2024屆新高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：單元卷十　計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布(能力提升卷)【學(xué)生試卷】

單元卷十計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布(能力提升卷)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.〖2021·廣東深圳模擬〗我國實(shí)行的教育改革，最初設(shè)計(jì)為“3＋X”，即除了語文、數(shù)學(xué)、外語三門必修科目，學(xué)生需要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治中選擇三門課程作為高考科目.后來發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生棄選物理，這對我國的科學(xué)事業(yè)發(fā)展會有很大影響，所以遼寧省將制度改為“3＋1＋X”，即除了語文、數(shù)學(xué)、外語三門必修科目，想學(xué)理科的學(xué)生必選物理，想學(xué)文科的學(xué)生必選歷史，然后再從剩下的化學(xué)、生物、政治、地理四個科目中選擇兩門課程作為高考科目.此改革之后，學(xué)生的選課方法()A．減少8種B．增加10種C．種數(shù)不變D．減少5種2.〖2022·陜西西安一?！饺?2－x)10展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為A，所有項(xiàng)系數(shù)和為B，一次項(xiàng)系數(shù)為C，則A＋B＋C＝()A．4095 B．4097C．－4095 D．－40973.〖2022·寧波北侖中學(xué)模擬〗隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時，D(X2)滿足()X －1 0 1P eq\f(1－p,3) eq\f(1＋p,3) eq\f(1,3)A．先增大后減小B．先減小后增大C．增大D．減小4.〖2022·廣東東莞期末〗“石頭、剪刀、布”，又稱“猜丁殼”，是一種流傳多年的猜拳游戲，起源于中國，然后傳到日本、朝鮮等地，隨著亞歐貿(mào)易的不斷發(fā)展，傳到了歐洲，到了近現(xiàn)代逐漸風(fēng)靡世界.其游戲規(guī)則是：“石頭”勝“剪刀”、“剪刀”勝“布”、“布”勝“石頭”.若所出的拳相同，則為和局.小明和小華兩位同學(xué)進(jìn)行三局兩勝制的“石頭、剪刀、布”游戲比賽，則小華獲勝的概率是()A．eq\f(1,9) B．eq\f(2,9) C．eq\f(4,27) D．eq\f(7,27)5.〖2022·安徽十校聯(lián)考〗已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(3,2)))eq\s\up12(5)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝()A．eq\f(3,2) B．3 C．eq\f(5,2) D．56.〖2022·遼寧大連期末〗2020年12月4日，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)宣布：該校潘建偉等科學(xué)家成功構(gòu)建76光子的量子計(jì)算原型機(jī)“九章”，求解數(shù)學(xué)算法“高斯玻色取樣”只需要200秒，而目前世界上最快的超級計(jì)算機(jī)要用6億年，這一突破使我國成為全球第二個實(shí)現(xiàn)“量子優(yōu)越性”的國家.“九章”求得的問題名叫“高斯玻色取樣”，可以理解為量子版本的高爾頓釘板，但其實(shí)際情況非常復(fù)雜.高爾頓釘板是英國生物學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的，如圖，每一個黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，上一層的每個釘子水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間，從入口處放進(jìn)一個直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球，白球向下降落的過程中，首先碰到最上面的釘子，碰到釘子后皆以eq\f(1,2)的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子.如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個格子內(nèi)為止.現(xiàn)從入口放進(jìn)一個白球，則其落在第③個格子的概率為()A．eq\f(1,128)B．eq\f(7,128)C．eq\f(21,128)D．eq\f(35,128)7．〖2022·精選〗甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊比賽游戲，其中任何一人每射擊一次擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分.若甲、乙兩人射擊的命中率分別為eq\f(3,5)和P，且甲、乙兩人各射擊一次得分之和為2的概率為eq\f(9,20).假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響，則P等于()A．eq\f(3,5) B．eq\f(4,5) C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,4)8.〖2022·重慶一中期末〗隨機(jī)變量X的概率分布列如下：X012…k…12Peq\f(1,a)eq\f(12,a)eq\f(1,a)Ceq\o\al(2,12)…eq\f(1,a)Ceq\o\al(k,12)…eq\f(1,a)其中k＝0，1，2，…，12，則E(X)＝A．212B．26C．6D．12二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.〖2022·湖南名校聯(lián)考〗(a－x)(1＋x)6的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)＝3B．展開式中常數(shù)項(xiàng)為3C．展開式中x4的系數(shù)為30D．展開式中x的偶數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為6410.〖2022·遼寧名校聯(lián)考〗某中學(xué)為提升學(xué)生勞動意識和社會實(shí)踐能力，利用周末進(jìn)社區(qū)義務(wù)勞動.高三一共有6個班，其中只有1班有2個勞動模范，本次義務(wù)勞動一共有20個名額，勞動模范必須參加并不占名額，每個班都必須有人參加，則下列說法正確的是()A．若1班不再分配名額，則共有Ceq\o\al(4,20)種分配方法B．若1班有除勞動模范之外的學(xué)生參加，則共有Ceq\o\al(5,19)種分配方法C．若每個班至少3人參加，則共有90種分配方法D．若每個班至少3人參加，則共有126種分配方法11.〖2022·廣東廣州三校聯(lián)考〗甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別記A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，記B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事件B與事件A1相互獨(dú)立D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件12.〖2021·福建寧德期末〗某次數(shù)學(xué)考試的一道多項(xiàng)選擇題，要求是：“在每小題給出的四個選項(xiàng)中，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.”已知某選擇題的正確答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都不會做，則下列表述正確的是()A．甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個選項(xiàng)，能得3分的概率是eq\f(1,2)B．乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個選項(xiàng)，能得5分的概率是eq\f(1,6)C．丙同學(xué)隨機(jī)選擇選項(xiàng)，能得分的概率是eq\f(1,5)D．丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個選項(xiàng)，能得分的概率是eq\f(1,10)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.〖2022·浙江寧波鎮(zhèn)海中學(xué)期中〗若(1＋x)·(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則a1＋a2＋…＋a7的值是________；在上述展開式右邊的九項(xiàng)中，隨機(jī)任取不同的三項(xiàng)，假設(shè)這三項(xiàng)均不相鄰，則有________種不同的取法.14.〖2022·重慶北培區(qū)一模〗設(shè)隨機(jī)變量ξ～N(μ，σ2)，σ2＝1，函數(shù)f(x)＝x2＋2x－ξ沒有零點(diǎn)的概率是0.5，則P(0≤ξ≤1)＝________.附：若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.15.〖2022·湖北武漢一?！皆谝淮我浴岸?xiàng)分布的性質(zhì)”為主題的數(shù)學(xué)探究活動中，立德中學(xué)高三某小組的學(xué)生表現(xiàn)優(yōu)異，發(fā)現(xiàn)的正確結(jié)論得到老師和同學(xué)的一致好評.設(shè)隨機(jī)變量X～B(n，p)，記pk＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.在研究pk的最大值時，小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若(n＋1)p為正整數(shù)，則k＝(n＋1)p時，pk＝pk－1，此時這兩項(xiàng)概率均為最大值；若(n＋1)p為非整數(shù)，當(dāng)k取(n＋1)p的整數(shù)部分，則pk是唯一的最大值.以此為理論基礎(chǔ)，有同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù).當(dāng)投擲到第20次時，記錄到此時點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)5次，若繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，則當(dāng)投擲到第100次時，點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為________的概率最大.16.〖2021·山西大同模擬〗甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，采取五局三勝制(當(dāng)一人先贏三局時獲勝，比賽結(jié)束).棋局以紅棋與黑棋對陣，兩人執(zhí)色輪流交換，執(zhí)紅棋者先走.假設(shè)甲執(zhí)紅棋時獲勝的概率為eq\f(2,3)，執(zhí)黑棋時獲勝的概率為eq\f(1,2)，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，且沒有和局.若比賽開始，甲執(zhí)紅棋開局，則甲以3∶2的成績獲勝的概率為________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．〖2022·廣東深圳一?！侥承⑦M(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃測試，規(guī)則為：每人至多投3次，先在M處投一次三分球，投進(jìn)得3分，未投進(jìn)不得分，以后均在N處投兩分球，每投進(jìn)一次得2分，未投進(jìn)不得分.測試者累計(jì)得分高于3分即通過測試，并終止投籃.甲、乙兩位同學(xué)為了通過測試，進(jìn)行了五輪投籃訓(xùn)練，每人每輪在M處和N處各投10次，根據(jù)他們每輪兩分球和三分球的命中次數(shù)情況分別得到如下圖表：若以每人五輪投籃訓(xùn)練命中頻率的平均值作為其測試時每次投籃命中的概率.(1)求甲同學(xué)通過測試的概率；(2)在甲、乙兩位同學(xué)均通過測試的條件下，求甲得分比乙得分高的概率.18．〖2022·福建廈門一模〗國際學(xué)生評估項(xiàng)目(PISA)，是經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織(OECD)舉辦的，該項(xiàng)目的內(nèi)容是對15歲學(xué)生的閱讀、數(shù)學(xué)、科學(xué)能力進(jìn)行評價研究.在2018年的79個參測國家(地區(qū))的抽樣測試中，中國四省市(北京、上海、江蘇、浙江)作為一個整體在所有參測國家(地區(qū))取得全部3項(xiàng)科目中第一的好成績.某機(jī)構(gòu)為了分析測試結(jié)果優(yōu)劣的原因，從參加測試的中國學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名參測選手進(jìn)行調(diào)研，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：成績優(yōu)秀成績一般總計(jì)家長高度重視學(xué)生教育90xy家長重視學(xué)生教育度一般30zw總計(jì)12080200若從上表“家長高度重視學(xué)生教育”的參測選手中隨機(jī)抽取一人，則選到的是“成績一般”的選手的概率為eq\f(4,13).(1)判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“學(xué)生取得的成績情況”與“家長對學(xué)生的教育重視程度”有關(guān).(2)現(xiàn)從成績優(yōu)秀的選手中按照分層抽樣的方法抽取20人，進(jìn)行“家長對學(xué)生情感支持”的調(diào)查，再從這20人中抽取3人進(jìn)行“學(xué)生家庭教育資源保障”的調(diào)查.記進(jìn)行“學(xué)生家庭教育資源保障”調(diào)查中抽取到“家長高度重視學(xué)生教育”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.82819．〖2021·重慶七校聯(lián)考〗隨著智能手機(jī)的普及，手機(jī)計(jì)步軟件迅速流行開來.這類軟件能自動記載用戶每日健步的步數(shù).某市大型企業(yè)為了了解其員工每日健步走的情況，從正常上班的員工中隨機(jī)抽取了2000人，統(tǒng)計(jì)了他們手機(jī)計(jì)步軟件上同一天健步的步數(shù)(單位：千步，假設(shè)每天健步的步數(shù)均在3千步至21千步之間).將樣本數(shù)據(jù)分成[3，5)，[5，7)，[7，9)，[9，11)，[11，13)，[13，15)，[15，17)，[17，19)，[19，21]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，并用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布.(1)求圖中a的值；(2)設(shè)該企業(yè)正常上班的員工健步步數(shù)(單位：千步)近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本的平均數(shù)(各區(qū)間數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值近似計(jì)算)，取σ＝3.64，若該企業(yè)恰有10萬名正常上班的員工，試估計(jì)這些員工中日健步步數(shù)Z位于區(qū)間[4.88，15.8]內(nèi)的人數(shù)；(3)現(xiàn)從該企業(yè)員工中隨機(jī)抽取20人，其中日健步步數(shù)在13千步至15千步內(nèi)的員工有X人，記“事件X＝k”的概率為P(X＝k)，其中k＝0，1，2，…，20，當(dāng)P(X＝k)最大時，求k的值.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.20．〖2021·沈陽市教學(xué)質(zhì)檢〗習(xí)近平總書記曾提出，“沒有全民健康，就沒有全面小康”.為響應(yīng)總書記的號召，某社區(qū)開展了“健康身體，從我做起”社區(qū)健身活動，運(yùn)動分為徒手運(yùn)動和器械運(yùn)動兩大類.該社區(qū)對參與活動的1200人進(jìn)行了調(diào)查，其中男性650人，女性550人，所得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(單位：人)如下表所示：器械類徒手類合計(jì)男性590女性240合計(jì)900(1)請將題中表格補(bǔ)充完整，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為“是否選擇器械類與性別有關(guān)”.(2)為了檢驗(yàn)活動效果，該社區(qū)組織了一次競賽活動.競賽包括三個項(xiàng)目，一個是器械類，兩個是徒手類，規(guī)定參與者必須三個項(xiàng)目都參加.據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，參賽者通過器械類競賽的概率是eq\f(4,5)，通過徒手類競賽的概率都是eq\f(3,4)，且各項(xiàng)目是否通過相互獨(dú)立.用ζ表示某居民在這次競賽中通過的項(xiàng)目個數(shù)，求隨機(jī)變量ζ的分布列和數(shù)學(xué)期望.(參考數(shù)據(jù)：12302＝1512900，65×55×9＝32175，1512900÷32175≈47)附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).α0.0500.0250.0100.005xα3.8415.0246.6357.87921．〖2022·山東臨沂一?！近h中央、國務(wù)院高度重視新冠病毒核酸檢測工作，中央應(yīng)對新型冠狀病毒感染肺炎疫情工作領(lǐng)導(dǎo)小組會議作出部署，要求盡力擴(kuò)大核酸檢測范圍，著力提升檢測能力.根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為p(0＜p＜1).現(xiàn)有4例疑似病例，分別對其取樣、檢測，既可以逐個化驗(yàn)也可能將若干個樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要有病毒，則化驗(yàn)結(jié)果呈陽性.若混合樣本呈陽性，則需將該組中備用的樣本再逐個化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個樣本均為陰性，無需再化驗(yàn).現(xiàn)有以下三種方案：方案一：4個樣本逐個化驗(yàn)；方案二：4個樣本混合在一起化驗(yàn)；方案三：4個樣本均