用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱幾何問題

.z.用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱研究幾何問題學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)要解決的問題：分三個層次①直接的旋轉(zhuǎn)作圖或者旋轉(zhuǎn)關(guān)系的表達(dá)；②增加干擾線段，隱含局部，主動發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)關(guān)系，并證明*些結(jié)論③需要添加輔助線，完善圖形創(chuàng)造情境，進展證明。要重視的問題：共頂點的等腰三角形的出現(xiàn)是實現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的情境；〔輔助線添加方向〕一、平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱在幾何題中的應(yīng)用1．：△ABC與△ADE都是等腰直角三角形.求證：BD⊥EC.2．如圖，△ABC≌△ADE，∠B＝45°，∠C＝20°，∠EAB＝30°，則∠D＝°，假設(shè)AC、DE交于點F，則∠EFC＝°.3．如圖，△ABC中，∠BAC=120o，以BC為邊向形外作等邊△BCD，把△ABD繞著點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)60o后到△ECD的位置.假設(shè)AB=3，AC=2，求∠BAD的度數(shù)和AD的長.4．：如圖，A、B、C在同一直線上，且與都是等邊三角形，求證：.拓展如圖1，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN是等邊三角形，直線AN、MC交于點E，BM、交于點F．〔1〕求證：AN=BM；〔2〕求證：△CEF為等邊三角形；〔3〕將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90o，其他條件不變，在圖2中補出符合要求的圖形，并判斷第〔1〕、〔2〕兩小題的結(jié)論是否仍然成立〔不要求證明〕．5．如圖，正方形ABCD和BC邊上一點E，將直角三角形ABE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90o，再沿BC方向平移，平移距離是線段BC的長度，請畫出圖形.并答復(fù)：旋轉(zhuǎn)后三角形的斜邊與AE有什么關(guān)系？為什么？二、常見的利用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱變換作的輔助線幾何問題中的輔助線是對同學(xué)們幾何思維能力的考驗，通過分析找到輔助線的添加方法，能夠使幾何問題簡化，有助于問題的解決.同時，通過研究平面幾何的輔助線的添加方法，能夠鍛煉同學(xué)們分類研究問題的能力.平面幾何的輔助線有一定的規(guī)律，而這些規(guī)律大多與幾何圖形的三種變換有關(guān)，下面我們就來研究常見輔助線與幾何圖形變換的關(guān)系.1．〔三角形的倍長中線〕：在△ABC中，AB=AC，CD是中線，延長AB到E，使BE=AB，連結(jié)CE.求證：CD=CE.拓展1如圖1，△ABC中，AD是△ABC的中線，AB=8，AC=6，求AD的取值圍．提示：延長AD至A＇，使A＇D＝AD，連結(jié)BA＇．根據(jù)“SAS〞易證△A＇BD≌△ACD，得AC＝A＇B．這樣將AC轉(zhuǎn)移到△A＇BA中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理可解．拓展2如圖2，△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延長線上一點，且BD＝CE，DE與BC交于點F．求證：DF=EF．提示：此題輔助線作法較多，如：①作DG∥AE交BC于G；②作EH∥BA交BC的延長線于H；再通過證三角形全等得DF＝EF．2．〔三角形的翻折角平分線〕：在中，，AD是的平分線.求證：.拓展1如圖，：在中，，AD是的平分線，P是AD上任意一點.求證：.拓展2：ΔABC中，∠A=，AD是BC邊上的高，BE是角平分線，且交AD于P.求證：AE=AP.3．〔梯形的線段倍長〕：梯形ABCD中，AD//BC，E是DC的中點，AE平分∠BAD．求證：AB=AD+BC．拓展1如圖，：在梯形ABCD中，AB//CD，∠ADC=90o，F(xiàn)為BC的中點，∠AFC=3∠BAF.求證：CD=CF.拓展2：直角梯形ABCD中，AB//DC，AB⊥AD，F(xiàn)為BC的中點，CF=DC．求證：∠AFC=3∠BAF．拓展3：如圖5，在梯形中，、N分別是、的中點。求證：。4．〔正方形中的三角形旋轉(zhuǎn)〕：如圖E是正方形ABCD邊BC上任意一點，AF平分角EAD交CD于F，試說明BE+DF=AE.拓展1如圖，：在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，假設(shè)有.求：的度數(shù).拓展2如圖，：在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，假設(shè)有.求證：.拓展3如圖，正方形ABCD邊長為1，AB、AD上各有一點P、Q，假設(shè)△APQ的周長為2．求∠PCQ的大?。卣?如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、DC上的點，且∠EAF=45o，AH⊥EF．求證：AH=AB．拓展5如圖，正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割成4個小矩形，P是EF與GH的交點，假設(shè)矩形PFCH的面積恰是矩形AGPE面積的2倍．試確定∠HAF的大小，寫出推導(dǎo)的過程．5．〔三角形的輔助線旋轉(zhuǎn)〕，如圖在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3.求證：DE的長.拓展1如圖，在等腰三角形ABC中，P是三角形的一點，且∠APB=∠APC．求證PB=PC．拓展2△ABC中，AB=AC，D是三角形一點，假設(shè)∠ADB＞∠ADC．求證∠DBC＞∠DCB．分析將△ABC以A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)一角度∠BAC，到△ACE的位置．連DE，由∠ADB＞∠ADC，得∠AEC＞∠ADC．又∠ADE=∠AED，相減，得∠DEC＞∠EDC．∴CD＞CE．即CD＞BD，從而∠DBC＞∠DCB．拓展3假設(shè)P為正方形ABCD一點，PA∶PB∶PC=1∶2∶3．試證∠APB=135°．分析利用正方形的特點設(shè)法經(jīng)過旋轉(zhuǎn)使AP、PB、PC相對集中，為簡單起見不妨設(shè)PA=1，PB=2，PC=3．繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90o，使△CBP到△ABE的位置，這時BE=2，AE=3，∠PBE=90o→PE=，∠BPE=45o。又∴∠APE=90°．于是∠APB=135°．拓展4在等邊三角形有一點P．連接P與各頂點的三條線段的長為3、4、5.求正三角形的邊長.〔答案：〕分析將△CPB旋轉(zhuǎn)到△AP`B，連接PP`，延長BP，過A作AD⊥BD.易知△APP`是直角三角形，因為∠BPP`=60o，所以∠APD=30o，則AD=2，DP=.6．〔軸對稱變換〔翻折問題〕〕〔1〕如圖，將矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C`處，BC`交AD于E，AD=8，AB=4.求△BED的面積．〔2〕如圖，將邊長為12厘米的正方形ABCD折疊，使得點A落在邊CD上的E點，然后壓平得折痕FG．假設(shè)FG的長為13厘米.求線段CE的長．〔3〕如圖，點M、N為矩形ABCD一組對邊的中點，將矩形的一角向折疊，使點B落在直線MN上，得到落點B`和折痕AE，延長EB`交AD于F.判斷△AEF是什么三角形，并說明理由．〔4〕把一正方形紙片ABCD從中間對折后仍然攤平，得折痕為EF，如圖〔1〕所示．接著，使點C不動，把B點處的紙向右上方折起來使B點落在EF上，得落點為B`，折痕為GC，如圖〔2〕所示．連AB`，問圖中∠GAB`是多少度？求∠GAB'相當(dāng)于求∠AB'E顯然三角形CGB和三角形CGB'是全等的，因為是對折得到的，所以CB'=CB=1/2CF又因為EF垂直于BC，所以∠FB'C=30°假設(shè)正方形邊長為1，算出B'F=〔根號3〕/2所以B'E=1-〔根號3〕/2所以tan∠AB'E=AE/B'E=(1/2)÷(1-〔根號3〕/2)=2+根號3所以∠AB'E=75°=∠GAB'7．〔梯形的平移輔助線〕〔1〕：如圖2，在梯形ABCD中，．求證：．〔2〕：如圖3，在梯形中，．求證：梯形是等腰梯形．〔3〕：如圖7，在梯形中，、N分別是、AB的中點．求證：．幾何綜合1．如圖1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰為BC的中點，.〔1〕求證：AD=AE；〔2〕如圖2，點P在BE上，作EF⊥DP于點F，連結(jié)AF.求證：；〔3〕請你在圖3中畫圖探究：當(dāng)P為射線EC上任意一點〔P不與點E重合〕時，作EF⊥DP于點F，連結(jié)AF，線段DF、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論.圖圖1EBCAD圖3EBCAD圖2ECBADFPyOABC11*2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系*Oy中，一次函數(shù)的圖象與*軸交于點A，與y軸交于點yOABC11*〔1〕求證：△ABC是等邊三角形；〔2〕點P在線段BC的延長線上，連結(jié)AP，作AP的垂直平分線，垂足為點D，并與y軸交于點D，分別連結(jié)EA、EP．①假設(shè)CP＝6，直接寫出∠AEP的度數(shù)；②假設(shè)點P在線段BC的延長線上運動〔P不與點C重合〕，∠AEP的度數(shù)是否變化？假設(shè)變化，請說明理由；假設(shè)不變，求出∠ADP的度數(shù)；〔3〕在〔2〕的條件下，假設(shè)點P從C點出發(fā)在BC的延長線上勻速運動，速度為每秒1個單位長度．EC與AP于點F，設(shè)△AEF的面積為S1，△CFP的面積為S2，y＝S1－S2，運動時間為t〔t>0〕秒時，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．3．：如圖1，點P在線段AB上〔AP＞PB〕，C、D、E分別是AP、PB、AB的中點，正方形CPFG和正方形PDHK在直線AB同側(cè)．〔1〕求證：△EHG是等腰直角三角形；〔2〕假設(shè)將圖1中的射線PB連同正方形PDHK繞點P順時針旋轉(zhuǎn)一個角度后，其它條件不變，如圖2，判斷△EHG還是等腰直角三角形嗎？請說明理由．4．如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點M，正方形MNPQ與正方形ABCD全等，射線MN與MQ不過A、B、C、D四點且分別交ABCD的邊于E、F兩點.〔1〕求證：ME=MF；〔2〕假設(shè)將原題中的正方形改為矩形，且，其他條件不變，探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系.5.如圖10-1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE．我們探究以下圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：〔1〕①請直接寫出圖10-1中線段BG、線段DE的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；②將圖10-1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖10-2、如圖10-3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖10-2證明你的判斷．〔2〕將原題中正方形改為矩形〔如圖10-4～10-6〕，且，試判斷〔1〕①中得到的結(jié)論哪個成立，哪個不成立？并寫出你的判斷，不必證明.〔3〕在圖10-5中，連結(jié)、，且，則=．1．如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，E是BC邊上任意一點，把正方形沿著GH折疊，使A與E重合，D與D’重合，ED’與邊CD交于點F。〔1〕當(dāng)點E為BC邊中點時，求⊿ECF的周長？連結(jié)AE，AF，求∠EAF的度數(shù)？〔2〕當(dāng)點E在BC邊上運動時，〔1〕中的結(jié)論變化嗎？試說明理由。2．正方形紙片ABCD的邊長為2．操作：如圖1，將正方形紙片折疊，使頂點A落在邊CD上的點P處〔點P與C、D不重合〕，折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的位置，PQ與BC交于點G．探究：〔1〕觀察操作結(jié)果，找到一個與相似的三角形，并證明你的結(jié)論；〔2〕當(dāng)點P位于CD中點時，你找到的三角形與周長的比是多少〔圖2為備用圖〕？3．幾何模型：條件如下左圖，、是直線同旁的兩個定點．問題：在直線上確定一點，使的值最?。椒ǎ鹤鼽c關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)交于點，則的值最小〔不必證明〕．模型應(yīng)用：〔1〕如圖1，正方形的邊長為2，為的中點，是上一動點．連結(jié)，由正方形對稱性可知，與關(guān)于直線對稱．連結(jié)交于，則的最小值是___________；〔2〕如圖2，的半徑為2，點在上，，，是上一動點，則的最小值是___________；〔3〕如圖3，，是一點，，分別是上AB′PlOAB′PlOABPRQ圖3OAB