2022全國碩士研究生入學考試《數(shù)學2》真題-2

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單選題（共7題，共7分）

1.曲線y＝x2與曲線y＝alnx（a≠0）相切，則a＝（）。

A.4e

B.3e

C.2e

D.e

2.設函數(shù)z＝z（x，y）由方程F（y/x，z/x）＝0確定，其中F為可微函數(shù)，且F2′≠0，則x·（?z/?x）＋y·（?z/?y）＝（）。

A.x

B.z

C.－x

D.－z

3.設y1，y2是一階線性非齊次微分方程y′＋p（x）y＝q（x）的兩個特解，若常數(shù)λ，μ使λy1＋μy2是該方程的解，λy1－μy2是該方程對應的齊次方程的解，則（）。

A.λ＝1/2，μ＝1/2

B.λ＝－1/2，μ＝－1/2

C.λ＝2/3，μ＝1/3

D.λ＝2/3，μ＝2/3

4.設m，n為正整數(shù)，則反常積分的收斂性（）。

A.僅與m取值有關

B.僅與n取值有關

C.與m，n取值都有關

D.與m，n取值都無關

5.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

6.設向量組Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量組Ⅱ：β1，β2，…，βs線性表示，下列命題正確的是（）。

A.若向量組Ⅰ線性無關，則r≤s

B.若向量組Ⅰ線性相關，則r＞s

C.若向量組Ⅱ線性無關，則r≤s

D.若向量組Ⅱ線性相關，則r＞s

7.設A為4階實對稱矩陣，且A2＋A＝O。若A的秩為3，則A相似于（）。

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

填空題（共5題，共5分）

8.曲線的漸近線方程為

9.3階常系數(shù)線性齊次微分方程y?－2y″＋y′－2y＝0的通解y＝

10.函數(shù)y＝ln（1－2x）在x＝0處的n階導數(shù)y（n）（0）＝

11.已知一個長方形的長l以2cm/s的速率增加，寬w以3cm/s的速率增加，則當l＝12cm，w＝5cm時，它的對角線增加的速率為

12.

問答題（共9題，共9分）

13.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.

14.

15.設函數(shù)y＝f（x）由參數(shù)方程

所確定，其中ψ（t）具有2階導數(shù)，且ψ（1）＝5/2，ψ′（1）＝6，已知

求函數(shù)ψ（t）。

16.一個高為l的柱體形貯油罐，底面是長軸為2a，短軸為2b的橢圓?，F(xiàn)將貯油罐平放，當油罐中油面高度為3b/2時，計算油的質(zhì)量。（長度單位為m，質(zhì)量單位為kg，油的密度為常數(shù)ρkg/m3）

17.

18.計算二重積分

其中D＝{（r，θ）∣0≤r≤secθ，0≤θ≤π/4}。

19.設函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)可導，且f（0）＝0，f（1）＝1/3，證明：存在ξ∈（0，1/2），η∈（1/2，1），使得f′（ξ）＋f′（η）＝ξ2＋η2。

20.設

已知線性方程組Ax＝b存在2個不同的解。

（Ⅰ