2022年新高考地區(qū)數(shù)學(xué)選擇題填空壓軸題匯編十二含解析

Page532022年新高考數(shù)學(xué)名校地市選填壓軸題好題匯編（十二）一、單選題1．（2022·河南·溫縣第一高級中學(xué)高二開學(xué)考試（文））已知拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為，點在上，直線交軸于點，若，則點到準(zhǔn)線的距離為（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】【分析】過點作軸的垂線，垂足為，進(jìn)而根據(jù)得，再結(jié)合拋物線定義即可得答案.【詳解】解：如圖，過點作軸的垂線，垂足為，由題知，即因為，所以所以，所以點到準(zhǔn)線的距離為.故選：B2．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）已知數(shù)列，，其中為最接近的整數(shù)，若的前m項和為10，則（）A．15 B．20 C．30 D．40【答案】C【解析】【分析】由題意，為最接近的整數(shù)，得到中有2個1，4個2，6個3，8個4，，進(jìn)而得到，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意知，函數(shù)為最接近的整數(shù)，且，，，，由此，在最接近的整數(shù)中，有2個1，4個2，6個3，8個4，，又滿足，得：，則，因為的前項和為10，即，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列的前5項和，則.故選：C.3．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若，，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】令，根據(jù)因為，得到，得出函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，由題設(shè)條件，令，求得，把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.【詳解】令，可得，因為，可得，所以，所以函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，由不等式，可得，所以，即因為，令，可得，又因為，可得，所以所以不等式等價于，由函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即不等式的解集為.故選：A.4．（2022·山東·煙臺二中高三期末）根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，從拋物線的焦點發(fā)出的光線經(jīng)該拋物線反射后與對稱軸平行，一條平行于對稱軸的光線經(jīng)該拋物線反射后會經(jīng)過拋物線的焦點.如圖所示，從沿直線發(fā)出的光線經(jīng)拋物線兩次反射后，回到光源接收器，則該光線經(jīng)過的路程為（）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解析】【分析】設(shè)出B、C坐標(biāo)，由坐標(biāo)和焦點弦公式表示出三條線段直接可得.【詳解】設(shè)，，所以，，，所以該光線經(jīng)過的路程為12.故選：B5．（2022·山東菏澤·高三期末）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作，，點，點，過其“歐拉線”上一點Р作圓O：的兩條切線，切點分別為M，N，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求中垂線方程，結(jié)合點線距離判斷“歐拉線”與圓O的位置關(guān)系并求出圓心到直線的距離，由幾何關(guān)系判斷的最小時的位置，進(jìn)而求的最小值.【詳解】由題設(shè)，中點為，“歐拉線”斜率為，所以“歐拉線”方程為，即，又到的距離為，即“歐拉線”與圓O相離，要使的最小，則在△與△中最小，即最大，而僅當(dāng)“歐拉線”時最大，所以，則，且圓O半徑，，所以，即.故選：B6．（2022·山東菏澤·高三期末）設(shè)函數(shù)，的定義域分別為F，G，且.若對任意的，都有，則稱為在G上的一個“延拓函數(shù)”.已知函數(shù)，若為在上的一個延拓函數(shù)，且是偶函數(shù)，則函數(shù)的解析式是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)定義利用函數(shù)的定義域和奇偶性，以及當(dāng)時，是否滿足條件，進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：是偶函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱對于選項A：是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則不滿足條件，A錯誤；對于選項B：當(dāng)時，無意義，則定義域不滿足條件，B錯誤；對于選項C：是偶函數(shù)，當(dāng)時，，滿足條件，C正確；對于選項D：當(dāng)時，無意義，則定義域不滿足條件，D錯誤；故選：C7．（2022·湖南郴州·高三期末）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號.設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).已知數(shù)列滿足，且，若數(shù)列的前n項和為，則（）A．4950 B．4953 C．4956 D．4959【答案】C【解析】【分析】由題利用累加法可得，進(jìn)而可得，分類討論的取值，即求.【詳解】由，可得，根據(jù)累加法可得所以，故，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此.故選：C.8．（2022·湖南郴州·高三期末）雙曲線，左右焦點分別為，過作垂直于軸的直線交雙曲線于兩點，的內(nèi)切圓圓心為，的內(nèi)切圓圓心為，則四邊形的面積是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由題意，得，根據(jù)雙曲線方程，可得，從而可表示出，設(shè)圓的半徑為，利用等面積法計算出，從而代入公式求解面積.【詳解】如圖，因為圓，分別為與的內(nèi)切圓，軸，所以，由題意，，所以，由通徑可得，再由雙曲線的定義可知，設(shè)圓，圓的半徑為，由等面積法可得，即，得，所以，故四邊形的面積為.故選：C【點睛】關(guān)于三角形內(nèi)切圓的半徑的計算通常采用等面積法，計算出三角形的周長，底邊長與高，再利用面積相等列式計算.9．（2022·廣東湛江·高三階段練習(xí)）已知角滿足，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由題意可得，分兩種情況推出，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】由，且可知①或②由解得，由有知不可能，得.故選：D10．（2022·廣東湛江·高三階段練習(xí)）已知，，且，則（）A． B． C． D．，大小關(guān)系無法確定【答案】C【解析】【分析】將已知化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，即可得出結(jié)論.【詳解】易知，設(shè)，則，設(shè)，則，所以單調(diào)遞減，所以，即，單調(diào)遞減，因為，所以.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性.11．（2022·廣東揭陽·高三期末）已知過拋物線的焦點的直線交于兩點（點在點的右邊），為原點.若的重心的橫坐標(biāo)為10，則的值為（）A．144 B．72 C．60 D．48【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程求出拋物線的焦點為，再利用三角形的重心公式可得點的橫坐標(biāo)所滿足的關(guān)系，結(jié)合焦點弦長與點的坐標(biāo)關(guān)系，即可求得的值.【詳解】因為拋物線，所以拋物線的焦點為，設(shè)點的坐標(biāo)分別為，因為若的重心的橫坐標(biāo)為10，所以，可得.又直線過拋物線的焦點，根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，得.故選：D.12．（2022·廣東揭陽·高三期末）已知函數(shù)，過點可作兩條直線與函數(shù)相切，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．的最大值為2 D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、韋達(dá)定理，結(jié)合特殊值法即可求解.【詳解】設(shè)切點為，又，則切線的斜率又，即有，整理得，由于過點可作兩條直線與函數(shù)相切所以關(guān)于的方程有兩個不同的正根，設(shè)為，則，得，，故B正確，A錯誤，對于C，取，則，所以的最大值不可能為2，故C錯誤，對于D，取，則，故D錯誤.故選：B.13．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型，過點A作一個平面分別交于點E，F(xiàn)，G，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】以AC、BD交點O為坐標(biāo)原點，射線OA、OB、OP為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，(a、b>0)，進(jìn)而寫出、、、坐標(biāo)，可得，，由四點共面有，設(shè)，求值即可得答案.【詳解】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，(a、b>0)，則，，，，∴，，由題意四點共面，則有，其中，設(shè)，∴由方程組，即，解得，所以，故選：C.14．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）已知雙曲線C的離心率為是C的兩個焦點，P為C上一點，，若的面積為，則雙曲線C的實軸長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，在中，運用余弦定理，并結(jié)合和的面積建立方程，解出方程即可【詳解】根據(jù)雙曲線的定義，可得：又：解得：，雙曲線C的離心率為，則有：在中，由余弦定理，可得：則有：的面積為，可得：解得：故雙曲線C的實軸長為：2故選：B15．（2022·廣東潮州·高三期末）、分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與的左、右兩支曲線分別交于、兩點，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理結(jié)合雙曲線的定義可求得，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】在雙曲線中，，，，則、，因為直線過點，由圖可知，直線的斜率存在且不為零，，則為直角三角形，可得，由雙曲線的定義可得，所以，，可得，聯(lián)立，解得，因此，.故選：C.【點睛】方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標(biāo)運算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用．16．（2022·湖南常德·高三期末）若函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A． B．C．（0，2） D．【答案】D【解析】【分析】令，則由已知可得在上單調(diào)遞增，而，從而將原不等式轉(zhuǎn)化為，得，再利用為奇函數(shù)討論的情況，進(jìn)而可求得解集【詳解】令，則，因為，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，因為為定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以，所以不等式轉(zhuǎn)化為，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時，，因為為定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時，不滿足，綜上，不等式的解集為故選：D17．（2022·湖南常德·高三期末）已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，O為坐標(biāo)原點，P為雙曲線右支上且位于第一象限內(nèi)的一點，直線PO交雙曲線C的左支于點A，直線交雙曲線C的右支于另一點B，，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義以及對稱性可推得以及四邊形時平行四邊形，進(jìn)而在中利用余弦定理可得到a,c之間的關(guān)系式，求得答案.【詳解】由雙曲線定義可知：，而，故，由雙曲線的對稱性可知，而,故四邊形為平行四邊形，故由得:,在中，，即，即，則，故選：B.二、多選題18．（2021·重慶市實驗中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】【分析】對AB，推導(dǎo)出數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列再判斷即可；對C，根據(jù)，分組求即可；對D，根據(jù)，求得再判斷即可【詳解】因為，所以，從而得到，所以數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，所以，所以A正確，B錯誤；因為所以；所以C正確：又因為，因為m的值不確定，所以與的大小不確定，所以D錯誤.故選BD.19．（2021·廣東茂名·高三階段練習(xí)）如圖所示的幾何體中，底面是邊長為2的正方形，為矩形，平面平面，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．異面直線與所成的角為C． D．三棱錐的體積為4【答案】AC【解析】【分析】利用直線與平面垂直的判斷定理證明，判斷；求出異面直線與所成的角判斷；通過求解三角形判斷；求解四棱錐的體積判斷．【詳解】因為為正方形，所以點O為的中點，又平面平面，為矩形，所以平面，平面，所以，所以，所以A正確；因為為正方形，所以，因為平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，從而異面直線與所成的角為，所以B錯誤；在中，，所以，所以C正確；三棱錐的體積，所以D錯誤.故選AC.20．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）已知點，若過點的直線交圓：于，兩點，是圓上一動點，則（）A．的最小值為 B．到的距離的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由圓的性質(zhì)可得當(dāng)直線與軸垂直時，有最小值，從而可求出其最小值；對于B，當(dāng)直線與垂直時，到的距離有最大值；對于C，設(shè)，從而可得，進(jìn)而可求出其最小值；對于D，當(dāng)，，三點共線時，最大【詳解】如圖，當(dāng)直線與軸垂直時，有最小值，且最小值為，所以A正確；設(shè)，則，所以，所以的最小值為，所以C錯誤；當(dāng)，，三點共線時，最大，且最大值為，所以D正確；當(dāng)直線與垂直時，到的距離有最大值，且最大值為，所以B正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與圓，考查運算求解能力，解題的關(guān)鍵是由題意畫出圖形，結(jié)合圖形求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題21．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）已知三棱錐的所有棱長都為2，且球O為三棱錐的外接球，點M是線段BD上靠近D點的四等分點，過點M作平面截球O得到的截面面積為S，則S的可能取值為（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】求出三棱錐的外接球半徑，可知截面面積的最大值為，當(dāng)球心到截面的距離最大時，截面面積最小，此時球心到截面的距離為，截面圓的半徑的最小值為，進(jìn)而可求出截面面積的最小值，然后可得答案【詳解】因為三棱錐是正四面體，棱長為2，所以將其放置于正方體中，可得正方體的外接球就是三棱錐的外接球，因為三棱錐的棱長為2，所以正方體的棱長為，可得外接球直徑為，所以，所以截面面積的最大值為，因為點M是線段BD上的點，所以當(dāng)球心到截面的距離最大時，截面面積最小，此時球心到截面的距離為，為等腰三角形，過點作的垂線，垂足為，由，得，所以，則所得截面半徑的最小值為，所以截面面積的最小值為，所以截面面積的范圍為故選：BC22．（2022·山東·煙臺二中高三期末）對于正整數(shù)是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目.函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如，則（）A．B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增D．?dāng)?shù)列的前項和恒小于4【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義結(jié)合對數(shù)的運算判斷A，由歐拉函數(shù)定義結(jié)合等比數(shù)的通項公式判斷B，根據(jù)歐拉函數(shù)求出判斷C，由歐拉函數(shù)求出，再由數(shù)列的錯位相減法求和可判斷D.【詳解】因為7為質(zhì)數(shù)，所以與不互質(zhì)的數(shù)為7，14，21，…，，共有個，所以，故A正確；因為與互質(zhì)的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共有個，所以，則數(shù)列為等比數(shù)列，故B正確；因為，，，所以數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，故C錯誤；因為，所以.設(shè)，則，所以，所以，從而數(shù)列的前項和為，故D正確.故選：ABD23．（2022·山東菏澤·高三期末）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則下列關(guān)系中可能成立的有（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近的函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值的定義，對進(jìn)行分類討論，得到，的所滿足的關(guān)系，即可得到答案．【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，，則或，函數(shù)單調(diào)，無極值點，不符合題意，故，∴有和兩個不同的零點，且在左右是不變號，在左右是變號的，由題意可知，為函數(shù)的極大值點，則左右附近都是小于零的，當(dāng)，即時，由，可得，則，，∴，當(dāng)，即時，由時，，則，，∴，故選：BC．24．（2022·山東菏澤·高三期末）函數(shù)的圖象類似于漢字“囧”字，被稱為“囧函數(shù)”，并把其與y軸的交點關(guān)于原點的對稱點稱為“囧點”，以“囧點”為圓心，凡是與“囧函數(shù)”有公共點的圓，皆稱之為“囧圓”，則當(dāng)，時，下列結(jié)論正確的是()A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．當(dāng)時，的最大值為－1C．函數(shù)的“囧點”與函數(shù)圖象上的點的最短距離為D．函數(shù)的所有“囧圓”中，面積的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】A．根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，進(jìn)行判斷即可．B．判斷當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)性即可．C．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解．D．利用兩點間的距離公式進(jìn)行判斷求解．【詳解】當(dāng)，時，函數(shù).A．f(x)的定義域為，，且為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對稱，故A錯誤；B．其圖象如圖所示，當(dāng)，為減函數(shù)，則當(dāng)時，最大為，故B正確；C．當(dāng)時，，即函數(shù)圖象與軸的交點為，其關(guān)于原點的對稱點為，所以“囧點”為，設(shè)，則，設(shè)切點為，，切線的斜率，當(dāng)“囧點”與切點的連線垂直切線時，距離最短，，解得，切點坐標(biāo)為，故函數(shù)的“囧點”與函數(shù)圖象上的點的最短距離是，故C正確，D．“囧圓”的圓心為．要求“囧圓”的面積最小，則只需考慮軸及軸右側(cè)的函數(shù)圖象．當(dāng)圓過點時，其半徑為2，這是和軸下方的函數(shù)圖象有公共點的所有“囧圓”中半徑的最小值；當(dāng)圓和軸上方且軸右側(cè)的函數(shù)圖象有公共點時，設(shè)（其中，則點到圓心的距離的平方為，令，，則，再令，（其中，則，所以當(dāng)圓和軸上方且軸右側(cè)的函數(shù)圖象有公共點時，最小半徑為．又，綜上可知，在所有的“囧圓”中，半徑的最小值為．故所有的“囧圓”中，圓的面積的最小值為，故D正確，故選：BCD．【點睛】本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，其中根據(jù)“囧圓”的圓心坐標(biāo)及“囧函數(shù)”的解析式，利用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．25．（2022·湖南郴州·高三期末）雙曲函數(shù)在實際生活中有著非常重要的應(yīng)用，比如懸鏈橋．在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基礎(chǔ)的是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)．下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．若與雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)共有三個交點，分別為，則D．是一個偶函數(shù)，且存在最小值【答案】ABD【解析】【分析】利用指數(shù)的運算、指數(shù)函數(shù)圖像以及雙曲正弦、余弦函數(shù)的定義可判斷各選項的正誤.【詳解】對于A選項，，設(shè)，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以，所以，A選項正確；對于B選項，，B選項正確；對于D選項，是一個偶函數(shù)且在為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以時取最小值1，D選項正確.對于C選項，函數(shù)單調(diào)遞增，且值域為R，若與雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)共有三個交點，則,由雙曲余弦函數(shù)為偶函數(shù)得，由得，所以，C選項錯誤.故選：ABD.26．（2022·湖南郴州·高三期末）如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則（）A．當(dāng)在平面上運動時，四棱錐的體積不變B．當(dāng)在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C．當(dāng)直線與平面所成的角為45°時，點的軌跡長度為D．若是的中點，當(dāng)在底面上運動，且滿足平面時，長度的最小值是【答案】AC【解析】【分析】A.由四棱錐的高和底面積判斷；B.根據(jù)是等邊三角形判斷；C.根據(jù)直線與平面所成的角為，結(jié)合正方體的特征判斷；D.建立空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)進(jìn)行判斷.【詳解】A.當(dāng)在平面上運動時，點到面的距離不變，不變，故四棱錐的體積不變，故A正確；B.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，則，設(shè)與所成的角為，則，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，綜上：，所以與所成角的取值范圍是，故B錯誤；C.因為直線與平面所成的角為，若點在平面和平面內(nèi)，因為最大，不成立；在平面內(nèi)，點的軌跡是，在平面內(nèi)，點的軌跡是，在平面時，如圖所示：，作平面，因為，所以，又，所以，則，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的四分之一圓，所以點的軌跡長度為，所以點的軌跡總長度為長度為，故C正確；D.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，因為平面，所以，即，所以，當(dāng)時，等號成立，故D錯誤；故選：AC.27．（2022·廣東湛江·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列命題正確的是（）A．在區(qū)間上是增函數(shù) B．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為C． D．有2個零點【答案】ABD【解析】【分析】對A，對函數(shù)求導(dǎo)即可判斷；對B，運用基本不等式即可判斷；容易判斷C；對D，對函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，進(jìn)而運用放縮法并結(jié)合零點存在定理確定函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】當(dāng)時，，，∴在區(qū)間上是增函數(shù)，A選項正確；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取到最小值，B選項正確；當(dāng)時，，C選項錯誤；當(dāng)時，，令，則，由于，設(shè)方程的兩根為，由，所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，且，又，所以在內(nèi)只有一個零點.當(dāng)時，，令，則，令，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，則極大值，極小值，而，所以在內(nèi)只有一個零點.綜上：有2個零點，D選項正確.故選：ABD.28．（2022·廣東湛江·高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：與圓M：相交于A，B兩點，點P是線段AB上的任意一點含端點，則下列說法正確的是（）A．B．若存在點P，使得以點P為圓心，以1為半徑的圓與圓M無公共點，則C．若恒成立，則D．若圓M在A，B兩點處的切線互相垂直，則【答案】BC【解析】【分析】對于A，設(shè)圓O半徑為r，圓M半徑為R，由計算即可判定.對于B，先求得AB所在的直線方程為，再由點P為AB中點時，圓心為到直線AB的距離d滿足求解即可判定.對于C，設(shè)AB交OM于點Q，由可得點Q位于OM的延長線上，即，求解即可判定.對于D，由題意可得為等腰直角三角形，計算圓心M到直線AB的距離即可判定．【詳解】對于A，因為圓M的圓心為，半徑為，圓O的圓心為原點，半徑為r，兩圓相交，所以，即，解得，故A錯誤.對于B，由兩圓方程作差，可得兩圓的相交弦AB所在的直線方程為，若存在點P，使得以點P為圓心，以1為半徑的圓與圓M無公共點，則點P為AB中點，此時圓心為到直線AB的距離為，所以，即，解得，即，故B正確.對于C，由圓的對稱性可得AB被或其延長線垂直平分，設(shè)AB交OM于點Q，則Q為AB中點顯然，當(dāng)點Q位于線段OM上時，因為點P是線段AB上的任意一點，不妨設(shè)點P于點Q重合，則與方向相反，所以所以點Q應(yīng)位于OM的延長線上，此時與方向相同，又因為，所以當(dāng)點P與點A或點B重合時與的夾角最大，由，可得必為銳角，所以綜上，若恒成立，則有，且，即，解得，故C正確；對于D，若圓M在A，B兩點處的切線互相垂直且相交于點C，則四邊形ACBM中，，，，所以，即為等腰直角三角形，所以圓心為到直線AB的距離為，解得，滿足條件，所以成立，故D錯誤．故選：BC．29．（2022·廣東揭陽·高三期末）已知向量，且，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．的最大值為2【答案】BC【解析】【分析】先根據(jù)向量加法，可直接求出.對選項，直接求出向量和的模，然后驗證即可；對選項，直接求出余弦值；對選項，直接求出正弦值；對選項，直接求出向量的模.【詳解】根據(jù)向量的加法可得：根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系，且，解得：對選項，，則有：，故選項錯誤；對選項，則有：，故選項正確；對選項，則有：，故選項正確；對選項，，則有：故有：，故選項錯誤.故選：30．（2022·廣東揭陽·高三期末）如圖所示，已知正方體的棱長為分別是的中點，是線段上的動點，則下列說法正確的是（）A．平面截正方體所得的截面可以是四邊形?五邊形或六邊形B．當(dāng)點與兩點不重合時，平面截正方體所得的截面是五邊形C．是銳角三角形D．面積的最大值是【答案】BD【解析】【分析】在不同的平面內(nèi)構(gòu)造平行線，將平面進(jìn)行擴展，發(fā)現(xiàn)其與正方體各個面上的交線，從而獲得截面的形狀，當(dāng)點與點重合時，點到直線的距離取到最大值，的面積取到最大值，求得此時三角形的面積即可得出答案.【詳解】解：如圖，當(dāng)點與兩點不重合時，將線段向兩端延長，分別交的延長線于點，連接分別交于兩點，連接，此時截面為五邊形MPSNR，故B正確；當(dāng)點與點A或點重合時，截面為四邊形，不可能為六邊形，故A不正確；考慮，當(dāng)點與點重合時，，，此時因為，故為鈍角，所以C錯誤；當(dāng)點與點重合時，點到直線的距離取到最大值，的面積取到最大值，此時，則邊上的高為，面積為，即最大值為，故D正確.故選：BD.31．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)a，，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，且，則【答案】BC【解析】【分析】對于A：利用在上的單調(diào)性進(jìn)行判斷；對于B：利用基本不等式直接判斷；對于C：由題意構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性進(jìn)行判斷；對于D：取特殊值直接驗證即可.【詳解】對于A：因為，所以，因為在上單減，所以.故A錯誤；對于B：因為，所以.故B正確；對于C：因為，所以.記函數(shù).因為為增函數(shù)，為減函數(shù)，所以為增函數(shù)，所以.故C正確.對于D：取滿足，且，但是.故D錯誤.故選：BC32．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）透明塑料制成的正方體密閉容器的體積為注入體積為的液體.如圖，將容器下底面的頂點置于地面上，再將容器傾斜.隨著傾斜度的不同，則下列說法正確的是（）A．液面始終與地面平行B．時，液面始終是平行四邊形C．當(dāng)時，有液體的部分可呈正三棱錐D．當(dāng)液面與正方體的對角線垂直時，液面面積最大值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正方體的截面判斷．【詳解】液面始終是水平面，與場面平行，A正確；時，體積是正方體的一半，如液面正好過棱的中點，此時液面是正六邊形，不是平行四邊形，B錯；液面過的中點時，此時，有液體的部分是正三棱錐，C正確；當(dāng)液面與正方體的對角線垂直時，液面面積的液面面積最大時就是B中所列舉的正六邊形（此時液體體積是正方體體積的一半），面積為，D正確．故選：ACD．【點睛】結(jié)論點睛：本題考查正方體的截面，正方體是立體幾何中的特殊幾何體，它的截面可以：（1）截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、一般三角形，截面三角形是銳角三角形，截面三角形不能是直角三角形、鈍角三角形；（2）截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形，截面不能是直角梯形；（3）截面可以是五邊形：截面五邊形必有兩組分別平行的邊,同時有兩個角相等，截面五邊形不可能是正五邊形；（4）截面可以是六邊形：截面六邊形必是三組邊分別平行，可以是正六邊形．33．（2022·廣東潮州·高三期末）已知拋物線C：，過其準(zhǔn)線上的點T(1，-1)作C的兩條切線，切點分別為A、B，下列說法正確的是（）A．p=1 B．拋物線的焦點為F(0，1)C． D．直線AB的斜率為【答案】BCD【解析】【分析】：，故選項A不正確；拋物線：的焦點為F(0，1)，所以選項B正確；設(shè)直線，聯(lián)立直線和拋物線的方程，得到韋達(dá)定理，利用韋達(dá)定理可判斷選項C正確；求出：，故.故選項D正確.【詳解】解：易知準(zhǔn)線方程為，∴，：，故選項A不正確；拋物線：的焦點為F(0，1)，所以選項B正確；設(shè)直線，代入，得，當(dāng)直線與相切時，有，即，設(shè)，斜率分別為，，易知，是上述方程兩根，故，故.故選項C正確；設(shè)，，其中，.則：，即.代入點，得，同理可得，故：，故.故選項D正確.故選：BCD34．（2022·廣東潮州·高三期末）已知函數(shù)，則（）A．對任意正奇數(shù)n，f(x)為奇函數(shù)B．當(dāng)n=3時，f(x)在[0，]上的最小值為C．當(dāng)n=4時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是D．對任意正整數(shù)n，f(x)的圖象都關(guān)于直線對稱【答案】BD【解析】【分析】通過判斷的值，判斷A的正誤；利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解最大值，判斷B的正誤；求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間判斷C的正誤；判斷，判斷D的正誤．【詳解】解：對于A，取，則，從而，此時不是奇函數(shù)，則A錯誤；對于B，當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，故B正確；對于C，當(dāng)時，，令，則，所以的遞增區(qū)間為，則C錯誤；對于D，因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，則D正確；故選：BD.35．（2022·湖南常德·高三期末）已知正方體的棱長為2，P，Q分別為棱，的中點，M為線段BD上的動點，則（）A．B．C．三棱錐的體積為定值D．M為BD的中點時，則二面角的平面角為60°【答案】BC【解析】【分析】由題可得與不平行可判斷A，利用線面垂直的判斷定理及性質(zhì)定理判斷B，利用棱錐的體積公式可判斷C，利用坐標(biāo)法可判斷D.【詳解】由正方體的性質(zhì)可知，與不平行，故A錯誤；由正方體的性質(zhì)可知，又，∴平面，又平面，∴，故B正確；由題可知M到平面的距離為定值d=2，三角形的面積為定值，所以為定值，故C正確；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則∴，設(shè)平面PQM的法向量為，則，令，則，平面的法向量可取，設(shè)二面角的平面角為，則，故D錯誤.故選：BC.36．（2022·湖南常德·高三期末）已知拋物線的焦點為，斜率為的直線交拋物線于、兩點，則（）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．線段的中點在直線上C．若，則的面積為D．以線段為直徑的圓一定與軸相切【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與準(zhǔn)線方程的關(guān)系可判斷A選項的正誤；利用點差法可判斷B選項的正誤；利用弦長公式以及三角形的面積公式可判斷C選項的正誤；利用拋物線的焦半徑公式可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，拋物線的準(zhǔn)線方程為，A錯；對于B選項，設(shè)點、，設(shè)線段的中點為，則，兩式作差得，可得，所以，，故，B對；對于C選項，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，解得，由韋達(dá)定理可得，，，解得，點到直線的距離為，故，C對；對于D選項，設(shè)線段的中點為，則，由拋物線的定義可得，即等于點到軸距離的兩倍，所以，以線段為直徑的圓一定與軸相切，D對.故選：BCD.三、雙空題37．（2022·廣東揭陽·高三期末）如圖所示，在等腰直角中，為的中點，，分別為線段上的動點，且.（1）當(dāng)時，則的值為__________.（2）的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】第一個空：過點作于點，在Rt中，可求出，從而在中，根據(jù)余弦定理即可求出答案；第二空需要選擇恰當(dāng)?shù)慕嵌缺硎境龅闹?，再利用三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)求解出最值.【詳解】當(dāng)時，，過點作于點，在Rt中，，，，在中，由余弦定理，得.（2）設(shè)，則，過點分別作的垂線于兩點，則，在與中，，，所以，所以當(dāng)時，.故答案為：；.38．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為________；若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】(填亦可)【解析】【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，不等式恒成立可分離參數(shù)后求函數(shù)的最小值，令換元后可根據(jù)單調(diào)性求最值.【詳解】,令,可得的單調(diào)遞增區(qū)間(或亦可);可化為.令==，設(shè)，則，由在上單調(diào)遞增可知，，則，故解得.故答案為：(填亦可)；四、填空題39．（2021·湖北·漢陽一中高二階段練習(xí)）如圖所示，三棱錐的頂點P，A，B，C都在球O的球面上，且所在平面截球O于圓，為圓的直徑，P在底面上的射影為，C為的中點，D為的中點.，點P到底面的距離為，則球O的表面積為_________.【答案】【解析】【分析】連接，所以O(shè)必在上，在中求得，在中得，在中由勾股定理計算得球半徑，從而得球面積．【詳解】連接，所以O(shè)必在上，由，從而，由題可知，所以，在中，得，設(shè)球O的半徑為R，則，解得，所以球O的表面積為.故答案為：．40．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）已知正四棱錐的所有棱長均為，E，F(xiàn)分別是PC，AB的中點，M為棱PB上異于P，B的一動點，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，將所在平面展開在一個平面上，即可判斷最小時的位置關(guān)系，即可確定最小值.【詳解】正四棱錐如下圖示，將面與面展開在一個平面上，E、F為中點，如下圖，所以在移動過程中，當(dāng)共線時，最小為.故答案為：.41．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）已知橢圓：與圓：，若在橢圓上不存在點P，使得由點P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】設(shè)過點的兩條直線與圓分別切于點，由兩條切線相互垂直，可知，由題知，解得，又即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)過的兩條直線與圓分別切于點，由兩條切線相互垂直，知：，又在橢圓C1上不存在點P，使得由P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，所以，即得，所以，所以橢圓C1的離心率，又，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：首先假設(shè)過P所作的圓C2的兩條切線互相垂直求出，再由橢圓的有界性構(gòu)造含橢圓參數(shù)的不等關(guān)系，即可求離心率范圍.42．（2022·山東·煙臺二中高三期末）已知函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，若，則的解集為______．【答案】##【解析】【分析】構(gòu)造，可得在上單調(diào)遞減．由，轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性可得答案．【詳解】由，得，令，則，又，所以在上單調(diào)遞減．由，得，因為，所以，所以，得．故答案為：.43．（2022·山東·煙臺二中高三期末）如圖，在四棱錐中，是邊長為4的等邊三角形，四邊形ABCD是等腰梯形，，，，若四棱錐的體積為24，則四棱錐外接球的表面積是___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)球的截面圓圓心與球心的連線垂直截面可確定垂直平面ABCD，構(gòu)造直角三角形求解球的半徑即可得解.【詳解】如圖，分別取BC，AD的中點，E，連接PE，，，.因為是邊長為4的等邊三角形，所以.因為四邊形ABCD是等腰梯形，，，，所以，.因為四棱錐的體積為24，所以，所以.因為E是AD的中點，所以.因為，所以平面ABCD.因為，所以四邊形ABCD外接圓的圓心為，半徑.設(shè)四棱錐外接球的球心為O，連接，OP，OB，過點О作，垂足為F.易證四邊形是矩形，則，.設(shè)四棱錐外接球的半徑為R，則，即，解得，故四棱錐外接球的表面積是.故答案為：44．（2022·山東菏澤·高三期末）如圖，等腰直角三角形ABE的斜邊AB為正四面體的側(cè)棱，，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，三棱錐體積的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)為的中點，點在以為圓心，1為半徑的圓上運動，作出圖形，觀察求解到平面的最大值和最小值，再計算體積的范圍【詳解】在圖1中，令為的中點，為的中點，則點在以為圓心，1為半徑的圓上運動，由圖可知當(dāng)三點共線，且在之間時，三棱錐的體積最大，當(dāng)運動到的位置時，的體積最小，在中，,設(shè)到平面的距離分別為，則，,所以三棱錐體積的最大值為，三棱錐體積的最小值為，所以三棱錐體積的取值范圍為，故答案為：45．（2022·湖南郴州·高三期末）已知是平面向量，與是單位向量，且，若b2-8b·c+15=0，則【答案】17【解析】【分析】把條件的二次方程分解成兩個向量的積，得到這兩個向量互相垂直，結(jié)合圖形確定a-【詳解】如下圖所示，設(shè)OA∵b2∴∴∴∴點B在以F為圓心，DE為直徑的圓上又∵當(dāng)點B為圓F和線段FA的交點的時候，BA=a∴故答案為：1746．（2022·湖南郴州·高三期末）已知為坐標(biāo)原點，過點Ma,0a≠0的直線與拋物線y2=2pxp>0交于兩點，設(shè)直線OA,OB的斜率分別為k1,【答案】1【解析】【分析】設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，消元，寫韋達(dá)；然后根據(jù)條件k1k2【詳解】因為直線過點Ma,0，所以設(shè)直線方程為x=my+a，A由x=my+ay2=2px所以y1又因為點Ax1,所以y12y22因為k1k2=-2p，所以故答案為：.47．（2022·廣東湛江·高三階段練習(xí)）在四面體ABCD中，∠ACB=60°，∠DCA=90°，DC=CB=CA=2，二面角D-AC-B的大小為120°，則此四面體的外接球的表面積是________.【答案】(100+16【解析】【分析】取AC,AD的中點，和ΔABC的中心，點是ΔACD外接圓的圓心，點是ΔABC外接圓的圓心，過點E,N分別作平面和平面ACD的垂線，交于點，在四邊形OEMN中找?guī)缀侮P(guān)系，構(gòu)造方程求解外接圓的半徑和表面積.【詳解】由條件可知ΔABC是等邊三角形，取AC,AD的中點，和ΔABC的中心，過點E,N分別作平面和平面ACD的垂線，交于點，∠EMN=120°，如圖：由條件可知，EM=33∴HN=EG=33∴OH=EH?tan∴ON=OH+HN=3R2S=4π【點睛】本題考查了球與幾何體的綜合問題，考查空間想象能力以及化歸和計算能力，（1）當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直時，并且側(cè)棱長為，那么外接球的直徑2R=a2+b48．（2022·廣東湛江·高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線M:y2=2px(p>0)與雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有公共焦點，拋物線Ｍ與雙曲線