江蘇專版2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線的方程3.2雙曲線3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)分層作業(yè)新人教A版選擇性必修第一冊

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)A級必備知識基礎(chǔ)練1.［探究點(diǎn)三］（多選題）設(shè)雙曲線的漸近線方程為,則該雙曲線的離心率可以為()A. B. C. D.2.［探究點(diǎn)二］已知雙曲線的離心率為,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.3.［探究點(diǎn)一］如圖,雙曲線的左焦點(diǎn)為,雙曲線上的點(diǎn)與關(guān)于軸對稱,則的值是()A.3 B.4 C.6 D.84.［探究點(diǎn)一］已知雙曲線的離心率為,,是的兩個(gè)焦點(diǎn),為上一點(diǎn),,若的面積為,則雙曲線的實(shí)軸長為()A.1 B.2 C.4 D.65.［探究點(diǎn)三］兩個(gè)正數(shù),的和為5,積為6,且,則雙曲線的離心率,漸近線方程為.6.［探究點(diǎn)一］已知為雙曲線的左焦點(diǎn),,為上的點(diǎn).若的長等于虛軸長的2倍,點(diǎn)在線段上,則的周長為.7.［探究點(diǎn)三］雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,以為半徑作圓,圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為,若三角形的面積為,則雙曲線的離心率為.8.［探究點(diǎn)二］求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在軸上，虛軸長為8，離心率為；（2）經(jīng)過點(diǎn),且與雙曲線有共同的漸近線.9.［探究點(diǎn)四］雙曲線的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)，求的面積.B級關(guān)鍵能力提升練10.過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的弦,是另一焦點(diǎn),若,則雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.11.已知雙曲線，過原點(diǎn)作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過雙曲線的右焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.12.[2023江蘇鎮(zhèn)江期末]已知橢圓和雙曲線具有相同的焦點(diǎn),離心率分別為,,橢圓的長軸恰好被雙曲線的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、中心平分為若干條等長線段,則()A. B. C. D.13.已知雙曲線的方程為,則以點(diǎn)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程為()A. B. C. D.14.（多選題）已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的方程可能為()A. B. C. D.15.（多選題）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線上異于雙曲線頂點(diǎn)的一點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是()A.雙曲線的漸近線方程為B.以為直徑的圓的方程為C.點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為1D.的面積為116.已知為雙曲線的一條漸近線,其傾斜角為,且的右焦點(diǎn)為,則的右頂點(diǎn)為；的方程為.17.已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為，且交另一條漸近線于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是.18.已知點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)到,兩點(diǎn)的距離之差的絕對值為2.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）點(diǎn)的軌跡與經(jīng)過點(diǎn)且斜率為1的直線交于，兩點(diǎn)，求線段的長.C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練19.[2023山東日照期末]已知,分別為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),雙曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為,且,則該雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)過關(guān)自診提示不是，在雙曲線中，，沒有大小關(guān)系，只需，.提示把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組,通過消元后化為的形式,在的情況下可得:（1）時(shí),直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn);（2）時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn);（3）時(shí),直線與雙曲線沒有公共點(diǎn).此外，當(dāng)直線平行于雙曲線的漸近線時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，故直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要不充分條件.3.解由方程可知,雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,且,,,,,,雙曲線的實(shí)軸長為2,虛軸長為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,漸近線方程為4.解由可得,所以漸近線方程為.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一由雙曲線的方程求幾何性質(zhì)思路分析將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,先求出參數(shù),,的值,再寫出各個(gè)結(jié)果.【例1】解雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是，，，，，.又雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，實(shí)軸長，虛軸長，離心率，漸近線方程為.變式探究解雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是，，，，，.又雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，實(shí)軸長，虛軸長，離心率，漸近線方程為.變式訓(xùn)練1（1）A[解析]雙曲線的一條漸近線的斜率是,可得,解得.故選.（2）證明不妨設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,一條漸近線的方程為,即,則點(diǎn)到該漸近線的距離為,即為虛半軸長.同理可證當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),也滿足題意.探究點(diǎn)二根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（1）解設(shè)雙曲線方程為.雙曲線過點(diǎn),.由題意得解得故所求雙曲線方程為.（2）設(shè)所求雙曲線方程為.,,.由題意得解得所求的雙曲線方程為.（3）設(shè)雙曲線方程為,即,由題意得.當(dāng)時(shí),,,雙曲線方程為;當(dāng)時(shí),,,雙曲線方程為.故所求雙曲線方程為或.變式訓(xùn)練2（1）解由已知,雙曲線焦點(diǎn)在軸上,設(shè)其方程為,則,即.又,且,所以,,因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由雙曲線的漸近線方程為,可設(shè)雙曲線方程為.因?yàn)樵陔p曲線上,所以,即,所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.探究點(diǎn)三雙曲線的漸近線與離心率問題角度1.求雙曲線的離心率或取值范圍【例3】解設(shè),,將代入雙曲線的方程得,那么.由,,知,所以,所以,所以,所以,即,所以或（舍去）,所以雙曲線的離心率為.變式訓(xùn)練3A[解析]依題意可得,,,設(shè),則由,得,整理得.由得.因?yàn)殡p曲線上恰有4個(gè)不同的點(diǎn)滿足,所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以只需,解得,則.角度2.雙曲線的漸近線與離心率的綜合【例4】D[解析]由已知可得,則.故選.變式訓(xùn)練4或[解析]依題意得,所以,即,解得.若雙曲線焦點(diǎn)在軸上,則其漸近線方程為,即；若雙曲線焦點(diǎn)在軸上,則其漸近線方程為,即.探究點(diǎn)四直線與雙曲線的位置關(guān)系【例5】（1）解聯(lián)立消去并整理,得.直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則解得，且.若直線與雙曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）設(shè)，，對于（1）中的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，，.又點(diǎn)到直線的距離，，即，解得或.實(shí)數(shù)的值為或0.變式探究解當(dāng)時(shí)，即或,直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由解得或，此時(shí)直線與雙曲線相切，只有一個(gè)交點(diǎn).綜上所述，當(dāng)或時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn).本節(jié)要點(diǎn)歸納分層作業(yè)A級必備知識基礎(chǔ)練1.AC[解析]當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),,所以,所以；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),,所以,所以.2.C[解析]已知雙曲線的離心率為,故有,所以,解得.故雙曲線的漸近線方程為.故選.3.C[解析]設(shè)為右焦點(diǎn),連接（圖略）,由雙曲線的對稱性,知,所以.4.C[解析]由題意知,點(diǎn)在雙曲線的右支上,則.又,,.又,.則在中,,,故,解得（負(fù)值舍去）,實(shí)軸長為.故選.5.;[解析]由解得或又,,,,.漸近線方程為.6.44[解析]由雙曲線的方程,知,,,點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn),且,點(diǎn),在雙曲線的右支上,由雙曲線的定義,得,,的周長為.7.[解析]不妨設(shè)為右支上一點(diǎn),設(shè),,由雙曲線的定義可得,由題意可得為直角三角形,且,可得,且,由,即,可得.8.（1）解設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則,,從而，代入，得，故方程為.（2）由題意可設(shè)所求雙曲線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.9.解由題意得，雙曲線的右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，漸近線方程為.不妨設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程并整理，得，解得,,所以,.所以.B級關(guān)鍵能力提升練10.C[解析]不妨設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為,依題意知直線所在直線方程為,代入雙曲線方程得.因?yàn)?所以,即,于是,所以,解得或（舍去）.故選.11.B[解析]設(shè),，依題意，直線的方程為，代入雙曲線方程并化簡，得,，故,,.設(shè)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，,由于以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，故，即，即，即，兩邊除以，得，解得.故，故選.12.B[解析]不妨設(shè)橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,由于橢圓的長軸恰好被雙曲線的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、中心平分為若干條等長線段,設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為,則橢圓的長軸長為,則橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,,雙曲線左、右頂點(diǎn)分別為,,橢圓以及雙曲線的左、右焦點(diǎn)均分別為,,所以,,所以,故錯(cuò)誤,正確；,故錯(cuò)誤；,故錯(cuò)誤.故選.13.A[解析]設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為，，則，，兩式相減得，.又，，，即.因此直線的方程為，即.經(jīng)驗(yàn)證，直線與雙曲線相交.因此適合題意的直線方程為，故選.14.ABD[解析]依題意,知漸近線與軸的夾角為或,所以雙曲線的漸近線方程為或,根據(jù)選項(xiàng)檢驗(yàn)可知,,均可能.15.ACD[解析]易得雙曲線的漸近線方程為，故正確；由得，因此以為直徑的圓的方程為，故錯(cuò)誤；易知，則到雙曲線的一條漸近線的距離,故正確；由得，，因此點(diǎn)在圓上，由得,故，因此，,故正確.故選.16.;[解析]由題意可得,即,一條漸近線的斜率為,解得,則雙曲線的右頂點(diǎn)為,的方程為.17.[解析]如圖所示，過向另一條漸近線引垂線，垂足為.由題意得，雙曲線的漸近線方程為,則到漸近線的距離,即.又,，.為等腰三角形，為的中點(diǎn)，.，，即，整理得，.則,.18.（1）解點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)到,兩點(diǎn)的距離之差的絕對值為，點(diǎn)的軌跡方程是以和為焦點(diǎn)的雙曲線，且，，點(diǎn)的軌跡方程是.（2）點(diǎn)的軌跡方程是，經(jīng)過點(diǎn)且