB=Z^ACB=\20'',ZBOC=2ABAC=\20",Z/16t'=2Z/f5C=120,',

.:點(diǎn)〃為△/0C的等角中心，

即等邊三角形的等角中心與其外心重合.

(2)證明:如圖(2),連接曲陽(yáng)

:7\腐?是等效三角形，.：//乂爐/《如書0°.

易知N分8=N改力WO〕NDEC=/CBD=^:

.：/AEB=NBEC=NAECA2Q：

即點(diǎn)ZT是△/1應(yīng)、的等角中心.

7.[2020四川成都J如圖，在△1歐的邊式'上取一點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心,3的長(zhǎng)為半徑畫00,00與邊力6相切于點(diǎn)

連接力交。。于點(diǎn)￡連接金；并延長(zhǎng)交線段A8于點(diǎn)F.

⑴求證是0〃的切線；

⑵若止10,tan嗚求。。的半徑;

⑶若點(diǎn)/「是，仍的中點(diǎn),試探究BD+CE與力〃的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

⑴證明:連接〃〃

丁加，是0。的切線，，血/血

(AC=AD,

在應(yīng)'和△/1切中,10A=0A,

\0C=0D,

???AAOC^△/、()□,???/AC0=/ADO由Q°.

又1"是公〃的半徑,?：〃'是。〃的切線.

⑵設(shè)。。的半徑為八即0C=0D=r.

在1<1△仇7〃中Jan上器切亨；出號(hào);

.:人如3吟―帆，甲5甲9

在RIZM僅7中,W+4C即10(0年)一(",

解得/凱0(舍去).

故。的半徑為方

的AF=BD+CE.

理由:由題意可知CF是1“△/外斜邊上的中線，

.：CFMFP3F,則/BCF二/B.

連接〃/:；由⑴可知△月6a△/[如易得CE-DE.

易證△4%匕△〃龍:;,：Z0EC=Z.0ED.

又丁利-依,：/戊石二/收

"CED：/B+/BCF.

又：,/Z%?F800-/d屹/砒F80°7/BCF+N限

?：4DEF=4DFE,?：DE=DF=CE、

.：AF=BF=DF+BD=CE+BD.

全國(guó)視野創(chuàng)新練

[2020江蘇連云港]筒車是我國(guó)古代利用水力驅(qū)動(dòng)的灌溉工具，如圖⑴.唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道：“水能利物,

輪乃曲成”.如圖(2),半徑為3m的筒車。。按逆時(shí)針方向每分鐘轉(zhuǎn)亮圈，筒車與水面分別交于點(diǎn)力,〃,筒車的軸心〃距

離水面的高度”長(zhǎng)為2.2m,筒車上均勻分布著若干個(gè)盛水筒.若以某個(gè)盛水筒廠剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間：

⑴經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,盛水筒/〉首次到達(dá)最高點(diǎn)？

0畫出水面3.4s后,盛水筒〃距離水面多高？

⑶若接水槽JZV所在直線是。。的切線，且與直線力8交于點(diǎn)也朗門8m.求盛水筒尸從最高點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)

時(shí)間恰好在直線.訪V上.

(參考數(shù)據(jù):cos43°=sin47°Q^sin160=cos74°2羔sin22°=cos68°g)

154Uo

解:(1)如圖(1),由題意得，筒車每秒旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為360°.

O

連接3,在,

所以/力小43°,

所以*%

W7.4(s).

答:盛水筒〃首次到達(dá)最高點(diǎn)所需的時(shí)間為27.1s.

⑵盛水筒〃浮出水面3.4“后，筒車旋轉(zhuǎn)的角度為3.4X5-17

連接例如圖⑴，即乙仞占17°,

所以N〃"二N//力0/73°N7°=60°.

過(guò)點(diǎn)〃作垂足為點(diǎn)〃

在RSP01)中、OD=()P*cos60'=3xi-1.5(m),

所以l)C=0CT)D=67m.

答:此時(shí)盛水筒”距離水面的高度為0.7m.

⑻因?yàn)辄c(diǎn)，在0。上,且直線你與相切，

*以當(dāng)在直線加上時(shí),點(diǎn)是切點(diǎn)，如圖(2).

圖⑵

連接他則0P1MN.

npQ

在町△〃心/中所以/僅啟68

0M8

nr2211

在Rt△a初中,cos/d〃M二——

OM7840

所以NC〃入74°.

延長(zhǎng)⑺交。〃于點(diǎn)〃

貝|」/上必口80°-Zra/-Z6W-1800-68°-74°-38°,

所以需要的時(shí)間為學(xué)7.6(s).

答:盛水筒尸從最高點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，至少經(jīng)過(guò)7.6s恰好在直線MV上.

第三節(jié)與圓有關(guān)的計(jì)算

易錯(cuò)自糾

易錯(cuò)點(diǎn)混淆弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式而出錯(cuò)

1.已知一個(gè)扇形的半徑為6,弧長(zhǎng)為2n，則這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)為6().

2.已知0。的半徑。與，點(diǎn)占在。。上,且扇形如3的面積為12”,則觸所對(duì)的圓周角的度數(shù)是6()」.

方法

0提分特訓(xùn)

1.[2019湖北黃石]如圖,RtZU比中,24=90°,N4方的平

分線交1方于點(diǎn)是砥上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的0。交M砥分別于￡尸兩點(diǎn),月八行，乙4〃660°，則長(zhǎng)的長(zhǎng)

2.如圖,將矩形繞著點(diǎn),4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG,點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)￡落在邊切上,3是點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路

徑.若協(xié)=4,%=275廁3的長(zhǎng)為_竽_.

3.[2020洛陽(yáng)三模]如圖(1),扇形紙片的圓心角為90。，半徑為6.將這張扇形紙片折疊，如圖(2)所示，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)/1'

與點(diǎn)。恰好重合,折痕為勿,圖中陰影為重合部分，則陰影部分的面積為(A

圖⑴圖⑵

A..u6n-9V-3B.6n-973

C.12“一竿

D考

4

4.12019鄭州適應(yīng)性測(cè)試］如圖，在中,。=細(xì)乙430°點(diǎn)〃為四的中點(diǎn)，以點(diǎn)〃為圓心作半圓泮圓恰好

經(jīng)過(guò)△/成?的直角頂點(diǎn)，以點(diǎn)〃為頂點(diǎn)，作N&/W0。，與半圓分別交于點(diǎn)￡:五則圖中陰影部分的面積是“-

5.［2020開封二模］如圖"C_L仇"，=及7=4,以應(yīng)?為直徑作半圓，圓心為點(diǎn)Q,以點(diǎn)，為圓心、及7長(zhǎng)為半徑作崩，過(guò)點(diǎn)0

作4C的平行線分別交兩弧于點(diǎn)〃高則陰影部分的面積是誓二V5_.

DC

AEFB

6.［2019河南省實(shí)驗(yàn)三模］如圖,以矩形力比力的頂點(diǎn)力為圓心、線段力〃的長(zhǎng)為半徑畫弧，交然邊于點(diǎn)月再以頂點(diǎn)C

為圓心、線段切的長(zhǎng)為半徑畫弧交月8邊于點(diǎn)E.若力。石。而或，則施，介和成圍成的陰影部分的面積

為一乳季2卬2_.

真題

考法1弧長(zhǎng)與圓錐側(cè)面積的計(jì)算

I.快及考點(diǎn):弧長(zhǎng)的計(jì)算I

［2013河南,12］已知扇形的半徑為4cm,圓心角為120°，則此扇形的弧長(zhǎng)是?cm.

2」涉及考點(diǎn):圓錐側(cè)面積的計(jì)算|

［2012河南,11］母線長(zhǎng)為3,底面圓的直徑為2的圓錐的側(cè)面積為3工.

考法2陰影部分面積的計(jì)算

3」涉及考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)|

/--------

oy

A

0B

[2017河南,10]如圖，將半徑為2,圓心角為120°的扇形如8繞點(diǎn)/I逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,點(diǎn)。加的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為0'/',連

接班'，則圖中陰影部分的面積是（C

A.yB.2V3-2

C.2V3-yD.4V3-y

4.|涉及考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算、三角函數(shù)|

[2019河南,14]

如圖,在扇形加分中仍=120。，半徑笫交弦49于點(diǎn)〃且OCA.OA.若。1之百,則陰影部分的面積為支齒.

5」涉及考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)|

[2018河南,14]如圖，在應(yīng)'中,N"77=90°,4C=及＞2,將△/!用繞,他的中點(diǎn)〃逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90"得到△4'8'C',其中點(diǎn)

8的運(yùn)動(dòng)路徑為俞，則圖中陰影部分的面積為_泣_|_.

1

*B（第5題）04（第6題）

6.|涉及考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算

[2016河南,14]如圖,在扇形力切中,/加伊90。，以點(diǎn)/為圓心，》的長(zhǎng)為半徑作能交Q于點(diǎn)C.若見之，則陰影部分

的面積為通勺”.

--3--------

7.修及考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算、三角函數(shù)

[2015河南,14]如圖，在扇形月如中，乙1（期90°,點(diǎn)。為期的中點(diǎn)，電如交部于點(diǎn)反以點(diǎn)。為圓心,少的長(zhǎng)為半徑

作曲交出于點(diǎn)D.若則陰影部分的面積為—亨笫

4C。（第7題）（第8題）

8」涉及考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)

[2014河南,14]如圖,在菱形A8CV中,AB=1,NDAS4Q°.把菱形4及力繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到菱形9'。'〃',其中

點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑為笈'，則圖中陰影部分的面積為_號(hào)_、行二

作業(yè)

基礎(chǔ)分點(diǎn)練（建議用時(shí):50分鐘）

?考點(diǎn)1弧長(zhǎng)的計(jì)算

1.（2020四川南充］如圖，四個(gè)三角形拼成一個(gè)風(fēng)車圖形，若46=2,風(fēng)車轉(zhuǎn)動(dòng)90,，則點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為（A）

A.nB.2nC.3n

2.［2019浙江紹興］如圖44砥內(nèi)接于。。,28書5°,2070°,若仇＞2夜廁前的長(zhǎng)為(A)

A.nB.V2nC.2nD.2企冗

3.［2020四川達(dá)州］如圖，在半徑為5的。。中，將劣弧四沿弦，仍翻折,使折疊后的觸恰好與小，仍相切,則劣弧烈的

長(zhǎng)為

A.KB.nC.|nD.1n

3246

4.如圖,正方形46曲的四個(gè)頂點(diǎn)分別在扇形儂'的半徑龐;Q/;?和康上，且點(diǎn)A是線段Q6的中點(diǎn)，若麻的長(zhǎng)為再n,

則切的長(zhǎng)為」V5_.

5.［2020貴州黔西南州中考改編］如圖，在中,N/1（必90。，AC=BC=t點(diǎn)。為4?的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心作扇形

DEF,且Z