全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽一等獎《對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計

《2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容與內(nèi)容解析對數(shù)函數(shù)是學(xué)生在高中階段接觸到的第二個基本初等函數(shù)，在基本初等函數(shù)（Ⅰ）中起到了承上啟下的作用。本節(jié)課的主要任務(wù)是在學(xué)習(xí)對數(shù)的概念與運算性質(zhì)之后，類比研究指數(shù)函數(shù)的過程認(rèn)識對數(shù)函數(shù)。這節(jié)課是第一課時內(nèi)容，主要介紹對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及性質(zhì)的簡單應(yīng)用。二、目標(biāo)與目標(biāo)解析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1、理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；2、能畫出具體的對數(shù)函數(shù)的圖象，借助圖形計算器探索對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；3、能利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)問題；4、在學(xué)習(xí)過程中，滲透從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生體會類比推理在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論上的作用。為了更好地完成以上教學(xué)目標(biāo)，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)重點應(yīng)圍繞“對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)”進行，其中的教學(xué)難點是突破對“底數(shù)對函數(shù)圖象的影響”的認(rèn)識。三、教學(xué)問題診斷分析通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已掌握了對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，特別是對換底公式可以熟練的應(yīng)用。在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已初步掌握研究函數(shù)的思路和方法。鑒于之前對于教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重、難點的分析，本節(jié)課的教學(xué)活動應(yīng)以教師引導(dǎo)、學(xué)生主動探究為主，教學(xué)設(shè)計的主導(dǎo)思想應(yīng)定位在“本節(jié)課為學(xué)生在研究函數(shù)上的一次實踐”上。因此在教學(xué)設(shè)計上教師應(yīng)當(dāng)對于學(xué)生的探究活動進行精心的組織，使得學(xué)生明確任務(wù)，有的放矢，既能完成預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)，又能讓學(xué)生體會探究的樂趣。讓學(xué)生在掌握一些學(xué)習(xí)方法的同時培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。四、教學(xué)支持條件本節(jié)課中，師生使用的圖形計算器是CASIOfx-CG20。本款圖形計算器在完成教學(xué)目標(biāo)上起到了很大的作用，可以稱之為“教學(xué)利器”。首先，學(xué)生利用它基本的計算功能，完成了較復(fù)雜的對數(shù)計算，讓自己感受到數(shù)字的真實存在；其次，它強大的繪圖功能，尤其是動態(tài)繪圖的功能，為研究函數(shù)性質(zhì)，突破教學(xué)難點鋪平了道路，學(xué)生在計算器上所得到的直觀感受比起教師的抽象講解效果要好很多；最后，我們不但能利用計算器檢驗解題結(jié)果，還為學(xué)生留下無限的遐想空間，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。五、教學(xué)過程設(shè)計（一）獲得新知通過前面指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，我們初步形成了研究函數(shù)的思路和方法。在隨后的對數(shù)及其運算性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，我們又認(rèn)識到了指、對數(shù)之間的緊密聯(lián)系，今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)一個基本初等函數(shù)——對數(shù)函數(shù)。它到底是一個什么樣的函數(shù)？它與指數(shù)函數(shù)又有什么關(guān)系呢？讓我們一起拭目以待！【設(shè)計意圖】簡要回顧前面所學(xué)知識，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊，最后以問題串的形式激發(fā)學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)興趣。問題1：首先請看一個考古學(xué)上的數(shù)學(xué)問題：考古學(xué)家一般通過提取附著在出土文物、古遺址上死亡生物體的殘留物，利用估算出出土文物和古遺址的年代。例如對于下表中所示的碳14的含量，請同學(xué)們利用計算器計算出生物死亡年數(shù)的值（保留到整數(shù)）為：碳14的含量0.50.30.10.010.001生物死亡年數(shù)57309953190353806957104通過計算請同學(xué)們分析：是不是的函數(shù)，為什么？【設(shè)計意圖】通過實例引出對數(shù)函數(shù)的概念，讓學(xué)生體會研究對數(shù)函數(shù)的實際意義。學(xué)生通過計算，可以體會兩個變量間的對應(yīng)關(guān)系，從而聯(lián)想到利用函數(shù)的定義分析新的問題，使得函數(shù)概念建立之初就能用一個比較高的觀點審視之。預(yù)設(shè)的師生活動：從特殊的幾組數(shù)值推廣到一般，學(xué)生根據(jù)函數(shù)的定義可以得出結(jié)論：對于每一個碳14含量，都有唯一確定的年代與它對應(yīng)，所以是的函數(shù)。而剛才的關(guān)系式就是函數(shù)的解析式。在此基礎(chǔ)上，教師給出一般性的結(jié)論：這個函數(shù)解析式是一個對數(shù)式，底數(shù)為一個常數(shù)，自變量在真數(shù)的位置上，生活中還有很多類似形式的函數(shù)，將他們抽象為數(shù)學(xué)問題，就是我們今天要研究的對數(shù)函數(shù)：一般地，我們把函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是。問題2：類比指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)過程，你能制定一套研究對數(shù)函數(shù)的方案嗎？請先獨立思考，之后小組討論，確定你們的研究方案?！驹O(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生規(guī)劃研究方案的意識和能力，達到對函數(shù)概念以及指數(shù)函數(shù)的鞏固的目的，并為本節(jié)課的研究理清思路。預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生按照要求完成之后進行展示交流。具體方案如下：研究的思路是：先作函數(shù)圖象（哪個函數(shù)圖象？？），然后根據(jù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)（包括定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點、圖象的其他變化特征等方面）。問題3：想必大家已經(jīng)清楚下一步的任務(wù)了，接下來請同學(xué)們借助圖形計算器，根據(jù)前面確定的方案在小組內(nèi)研究，看看你能得到什么結(jié)論，并且思考能否用一個恰當(dāng)?shù)男问接涗浵聛??！驹O(shè)計意圖】將研究函數(shù)的性質(zhì)的主動權(quán)交給學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生的基于類比進行自主學(xué)習(xí)的能力。預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生小組內(nèi)進行討論，教師巡查指導(dǎo)，最后請同學(xué)上臺演示計算器作圖以及討論成果：（下表在現(xiàn)場生成，依據(jù)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)隨時增刪）圖象定義域值域過定點單調(diào)性在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增奇偶性非奇非偶函數(shù)值的分布當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，注：（1）函數(shù)值的分布：在對數(shù)函數(shù)中，當(dāng)?shù)讛?shù)與真數(shù)在同一范圍取值時，對數(shù)為正，當(dāng)?shù)讛?shù)與真數(shù)在不同范圍取值時，對數(shù)為負(fù)；（如果學(xué)生未提及，可以不作說明）（2）當(dāng)兩個對數(shù)函數(shù)的底數(shù)互為倒數(shù)時，這兩個對數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱（可在圖形計算器中輸入以及這兩個對數(shù)函數(shù)，設(shè)定參數(shù)變化時觀察函數(shù)圖象所呈現(xiàn)出的情況）。問題4：對于函數(shù)以及的圖象關(guān)于軸對稱，你可以解釋嗎？【設(shè)計意圖】嘗試用代數(shù)的形式分析直觀現(xiàn)象，數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。預(yù)設(shè)的師生活動：圖象的對稱的本質(zhì)是點的對稱，利用換底公式可以解釋。在函數(shù)的圖象上任取一點（x1，y1），則，所以點（x1，-y1）在函數(shù)的圖象上。又點（x1，y1）和點（x1，-y1）關(guān)于軸對稱，所以這兩個函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱。（展板展示學(xué)生的演練過程）（二）初步應(yīng)用例1求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）。問題5：上述兩個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)嗎？預(yù)設(shè)的師生活動：不是。但是由于真數(shù)位置上存在變量，利用換元的思想，我們可將他們換作新變元，因為的取值范圍是，可得：解：（1）因為，即，所以函數(shù)的定義域是。第二問請學(xué)生自行完成：（2）因為，即，所以函數(shù)的定義域是?！驹O(shè)計意圖】首先鞏固學(xué)生對對數(shù)函數(shù)概念的認(rèn)識，之后利用換元的方法，將新問題轉(zhuǎn)化為基本問題，體現(xiàn)代數(shù)問題求解的程序化思想。問題6：你想知道他們的函數(shù)圖象嗎？師生活動：利用圖形計算器展示兩個函數(shù)的圖象。從圖上可以驗證結(jié)論的正確，同時也可以通過觀察圖象了解這些函數(shù)的其他性質(zhì)?！驹O(shè)計意圖】通過圖形計算器的作圖，驗證了求解結(jié)果，同時也激發(fā)了學(xué)生討論上述函數(shù)其他性質(zhì)的興趣，相比較以前教師抽象的講解要形象了很多。例2比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。海?）（2）（3）；（4）【設(shè)計意圖】類比指數(shù)函數(shù)中同類問題的解決辦法，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解題。（1）小題由教師板演，（2）（3）小題請學(xué)生仿照處理，培養(yǎng)學(xué)生類比的學(xué)習(xí)能力，同時滲透分類討論的思想；（4）小題則發(fā)揮圖形計算器的作用，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。預(yù)設(shè)的師生活動：本題是對函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，因此可以類比前面指數(shù)的同類問題解決：解：（1）因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以；（2）（3）由學(xué)生口述完成：（2）因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以；（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，；（4）對于底數(shù)不同、真數(shù)相同的對數(shù)的比較，可以借助函數(shù)圖象操作。請學(xué)生先行思考，之后進行展示。教師可利用圖形計算器在同一坐標(biāo)系中作出以及的圖象以及直線，觀察直線與曲線的交點，通過比較交點的縱坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)。（可能會有學(xué)生考慮到利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解，這時教師應(yīng)對學(xué)生的這種想法給予肯定，同時明確指出：雖然函數(shù)并不是我們所熟悉的函數(shù)，而且目前我們也并不了解其函數(shù)性質(zhì)，但是我們可以利用圖形計算器畫出其函數(shù)圖象來，借助圖象進行求解。）（三）梳理總結(jié)問題7：通過這節(jié)課