2023-2024學(xué)年廣西南寧市第三十四中學(xué)高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat18頁2023-2024學(xué)年廣西南寧市第三十四中學(xué)高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得直線的斜率，進(jìn)而求得傾斜角.【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為.故選：C2．在一個不透明的盒子中，放有除顏色外完全相同的2個白球和3個紅球，搖勻后，從中任意取出兩個球，下列說法與“取出的兩個球都是白球”是互斥但不是對立的事件是（

）A．取出兩球同色 B．取出的兩球異色C．取出的兩球至少有一個紅球 D．取出的兩球至少一個白球【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義逐項判斷即可得解.【詳解】記事件“取出的兩個球都是白球”，事件“取出的兩個球是1個白球和1個紅球”，事件“取出的兩個球都是紅球”，可知事件兩兩互斥，且樣本空間，對于選項A：因為“取出兩球同色”，即事件“取出兩球同色”與“取出的兩個球都是白球”不互斥，故A錯誤；對于選項B：因為“取出的兩球異色”，即事件互斥且不對立，故B正確；對于選項C：因為“取出的兩球至少有一個紅球”，可知事件A與事件為對立事件，故C錯誤；對于選項D：因為“取出的兩球至少一個白球”，即事件“取出的兩球至少一個白球”與“取出的兩個球都是白球”不互斥，故D錯誤；故選：B.3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知得，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則，即可求解.【詳解】，.故選：B.4．從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.5．某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（

）A．62% B．56%C．46% D．42%【答案】C【分析】由容斥原理即可得解..【詳解】由題意，該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為.故選：C.6．在正四面體中，記，，，為棱的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解．【詳解】因為為棱的中點，所以．

故選：B．7．函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時，，所以，排除C.故選：A.8．點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】首先根據(jù)直線方程判斷出直線過定點，設(shè)，當(dāng)直線與垂直時，點到直線距離最大，即可求得結(jié)果.【詳解】由可知直線過定點，設(shè)，當(dāng)直線與垂直時，點到直線距離最大，即為.故選：B.【點睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何初步的問題，涉及到的知識點有直線過定點問題，利用幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題9．已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因為，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因為四邊形為正方形，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯誤；因為平面，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD10．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個周期為 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的一個零點為 D．在上單調(diào)遞減【答案】ABC【分析】根據(jù)周期、對稱軸、零點、單調(diào)性，結(jié)合整體思想即可求解.【詳解】對于A項，函數(shù)的周期為，，當(dāng)時，周期，故A項正確；對于B項，當(dāng)時，為最小值，此時的圖象關(guān)于直線對稱，故B項正確；對于C項，，，所以的一個零點為，故C項正確；對于D項，當(dāng)時，，此時函數(shù)有增有減，不是單調(diào)函數(shù)，故D項錯誤.故選：ABC.11．如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯誤.對于B，如圖（2）所示，取的中點為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，則，因為，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因為正方體的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯誤.故選：BC.12．在空間中，有直線的方向向量和平面的法向量，則（

）A．若∥，則B．當(dāng)時，平面平行于空間坐標(biāo)軸軸C．當(dāng)時，D．若，則【答案】CD【分析】對于A、B、D：根據(jù)空間向量與線面關(guān)系逐項分析判斷；對于C：根據(jù)空間向量的模長公式運算求解.【詳解】對于選項A：因為，可知與不垂直，所以不存在實數(shù)，使得∥，故A錯誤；對于選項B：當(dāng)時，則，因為軸的方向向量可以為，則，可得，所以平面平行于空間坐標(biāo)軸軸或平面包含空間坐標(biāo)軸軸，故B錯誤；對于選項C：當(dāng)時，則，可得，故C正確；對于選項D：若，則∥，可知存在實數(shù)，使得，即，則，解得，故D正確；故選：CD.三、填空題13．已知點為中點，則．【答案】【分析】先求得點的坐標(biāo)，然后求得，【詳解】由于是中點，所以，所以.故答案為：14．甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過城市；乙說：我沒去過城市.丙說：我們?nèi)齻€去過同一城市.由此可判斷乙去過的城市為【答案】A【詳解】試題分析：由乙說：我沒去過C城市，則乙可能去過A城市或B城市，但甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市，則乙只能是去過A，B中的任一個，再由丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市，則由此可判斷乙去過的城市為A【解析】進(jìn)行簡單的合情推理15．若向量和向量都是某直線的方向向量，則.【答案】【分析】由題意兩向量共線，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運算列式求解即可.【詳解】向量和向量都是某直線的方向向量，所以向量與向量共線，所以，解得.故答案為：.16．如圖，在面內(nèi)有線段和，且面，，則之間的距離為．

【答案】【分析】連接，求得，再由面，得到，在直角中，利用勾股定理，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，因為，且和，可得，又因為面，且面，所以，在直角中，由，，所以，即和之間的距離為.故答案為：.

四、解答題17．已知直線和點．(1)求過點且與直線平行的直線方程；(2)求過點且與直線垂直的直線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)所求直線方程為，代入點，求得，即可求解；（2）設(shè)所求直線方程為，代入點，求得，即可求解；【詳解】（1）解：設(shè)與直線平行的直線方程為（其中），又由所求直線過點，可得，解得，所以所求直線方程為.（2）解：設(shè)與直線垂直的直線方程為，將點代入方程，可得，解得，所以所求直線的方程為.18．已知直線和點(1)求點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)；(2)求直線關(guān)于點對稱的直線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點關(guān)于線對稱列式求解即可；（2）根據(jù)相關(guān)點法分析運算即可.【詳解】（1）設(shè)，由題意可得，解得，所以點的坐標(biāo)為.（2）在直線上任取一點，設(shè)關(guān)于點的對稱點為，則，解得，由于在直線上，則，即，故直線關(guān)于點的對稱直線的方程為.19．為了加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽查了100天空氣中的和濃度（單位：）得下表：32184123710經(jīng)統(tǒng)計，濃度在內(nèi)的頻率為；濃度在內(nèi)的頻率0.26．(1)求統(tǒng)計表中的值；(2)估計事件“該市一天空氣中濃度不超過75，且濃度不超過150”的概率；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)頻率求頻數(shù)，再結(jié)合表格數(shù)據(jù)，即可求解；（2）首先找到滿足條件的天數(shù)，再根據(jù)古典概型概率公式，即可求解.【詳解】（1）由題意可知，濃度在內(nèi)的頻數(shù)為，濃度在內(nèi)的頻數(shù)為，則，，解得：，（2）由表可知，該市一天空氣中濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)為天，因此，該市一天空氣中濃度不超過75，且濃度不超過150”的概率為.20．有甲?乙兩名同學(xué)投籃比賽，兩人的投籃互不影響，甲投進(jìn)的概率為，乙投進(jìn)的概率為．(1)甲投籃三次，求全都投進(jìn)的概率；(2)甲?乙各投籃兩次，以投進(jìn)的個數(shù)多者為勝，求乙獲勝的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用獨立重復(fù)試驗概率公式運算即可得解.（2）利用獨立重復(fù)試驗概率公式、互斥事件和相互獨立事件概率公式、概率基本性質(zhì)運算即可得解.【詳解】（1）解：甲投籃三次，全都投進(jìn)的概率為.（2）解：由題意，甲?乙各投籃兩次，以投進(jìn)的個數(shù)多者為勝，設(shè)“乙投籃兩次，投進(jìn)2球”為事件，則；“乙投籃兩次，投進(jìn)1球”為事件，則；“甲投籃兩次，投進(jìn)1球”為事件，則；“甲投籃兩次，投進(jìn)0球”為事件，則；則乙獲勝的情形為：事件，由概率公式及基本性質(zhì)得其概率為：.所以，乙獲勝的概率為.21．如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計算三棱錐的體積即可.【詳解】（1）因為，O是中點，所以，因為平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因為平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點，為軸，為y軸，垂直且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè),所以，設(shè)為平面的法向量，則由可求得平面的一個法向量為．又平面的一個法向量為，所以，解得．又點C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點G．作，垂足為點F，連結(jié)，則．因為平面，所以平面，為二面角的平面角．因為，所以．由已知得，故．又，所以．因為，．[方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據(jù)題意，得．對使用三面角的余弦公式，可得，化簡可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化簡可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有，根據(jù)三角形相似知，點G為的三等分點，即可得，結(jié)合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．【整體點評】(2)方法一：建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問題代數(shù)化，適合于復(fù)雜圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時可以對幾何體的幾何特征有更加深刻的認(rèn)識，該法為本題的最優(yōu)解.方法三：三面角公式是一個優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問題更加簡單、直觀、迅速.22．如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等體