哈密頓力學(xué)課件

Lagrange力學(xué)不能體現(xiàn)坐標、速度在因果律上的獨立性。在位形空間描述運動，方程二階，同一點可能代表體系的不同狀態(tài)（速度不同），導(dǎo)致運動軌道不同。1835年，Hamilton發(fā)表兩篇著名論文，將Lagrange方程化為更對稱的一階方程組，創(chuàng)立了Hamilton動力學(xué)，為量子力學(xué)、統(tǒng)計物理、量子場論奠定理論基礎(chǔ)。正則方程泛函與變分力學(xué)變分原理拉格朗日乘子法泊松括號正則變換哈密頓－雅可比方程第1頁/共57頁§3.1

正則方程找到新的特征函數(shù)，通過對q,p的偏導(dǎo)生成力學(xué)方程。

力學(xué)狀態(tài)參量變換第2頁/共57頁1．Legendre變換Legendre變換第3頁/共57頁2．Hamilton正則方程第4頁/共57頁Hamilton函數(shù)Hamilton正則方程以正則變量表示的能量相空間（相宇）由正則變量張成的2s

維空間相點相宇中的點，代表體系的力學(xué)狀態(tài)。相軌道相點在相空間運動而描出的軌道，反映體系狀態(tài)演化。正則方程決定相點速度（狀態(tài)時變率）正則變量第5頁/共57頁例1一維諧振子第6頁/共57頁例2電磁場中的荷電粒子的Hamilton函數(shù)3．守恒定律Hamilton力學(xué)中，體系對稱性表現(xiàn)為H的變換不變性。第7頁/共57頁例3重力場中的自由質(zhì)點柱坐標等效為勢場V'中的二維運動系統(tǒng)V'中離心勢能來自三維運動系統(tǒng)可遺坐標的共軛動量效應(yīng)第8頁/共57頁Hertz力學(xué)幾何化思想：勢能視為增自由度系統(tǒng)動能項中可遺坐標的共軛動量效應(yīng)，增自由度位形空間的幾何性質(zhì)由勢能形式與約束方程決定，一般為彎曲空間；體系成為無勢系統(tǒng)，在增維空間作慣性運動（沿短程線運動）。與廣義相對論思想異曲同工Hamilton動力學(xué)中，與可遺坐標對應(yīng)的自由度自動分離出來，使待解自由度減少。第9頁/共57頁第10頁/共57頁4．正則方程的矩陣形式正則方程矩陣形式或辛（sympletic）形式第11頁/共57頁§3.2

泛函與變分1．泛函質(zhì)點沿鉛直平面內(nèi)光滑軌道零初速自A滑至B的用時依賴于函數(shù)關(guān)系泛函依賴于函數(shù)關(guān)系的變量，即函數(shù)之函數(shù)常見泛函形式第12頁/共57頁2．變分自變函數(shù)變分：自變函數(shù)發(fā)生無限小變動后的新函數(shù)與原函數(shù)之差自變函數(shù)導(dǎo)函數(shù)變分可微對任意函數(shù)f第13頁/共57頁變分其中一級變動泛函變分第14頁/共57頁3．泛函極值問題（變分問題）求自變函數(shù)，使泛函取極值捷線問題（1696，J.Bernoulli）：給定兩端點，求用時最小的光滑軌道。邊界條件有限差分法等分第15頁/共57頁極值條件離散指標→連續(xù)參數(shù)數(shù)列→函數(shù)差分→微分求和→積分多元函數(shù)→泛函函數(shù)微分→泛函變分第16頁/共57頁泛函駐值條件4．Euler方程任意Euler方程第17頁/共57頁例4捷線旋輪線由邊界條件決定第18頁/共57頁例5球面短程線（測地線）第19頁/共57頁OAB平面法向單位矢，余緯度與經(jīng)度短程線為OAB平面與球面交線，即大圓。第20頁/共57頁5．多元泛函極值問題固定邊界條件第21頁/共57頁§3.3

力學(xué)變分原理力學(xué)原理Newton定律直接寫出運動方程D'Alambert原理Hamilton原理變分原理質(zhì)點系實際運動t時刻實際運動所達位形處的虛位移，即由約束限定的位矢等時變分虛擬運動變分原理指出實際運動與近鄰虛擬運動相比所具有的極值性。第22頁/共57頁1．Hamilton原理有勢系D'Alambert原理積分形式第23頁/共57頁有勢系D'Alambert原理積分形式固定邊界條件有勢系Hamilton作用量與始末時間和位形均相同的虛擬運動相比，有勢系實際運動使作用量取駐值。Hamilton原理一般體系的Hamilton原理第24頁/共57頁Hamilton原理積分變分原理D'Alambert原理微分變分原理2．位形空間與Lagrange方程變分原理特點：(1)不涉及具體坐標選取，形式統(tǒng)一；(2)作用量是標量，形式簡單，高度概括；(3)易于推廣至無限自由度體系（場）和非力學(xué)體系。完整系實際運動虛擬運動固定邊界條件有勢系第25頁/共57頁L的規(guī)范不定性定域規(guī)范（gauge）變換規(guī)范變換下體系運動規(guī)律不變，此即體系的規(guī)范不變性。L的不定性來自勢的規(guī)范不定性推廣經(jīng)典Lagrange關(guān)系第26頁/共57頁與坐標共軛的動量、與時間共軛的能量均具有不定性，取決于Lagrange函數(shù)的規(guī)范選擇。規(guī)范變換下體系力場不變，故運動方程不變。第27頁/共57頁電磁場規(guī)范變換不同規(guī)范描述同一電磁場，粒子運動方程不變。例6電磁場的規(guī)范變換荷電粒子第28頁/共57頁一般完整系Hamilton原理思考題：由以上原理，導(dǎo)出Lagrange方程。3．相空間與Hamilton方程第29頁/共57頁獨立變分動量由坐標定義，其變分不獨立。Hamilton方程一半是動量定義，另一半是運動方程。第30頁/共57頁與坐標共軛的動量具有規(guī)范不定性實際運動虛擬運動坐標與動量視為地位平等、完全獨立的正則變量相空間（2s維）Hamilton原理第31頁/共57頁Hamilton原理視為相空間力學(xué)變分原理，Hamilton方程全體均為運動方程。坐標與動量在滿足相空間Hamilton原理的前提下可以獨立變換，擴大了變換自由度。4．位形時空與推廣的Lagrange方程參數(shù)變換第32頁/共57頁實際運動虛擬運動以上討論限于位形空間，僅將參數(shù)t通過確定的對應(yīng)關(guān)系變換成新參數(shù)

。第33頁/共57頁實際運動虛擬運動位形時空：

為參數(shù)，t視為變量位形時空（s+1

維）Hamilton原理第34頁/共57頁5．其他形式的力學(xué)變分原理不附加邊界條件，為得到Lagrange方程，力學(xué)變分原理一般為或若實際運動與虛擬運動同時同位形出發(fā)且同時同位形到達：位形時空（s+1

維）Hamilton原理位形空間（s維）Hamilton原理第35頁/共57頁可比較具有相同能量、相同始末位形的實際運動與虛擬運動，變分為等能變分。等能條件限制了位形軌道每一點的速度，使實際運動與虛擬運動不能同時出發(fā)與到達。若實際運動與虛擬運動同位形出發(fā)且同位形到達，但出發(fā)、到達時間不同：若體系時間平移對稱Lagrange作用量位形時空Lagrange原理注意：第36頁/共57頁位形空間，消去參數(shù)位形空間Lagrange原理位形空間與位形時空參數(shù)不同，變分規(guī)則不同，故引入全變分（非等時變分）記號

，以示區(qū)別。位形時空位形空間最后一步略去高級小量第37頁/共57頁位形時空等

變分對應(yīng)位形空間非等t

變分對任意函數(shù)第38頁/共57頁例由位形空間Lagrange原理導(dǎo)出Lagrange方程第39頁/共57頁第40頁/共57頁Lagrange原理的Maupertuis形式若定義位形空間的線元（單質(zhì)點運動空間線元的推廣）體系位形代表點沿位形軌道運動的速度，沿軌道切向注意：第41頁/共57頁Lagrange原理的Jacobi形式此原理不涉及時間，由此可從各虛擬軌道中選出實際軌道。幾何光學(xué)中有類似形式的Fermat原理類比啟示：單質(zhì)點運動軌跡相當于折射率連續(xù)變化介質(zhì)中的光線。既然幾何光學(xué)是波動光學(xué)的短波長極限，經(jīng)典力學(xué)完全有可能是某種波動力學(xué)（即后來建立的量子力學(xué)）的短波長極限。R.Feynman發(fā)展了路徑積分量子化理論，在短波長極限下，物質(zhì)波沿各可能路徑的傳播疊加得到由Hamilton原理決定的經(jīng)典運動軌道。第42頁/共57頁§3.4

拉格朗日乘子法對完整約束系統(tǒng)，運動方程不含約束力：對不需求解約束力的問題，可直接求解運動；如何求解約束力？約束條件多元函數(shù)多元函數(shù)在約束條件下的極值問題1．Lagrange乘子法方法一：利用約束條件消去不獨立變量，將函數(shù)用獨立變量表示后求極值。第43頁/共57頁方法二：引入不定乘子Lagrange乘子法第44頁/共57頁2．Lagrange乘子法求全部約束力理想完整有勢體系第45頁/共57頁第j約束施于第i質(zhì)點的力方向決定于大小正比于約束力勢第46頁/共57頁一般理想完整體系第47頁/共57頁3．Lagrange乘子法求部分約束力求l個約束的約束力除去約束中的前l(fā)個，根據(jù)后k

l個選擇廣義坐標。第48頁/共57頁第j約束力的第

個廣義力分量約束力勢第49頁/共57頁根據(jù)全部約束選擇廣義坐標，回到原Lagrange方程：第50頁/共57頁例7質(zhì)點m從半徑R

的光滑半球面頂端零初速滑下。求脫離球面時的位置。未解時的約束約束力可解約束解除條件除去約束，廣義坐標第51頁/共57頁