動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量

南昌大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告課程名稱： 普通物理實(shí)驗(yàn)（2） 實(shí)驗(yàn)名稱： 動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量 學(xué)院：理學(xué)院 專業(yè)班級(jí): 應(yīng)用物理學(xué)152班學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： 實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)： B510 座位號(hào)： 22實(shí)驗(yàn)時(shí)間： 第二周星期五下午4點(diǎn)開始 一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?、 理解動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量的基本原理。2、 掌握動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量的基本方法，學(xué)會(huì)用動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量。3、 了解壓電陶瓷換能器的功能，熟悉信號(hào)源和示波器的使用。學(xué)會(huì)用示波器觀察判斷樣品共振的方法。4、 培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)和使用常用實(shí)驗(yàn)儀器的能力。二、 實(shí)驗(yàn)儀器:信號(hào)發(fā)生器，動(dòng)態(tài)彈性模量測(cè)定儀，銅棒，示波器。c住Hc住H啲■謝世頭IkSt三、1、三、1、2、楊氏模量是固體材料在彈性形變范圍內(nèi)正應(yīng)力與相應(yīng)正應(yīng)變的比值，其數(shù)值的大小與材料的結(jié)構(gòu)、化學(xué)成分和加工制造方法等因素有關(guān)。測(cè)量楊氏模量有多種方法，可分為靜態(tài)法、動(dòng)態(tài)法和波傳播法三類。此實(shí)驗(yàn)中所采用動(dòng)態(tài)法，既可測(cè)量金屬的楊氏模量，也可以測(cè)量玻璃、陶瓷材料的楊氏模量，測(cè)量準(zhǔn)確度也較高。卜 L1、x如圖1所示，長(zhǎng)度L遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于直徑d（L>>d）的一細(xì)長(zhǎng)棒，作微小橫振動(dòng)（彎曲振動(dòng)）時(shí)滿足的動(dòng)力學(xué)方程（橫振動(dòng)方程）為也+2^=0（1） Odx4EJdt2 O其中，棒的軸線沿x方向，y為棒上距左端x處截面的y方向位移，E為楊氏. . 圖1細(xì)長(zhǎng)棒的彎曲振動(dòng)模量，單位為Pa或N/m2；p為材料密度；S為截面積；J為某一截面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 圖1細(xì)長(zhǎng)棒的弓曲振丿動(dòng)量，J=y2ds。橫振動(dòng)方程的邊界條件為：棒的兩端（x=0、L）是自由端，端點(diǎn)既不受正應(yīng)力也不受切向力。用s分離變量法求解方程（1），令y（x,t）=X（x）T（t），則有1d4X_pS.丄 （2）Xdx4EJTdt2由于等式兩邊分別是兩個(gè)變量x和t的函數(shù)，所以只有當(dāng)?shù)仁絻蛇叾嫉扔谕粋€(gè)常數(shù)時(shí)等式才成立。假設(shè)此常數(shù)為K4,

則可得到下列兩個(gè)方程(3)(4)(5)(6(3)(4)(5)(6)(7)d4Xdx4型+KW7=0dt2 pS如果棒中每點(diǎn)都作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則上述兩方程的通解分別為X(X)=aiChKx+a2shKx+a3C0SKX+a4SinKXT(t)=bcos(?t+9)于是可以得出y(x,t)=(aichKx+shKx+ cosKx+a4sinKx)?bcos(?t+9)式中K4EJ2?= PS式（7）稱為頻率公式，適用于不同邊界條件任意形狀截面的試樣。如果試樣的懸掛點(diǎn)（或支撐點(diǎn)）在試樣的節(jié)點(diǎn)，貝［根據(jù)邊界條件可以得到cosKL?chKL=1 （8）采用數(shù)值解法可以得出本征值K和棒長(zhǎng)L應(yīng)滿足如下關(guān)系KL=0,4.730,7.853,10.996,14.137,…… （9）n其中第一個(gè)根K0L=O對(duì)應(yīng)試樣靜止?fàn)顟B(tài)；第二個(gè)根記為$厶=4.730,所對(duì)應(yīng)的試樣振動(dòng)頻率稱為基振頻率（基頻）或稱固有頻率，此時(shí)的振動(dòng)狀態(tài)如圖2（a）所示；第三個(gè)根K2L=7.853所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)狀態(tài)如圖2（b）所示，稱為一次諧波。由此可知，試樣在作基頻振動(dòng)時(shí)存在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，它們的位置分別距端面0.224L和0.776L。將基頻對(duì)應(yīng)的$值代入頻率公式，可得到楊氏模量為圖2兩端自由的棒作基頻振動(dòng)波形和一次諧波振動(dòng)波形(10)E=1.9978x10-3PLSw2=7.8870x10-2Lmf2

(10)如果試樣為圓棒（dvvL）,則J=^，所以式（10）可改寫為64E=1.6067Lmf2

d4同樣，對(duì)于矩形棒試樣則有L3rmE冶=6.9464——f2

矩 bh3式中m為棒的質(zhì)量，f為基頻振動(dòng)的固有頻率，d為圓棒直徑，b和h分別為矩形棒的寬度和高度。如果圓棒試樣不能滿足dvvL時(shí)，式（11）應(yīng)乘上一個(gè)修正系數(shù)匚，即E=1.6067L3mf2T （13）d4 1上式中的修正系數(shù)-可以根據(jù)徑長(zhǎng)比d/L的泊松比查表1得到。表1徑長(zhǎng)比與修正系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系徑長(zhǎng)比d/L0.010.020.030.040.050.060.080.10修正系數(shù)耳1.0011.0021.0051.0081.0141.0191.0331.055由式（10）?（12）可知，對(duì)于圓棒或矩形棒試樣只要測(cè)出固有頻率就可以計(jì)算試樣的動(dòng)態(tài)楊氏模量，所以整個(gè)實(shí)驗(yàn)的主要任務(wù)就是測(cè)量試樣的基頻振動(dòng)的固有頻率。本實(shí)驗(yàn)只能測(cè)出試樣的共振頻率，物體固有頻率固和共振頻率共是相關(guān)的兩個(gè)不同概念，二者之間的關(guān)系為固 共f固=+盤 （⑷上式中Q為試樣的機(jī)械品質(zhì)因數(shù)。一般Q值遠(yuǎn)大于50，共振頻率和固有頻率相比只偏低0.005%,二者相差很小，通常忽略二者的差別，用共振頻率代替固有頻率。3、 理論上試樣在基頻下共振有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，要測(cè)出試樣的基頻共振頻率，只能將試樣懸掛或支撐在0.224L和0.776L的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)處。但是，在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)處振動(dòng)振幅幾乎為零，懸掛或支撐在節(jié)點(diǎn)處的試樣難以被激振和拾振。4、 實(shí)驗(yàn)時(shí)由于懸絲或支撐架對(duì)試樣的阻尼作用，所以檢測(cè)到的共振頻率是隨懸掛點(diǎn)或支撐點(diǎn)的位置變化而變化的。懸掛點(diǎn)偏離節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)（距離棒的端點(diǎn)越近），可檢測(cè)的共振信號(hào)越強(qiáng)，但試樣所受到的阻尼作用也越大，離試樣兩端自由這一定解條件的要求相差越大，產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差就越大。由于壓電陶瓷換能器拾取的是懸掛點(diǎn)或支撐點(diǎn)的加速度共振信號(hào)，而不是振幅共振信號(hào)，因此所檢測(cè)到的共振頻率隨懸掛點(diǎn)或支撐點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)的距離增大而變大。為了消除這一系統(tǒng)誤差，測(cè)出試樣的基頻共振頻率，可在節(jié)點(diǎn)兩側(cè)選取不同的點(diǎn)對(duì)稱懸掛或支撐，用外延測(cè)量法找出節(jié)點(diǎn)處的共振頻率。四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和步驟:1、 連接儀器：動(dòng)態(tài)彈性模量測(cè)定儀激振信號(hào)輸出端接激振器的輸入端，拾振信號(hào)的輸入端接拾振器的輸出端，拾振信號(hào)的輸出端接示波器Y通道。2、 開機(jī)調(diào)試：開啟儀器的電源，調(diào)節(jié)示波器處于正常工作狀態(tài)，信號(hào)發(fā)生器的頻率置于適當(dāng)擋位（例如2.5kHz擋），連續(xù)調(diào)節(jié)輸出頻率，此時(shí)激發(fā)換能器應(yīng)發(fā)出相應(yīng)聲響。輕敲桌面，示波器Y軸信號(hào)大小立即變動(dòng)并與敲擊強(qiáng)度有關(guān)，這說(shuō)明整套實(shí)驗(yàn)裝置已處于工作狀態(tài)。3、 鑒頻率與測(cè)量：由低到高調(diào)節(jié)信號(hào)發(fā)生器的輸出頻率，正確找出試樣棒的基頻共振狀態(tài)，從頻率計(jì)上讀出共振頻率。4、 測(cè)量基頻共振頻率：取對(duì)稱的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)測(cè)