線性代數(shù)行列式課件

第一章行列式

牛牛文庫文檔分享1行列式的定義與性質(zhì)行列式展開定理克萊姆法則1.1行列式的定義與性質(zhì)

牛牛文庫文檔分享21.1.1二階、三階行列式一、二階行列式用消元法解二元線性方程組方程組的解為由方程組的四個系數(shù)確定.

牛牛文庫文檔分享3由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表定義即

牛牛文庫文檔分享4對角線法則1.二階行列式的計算主對角線副對角線對于二元線性方程組若記系數(shù)行列式

牛牛文庫文檔分享5當(dāng)時，則二元線性方程組的解為

牛牛文庫文檔分享6

牛牛文庫文檔分享7例1解

牛牛文庫文檔分享8二、三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.

牛牛文庫文檔分享91.三階行列式的計算(1)沙路法.列標(biāo)行標(biāo)主對角線副對角線

牛牛文庫文檔分享10(2)對角線法則說明1

對角線法則只適用于二階與三階行列式．說明2

三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負(fù).

牛牛文庫文檔分享11例2解按對角線法則，有

牛牛文庫文檔分享121.1.2全排列及其逆序數(shù)引例 用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解13百位3種放法十位1

21

2

321

3個位1

232種放法1種放法種放法.共有

牛牛文庫文檔分享13定義1

把個不同的元素排成一列，叫做這

個元素的全排列（或排列）.個不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用 表示.由引例同理

牛牛文庫文檔分享14一、全排列問題二、排列的逆序數(shù)我們規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序,

n

個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.定義2

在一個排列 中，若個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同即數(shù)則稱這兩個數(shù)組成一個逆序.例如排列32514中，逆序3

2

5

1

4逆序 逆序

牛牛文庫文檔分享15定義3

一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).例如 排列32514 中，3

2

5

1

41

逆序數(shù)為3故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.

牛牛文庫文檔分享16逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.

牛牛文庫文檔分享171.排列的奇偶性于是排列32514的逆序數(shù)為求排列32514的逆序數(shù)3

2

5

1

4

牛牛文庫文檔分享18例1.2.計算排列逆序數(shù)的方法分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)的個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).例2 計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.解此排列為偶排列.

牛牛文庫文檔分享19解時為偶排列；當(dāng)當(dāng)時為奇排列.

牛牛文庫文檔分享20解當(dāng) 為偶數(shù)時，排列為偶排列，當(dāng) 為奇數(shù)時，排列為奇排列.

牛牛文庫文檔分享21一、對換的定義定義在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換．將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換．例如1.1.3對換

牛牛文庫文檔分享22二、對換與排列的奇偶性的關(guān)系定理1

一個排列中的任意兩個元素對換，排列設(shè)排列為對換

與除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變.當(dāng)

時，的逆序數(shù)不變;經(jīng)對換后 的逆序數(shù)增加1

,當(dāng) 時，經(jīng)對換后 的逆序數(shù)不變，的逆序數(shù)減少1.改變奇偶性．證明（1）相鄰對換

牛牛文庫文檔分享23次相鄰對換次相鄰對換次相鄰對換所以一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性.因此對換相鄰兩個元素，排列改變奇偶性.(2)設(shè)排列為

牛牛文庫文檔分享24推論

牛牛文庫文檔分享25奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù).一、概念的引入1.1.4

n階行列式三階行列式展開式中的一般項可以寫成行標(biāo)排成標(biāo)準(zhǔn)次序123列標(biāo) 是1，2，3的某個排列

牛牛文庫文檔分享26例如:列標(biāo)排列的逆序數(shù)為偶排列列標(biāo)排列的逆序數(shù)為奇排列

牛牛文庫文檔分享27二、n階行列式的定義定義1

牛牛文庫文檔分享28例1 計算一階行列式|a|

牛牛文庫文檔分享29說明1、行列式是一種特定的算式;2、 階行列式的每項都是位于不同行、不同列 個元素的乘積;3、 階行列式是 項的代數(shù)和;4、 一階行列式 不要與絕對值記號相混淆;5、 的符號為

牛牛文庫文檔分享30對于D中任意一項用乘法的交換律可以換成由定理1的推論定義2

階行列式也可定義為其中s為行標(biāo)排列的逆序數(shù).

牛牛文庫文檔分享31例2 計算對角行列式解 分析展開式中項的一般形式是所以 只能等于

,從而 不為零，同理可得即行列式中不為零的項為

牛牛文庫文檔分享32所以不為零的項只有解 分析展開式中項的一般形式是例3計算上三角行列式

牛牛文庫文檔分享33例4

牛牛文庫文檔分享34同理可得下三角行列式

牛牛文庫文檔分享35例5 證明對角行列式

牛牛文庫文檔分享36證明第一式是顯然的,下面證第二式.若記則依行列式定義

牛牛文庫文檔分享37例6已知解含 的項有兩項,即對應(yīng)于

牛牛文庫文檔分享381.1.5行列式的性質(zhì)記行列式 稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式.例如：

牛牛文庫文檔分享39證明按定義性質(zhì)1.1

牛牛文庫文檔分享40行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.說明

行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.性質(zhì)1.2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.證明

設(shè)行列式

牛牛文庫文檔分享41于是則有當(dāng)時,當(dāng)時,

牛牛文庫文檔分享42推論

如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有故例如

牛牛文庫文檔分享43性質(zhì)1.3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù) ，等于用數(shù) 乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．

牛牛文庫文檔分享44問題：如果行列式的所有行（或列）中所有元素的共同公因子k提到行列式符號的外面，會如何？如果行列式的所有行（或列）中所有元素都乘以數(shù)k得到的行列式與原行列式的關(guān)系如何？

牛牛文庫文檔分享45性質(zhì)1.４

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明

牛牛文庫文檔分享46性質(zhì)1.5若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個行列式之和：

牛牛文庫文檔分享47性質(zhì)1.6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如

牛牛文庫文檔分享48計算行列式常用方法：利用運(yùn)算 把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．例１

牛牛文庫文檔分享49例2 計算階行列式解將第列都加到第一列得

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牛牛文庫文檔分享51例3證明

牛牛文庫文檔分享52證明

牛牛文庫文檔分享53

牛牛文庫文檔分享541.2行列式展開定理與克萊姆法則1.2.1行列式展開定理一、余子式與代數(shù)余子式在 階行列式中，把元素 所在的第 行和第列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素 的代數(shù)余子式．例1

牛牛文庫文檔分享55

牛牛文庫文檔分享56例2

牛牛文庫文檔分享57階行列式，如果其中第 行所有引理

一個元素除 外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即

．例如

牛牛文庫文檔分享58二、行列式的展開定理證明

(1)當(dāng)位于第一行第一列時,

牛牛文庫文檔分享59(2)一般情形,

牛牛文庫文檔分享60

牛牛文庫文檔分享61

牛牛文庫文檔分享62定理３

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即證明

牛牛文庫文檔分享63

牛牛文庫文檔分享64例1

牛牛文庫文檔分享65

牛牛文庫文檔分享66證用數(shù)學(xué)歸納法例2

證明范德蒙德(

Vandermonde

)行列式

牛牛文庫文檔分享67

牛牛文庫文檔分享68

牛牛文庫文檔分享69n-1階范德蒙德行列式

牛牛文庫文檔分享70推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證

牛牛文庫文檔分享71同理相同

牛牛文庫文檔分享72關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)

牛牛文庫文檔分享73例３ 計算行列式解 按第一行展開，得

牛牛文庫文檔分享74例４ 計算行列式

牛牛文庫文檔分享75解

牛牛文庫文檔分享76例5求第一行各元素的代數(shù)余子式之和解 第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成

牛牛文庫文檔分享77設(shè)線性方程組則稱此方程組為非齊次線性方程組;此時稱方程組為齊次線性方程組.

牛牛文庫文檔分享781.2.2克萊姆法則一、非齊次與齊次線性方程組的概念二、克拉姆法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為

牛牛文庫文檔分享79中第 列的元素用方程組右端其中 是把系數(shù)行列式的常數(shù)項代替后所得到的階行列式，即

牛牛文庫文檔分享80證明在把 個方程依次相加，得

牛牛文庫文檔分享81由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,于是當(dāng)時,方程組有唯一的一個解

牛牛文庫文檔分享82由于方程組與方程組等價,

故也是方程組的 解.

牛牛文庫文檔分享83例1

用克拉默則解方程組解

牛牛文庫文檔分享84

牛牛文庫文檔分享85

牛牛文庫文檔分享86定理4

如果線性方程組 的系數(shù)行列式則 一定有解,且解是唯一的

.定理5

如果線性方程組 無解或有兩個不