三角恒等變形專題(含解析)

第講三角恒等變形時間：年月日劉老師學生簽名：興趣導入學前測試1.函數(shù)是A．最小正周期為的奇函數(shù)B.最小正周期為的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù)D.最小正周期為的偶函數(shù)解析因為為奇函數(shù),,所以選A.答案A2.如果函數(shù)的圖像關于點中心對稱，那么的最小值為（）A.B.C.D.解析:函數(shù)的圖像關于點中心對稱由此易得.故選C答案C3..（2009浙江理）已知是實數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是()解析對于振幅大于1時，三角函數(shù)的周期為，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．答案：D方法培養(yǎng)1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：如（1）下列各式中，值為的是A、B、C、D、（答：C）；（2）命題P：，命題Q：，則P是Q的A、充要條件B、充分不必要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件（答：C）；（3）已知，那么的值為____（答：）；（4）的值是______（答：4）；(5)已知，求的值（用a表示）甲求得的結(jié)果是，乙求得的結(jié)果是，對甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的判斷是______（答：甲、乙都對）2.三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關系，通?！扒谢摇保坏谌^察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點?；镜募记捎?（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.如，，，，等），如（1）已知，，那么的值是_____（答：）；（2）已知，且，，求的值（答：）；（3）已知為銳角，，，則與的函數(shù)關系為______（答：）(2)三角函數(shù)名互化(切化弦)，如（1）求值（答：1）；（2）已知，求的值（答：）(3)公式變形使用（。如（1）已知A、B為銳角，且滿足，則＝_____（答：）；(2)設中，，，則此三角形是____三角形（答：等邊）(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升(降冪公式：，與升冪公式：，)。如(1)若，化簡為_____（答：）；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________（答：）(5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同)。如（1）（答：）；（2）求證：；（3）化簡：（答：）(6)常值變換主要指“1”的變換（等），如已知，求（答：）.(7)正余弦“三兄妹—”的內(nèi)存聯(lián)系――“知一求二”，如（1）若，則__（答：)，特別提醒：這里；（2）若，求的值。（答：）；（3）已知，試用表示的值（答：）。3、輔助角公式中輔助角的確定：(其中角所在的象限由a,b的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用。如（1）若方程有實數(shù)解，則的取值范圍是___________.（答：[－2,2]）；（2）當函數(shù)取得最大值時，的值是______(答：)；（3）如果是奇函數(shù)，則= (答：－2)；（4）求值：________(答：32)4、求角的方法：先確定角的范圍，再求出關于此角的某一個三角函數(shù)（要注意選擇，其標準有二：一是此三角函數(shù)在角的范圍內(nèi)具有單調(diào)性；二是根據(jù)條件易求出此三角函數(shù)值）。如（1）若，且、是方程的兩根，則求的值______（答：）；（2）中，，則＝_______（答：）；（3）若且，，求的值（答：）.5、.三角形中的有關公式：(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.☆專題1：兩角和與差的三角函數(shù)〖例1〗．求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.解：原式======變式訓練1：(1)已知∈(,)，sin=,則tan()等于（）A.B.7C.－D.－7(2)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A.－B.C.－D.解：(1)A例2.已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．解：∵α－＋＋β＝α＋β＋α∈()β∈(0,)∴α－∈(0,)β＋∈(,π)∴sin(α－)＝cos()＝－∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)]＝－cos[(α－)＋()]＝變式訓練2：設cos（－）=－，sin（－β）=，且＜＜π，0＜β＜，求cos（+β）.解：∵＜＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.故由cos（－）=－，得sin（α－）=.由sin（－β）=，得cos（－β）=.∴cos=cos［（－）－（－β）］==∴cos（+β）=2cos2－1=-1=－.例3.若sinA=,sinB=,且A,B均為鈍角,求A+B的值.解∵A、B均為鈍角且sinA=,sinB=，∴cosA=-=-=-，cosB=-=-=-，∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=×-×=①又∵＜A＜,＜B＜,∴＜A+B＜2 ②由①②知，A+B=.變式訓練3：在△ABC中，角A、B、C滿足4sin2--cos2B=,求角B的度數(shù).解在△ABC中，A+B+C=180°,由4sin2-cos2B=,得4·-2cos2B+1=,所以4cos2B-4cosB+1=0.于是cosB=,B=60°.例4．化簡sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.解方法一（復角→單角，從“角”入手）原式=sin2·sin2+cos2·cos2-·(2cos2-1)·(2cos2-1)=sin2·sin2+cos2·cos2-(4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1)=sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2-=sin2·sin2+cos2·sin2+cos2-=sin2+cos2-=1-=.方法二（從“名”入手，異名化同名）原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-cos2·cos2=cos2-sin2(cos2-sin2)-cos2·cos2=cos2-sin2·cos2-cos2·cos2=cos2-cos2·=-cos2·=-cos2=.方法三（從“冪”入手，利用降冪公式先降次）原式=·+·-cos2·cos2=(1+cos2·cos2-cos2-cos2)+(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-·cos2·cos2=.方法四（從“形”入手，利用配方法，先對二次項配方）原式=(sin·sin-cos·cos)2+2sin·sin·cos·cos-cos2·cos2=cos2(+)+sin2·sin2-cos2·cos2=cos2(+)-·cos(2+2)=cos2(+)-·［2cos2(+)-1］=.變式訓練4：化簡：（1）sin+cos;(2）.解（1）原式=2=2=2cos=2cos(x-).（2）原式===1.強化練習1．在△ABC中，若cosA＝eq\f(4,5)，cosB＝eq\f(5,13)，則cosC的值是()A.eq\f(16,65) B.eq\f(56,65) C.eq\f(16,65)或eq\f(56,65) D．－eq\f(16,65)[答案]A[解析]在△ABC中，0<A<π，0<B<π，cosA＝eq\f(4,5)，cosB＝eq\f(5,13)，∴sinA＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(12,13)，所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)－eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(16,65)，故選A.2．(2010·煙臺中英文學校質(zhì)檢)sin75°cos30°－sin15°sin150°的值為()A．1 B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)[答案]C[解析]sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).3．(2010·吉林省質(zhì)檢)對于函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx，下列命題中正確的是()A．?x∈R，f(x)<eq\r(2) B．?x∈R，f(x)<eq\r(2)C．?x∈R，f(x)>eq\r(2) D．?x∈R，f(x)>eq\r(2)[答案]B[解析]∵f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤eq\r(2)，∴不存在x∈R使f(x)>eq\r(2)且存在x∈R，使f(x)＝eq\r(2)，故A、C、D均錯．4．(文)(2010·北京東城區(qū))在△ABC中，如果sinA＝eq\r(3)sinC，B＝30°，那么角A等于()A．30° B．45° C．60° D．120°[答案]D[解析]∵△ABC中，B＝30°，∴C＝150°－A，∴sinA＝eq\r(3)sin(150°－A)＝eq\f(\r(3),2)cosA＋eq\f(3,2)sinA，∴tanA＝－eq\r(3)，∴A＝120°.(理)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，α、β均為銳角，則β等于()A.eq\f(5π,12) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)[答案]C[解析]∵α、β均為銳角，∴－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)，∴cos(α－β)＝eq\r(1－sin2α－β)＝eq\f(3\r(10),10)，∴sinα＝eq\f(\r(5),5)，∴cosα＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2)＝eq\f(2\r(5),5).∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝eq\f(\r(2),2).∵0<β<eq\f(π,2)，∴β＝eq\f(π,4)，故選C.5．(文)(2010·廣東惠州一中)函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))＋sin2x的最小正周期是()A.eq\f(π,2) B．π C．2π D．4π[答案]B[解析]y＝eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(1,2)sin2x＋sin2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴周期T＝π.(理)函數(shù)f(x)＝(3sinx－4cosx)·cosx的最大值為()A．5 B.eq\f(9,2) C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,2)[答案]C[解析]f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx＝3sinxcosx－4cos2x＝eq\f(3,2)sin2x－2cos2x－2＝eq\f(5,2)sin(2x－θ)－2，其中tanθ＝eq\f(4,3)，所以f(x)的最大值是eq\f(5,2)－2＝eq\f(1,2).故選C.五、訓練輔導〖例6〗．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－2cos2x.(1)求函數(shù)f(x)的值域及最小正周期；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間．[解析](1)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x－(cos2x＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2x－\f(1,2)cos2x))－1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－1.由－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))≤1得，－3≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－1≤1.可知函數(shù)f(x)的值域為[－3,1]．且函數(shù)f(x)的最小正周期為π.(2)由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)解得，kπ－eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．所以y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ－eq\f(π,6)，kπ＋eq\f(π,3)](k∈Z)．六、家庭作業(yè)布置：家長簽字：_________________（請您先檢查確認孩子的作業(yè)完成后再簽字）附件：堂堂清落地訓練（堅持堂堂清，學習很爽心）1．(文)(2010·河南許昌調(diào)研)已知sinβ＝eq\f(3,5)(eq\f(π,2)<β<π)，且sin(α＋β)＝cosα，則tan(α＋β)＝()A．1 B．2 C．－2 D.eq\f(8,25)[答案]C[解析]∵sinβ＝eq\f(3,5)，eq\f(π,2)<β<π，∴cosβ＝－eq\f(4,5)，∴sin(α＋β)＝cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－eq\f(4,5)cos(α＋β)＋eq\f(3,5)sin(α＋β)，∴eq\f(2,5)sin(α＋β)＝－eq\f(4,5)cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.2(理)(2010·杭州模擬)已知sinx－siny＝－eq\f(2,3)，cosx－cosy＝eq\f(2,3)，且x，y為銳角，則tan(x－y)＝()A.eq\f(2\r(14),5) B．－eq\f(2\r(14),5)C．±eq\f(2\r(14),5) D．±eq\f(5\r(14),28)[答案]B[解析]兩式平方相加得：cos(x－y)＝eq\f(5,9)，∵x、y為銳角，sinx－siny<0，∴x<y，∴sin(x－y)＝－eq\r(1－cos2x－y)＝－eq\f(2\r(14),9)，∴tan(x－y)＝eq\f(sinx－y,cosx－y)＝－eq\f(2\r(14),5).3．已知α、β均為銳角，且tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)，則tan(α＋β)的值為()A．－1 B．1 C.eq\r(3) D．不存在[答案]B[解析]tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，∵eq\f(π,4)－α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))且y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是單調(diào)增函數(shù)，∴β＝eq\f(π,4)－α，∴α＋β＝eq\f(π,4)，∴tan(α＋β)＝taneq\f(π,4)＝1.4．(2010·全國新課標理，9)若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，則eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2) C．2 D．－2[答案]A[解析]∵cosα＝－eq\f(4,5)且α是第三象限的角，∴sinα＝－eq\f(3,5)，∴eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq\f(\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)),\f(cos\f(α,2)－sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)－sin\f(α,2))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2))))＝eq\f(1＋sinα,cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2