數(shù)學(xué)分析十三章講義

本文格式為Word版，下載可任意編輯——數(shù)學(xué)分析十三章講義《數(shù)學(xué)分析》下冊(cè)教案第十三章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)西南財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

第十三章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

§1一致收斂性

教學(xué)目標(biāo)：把握函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的定義，函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別的柯西準(zhǔn)則，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法．

教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的定義；函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別的柯西準(zhǔn)則；函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法．

(1)基本要求：把握函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的定義，函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別的柯西準(zhǔn)則，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法．(2)較高要求：把握狄利克雷判別法和阿貝爾判別法．教學(xué)建議：

(1)要求學(xué)生必需把握函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的定義，函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別的柯西準(zhǔn)則，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法．

(2)對(duì)較好學(xué)生可要求他們把握狄利克雷判別法和阿貝爾判別法．教學(xué)過(guò)程：

我們知道，可以用收斂數(shù)列（或級(jí)數(shù)）來(lái)表示或定義一個(gè)數(shù)，在此，將探討如何用函數(shù)列（或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）來(lái)表示或定義一個(gè)函數(shù)。一、函數(shù)列及其一致收斂性。

設(shè)

f1,f2,?,fn,?（1）

是一列定義在同一數(shù)集E上的函數(shù)，稱(chēng)為定義在E上的函數(shù)列。也可簡(jiǎn)記為：{fn}或fn，n?1,2,?。

設(shè)x0?E，將x0代入f1,f2,?,fn,?得到數(shù)列：

f1(x0),f2(x0),?,fn(x0),?（2）

若數(shù)列（2）收斂，則稱(chēng)函數(shù)列（1）在點(diǎn)x0收斂，x0稱(chēng)為函數(shù)列（1）的收斂點(diǎn)。若數(shù)列（2）發(fā)散，則稱(chēng)函數(shù)列（1）在點(diǎn)x0發(fā)散。若函數(shù)列（1）在數(shù)集D?E上每一點(diǎn)都收斂，則稱(chēng)（1）

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在數(shù)集D上收斂。這時(shí)?x?D，都有數(shù)列{fn(x)}的一個(gè)極限值與之對(duì)應(yīng)，由這個(gè)對(duì)應(yīng)法則就確定了D上的一個(gè)函數(shù)，稱(chēng)它為函數(shù)列{fn}的極限函數(shù)。記作f。于是，有l(wèi)imfn(x)?f(x)，x?D，或fn(x)?f(x)(n??)，x?D。

n??函數(shù)列極限的??N定義對(duì)每一個(gè)固定的x?D，對(duì)???0，?N?0（注意：一般說(shuō)來(lái)N值的確定與?和x的值都有關(guān)），使得當(dāng)n?N時(shí)，總有fn(x)?f(x)??。

使函數(shù)列{fn}收斂的全體收斂點(diǎn)的集合，稱(chēng)為函數(shù)列{fn}的收斂域。

例1、設(shè)fn(x)?xn，n?1,2,?為定義在(??,?)上的函數(shù)列，證明它的收斂域是(?1,1]，

?0,x?1且有極限函數(shù)f(x)??（3）

?1,x?1證：任給??0（不妨設(shè)??1），當(dāng)0?x?1時(shí)，由于fn(x)?f(x)?x，故只要取

N(?,x)?ln?，則當(dāng)n?N(?,x)時(shí)，就有fn(x)?f(x)??。而當(dāng)x?0和x?1時(shí)，則對(duì)任何正lnxn整數(shù)n，都有

fn(0)?f(0)?0??，fn(1)?f(1)?0??。

這就證得?fn?在(?1,1]上收斂，且有（3）式所表示的極限函數(shù)。

當(dāng)x?1時(shí)，則有x???(n??)，當(dāng)x??1時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列為?1,1,?1,1,?它顯然是發(fā)散的。所以函數(shù)列?xn?在區(qū)間(?1,1]外都是發(fā)散的。

例2、定義在(??,??)上的函數(shù)列fn(x)?nsinnx，n?1,2,?，由于對(duì)任何實(shí)數(shù)x，都有nsinnxsinnx11?sinnx??0??。所以函數(shù)列??，故對(duì)任給的??0，只要n?N?，就有?的收nnn??n?斂域?yàn)闊o(wú)限區(qū)間(??,??)，函數(shù)極限f(x)?0。

定義1、設(shè)函數(shù)列?fn?與函數(shù)f定義在同一數(shù)集D上，若對(duì)任給的正數(shù)?，總存在某一正整數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)，對(duì)一切的x?D，都有

fn(x)?f(x)??

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則稱(chēng)函數(shù)列?fn?在D上一致收斂于f，記作：fn(x)f(x)(n??)，x?D。

定理13.1（函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則）函數(shù)列?fn?在數(shù)集D上一致收斂的充要條件是：對(duì)任給的正數(shù)?，總存在正數(shù)N，使得當(dāng)n,m?N時(shí)，對(duì)一切x?D，都有fn(x)?f(x)??。（4）

???證：[必要性]設(shè)fn(x)?f(x)(n??)，x?D，即對(duì)任給??0，存在正數(shù)N，

使得當(dāng)n?N時(shí)，對(duì)一切x?D，都有fn(x)?f(x)?于是當(dāng)n,m?N，由（5）就有

fn(x)?fm(x)?fn(x)?f(x)?f(x)?fm(x)??2。（5）

?2??2??。

[充分性]若條件（4）成立，由數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則，?fn?在D上任一點(diǎn)都收斂，記其極限函數(shù)為f(x)，x?D?，F(xiàn)固定（4）式中的n，讓m??，于是當(dāng)n?N時(shí)，對(duì)一切x?D都

???有fn(x)?f(x)??。由定義1，fn(x)?f(x)(n??)，x?D。

定理13.2函數(shù)列?fn?在區(qū)間D上一致收斂于f的充要條件是：limsupfn(x)?f(x)?0。（6）

n??x?D證：[必要性]若fn(x)f(x)(n??)，x?D。則對(duì)任給的正數(shù)?，存在不

依靠與x的正整數(shù)N，當(dāng)n?N時(shí)，有

fn(x)?f(x)??，x?D。由上確界的定義，亦有supfn(x)?f(x)??。

x?D則有l(wèi)imsupfn(x)?f(x)?0。

n??x?D[充分性]由假設(shè)，對(duì)任給的??0，存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n?N，有supfn(x)?f(x)??。（7）

x?D由于對(duì)一切x?D，總有fn(x)?f(x)?supfn(x)?f(x)。

x?D故由（7）式得fn(x)?f(x)??。于是?fn?在D上一致收斂于f。

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例3、定義在[0,1]上的函數(shù)列

1?22nx,0?x??2n?11?fn(x)??2n?2n2x,?x?n?1,2,?（8）

2nn??1?0,n?x?1?由于fn(0)?0，故f(0)?limfn(0)?0。當(dāng)0?x?1時(shí)，只要n?n??n??1，就有fn(x)?0，故在(0,1]上x(chóng)有f(x)?limfn(x)?0。于是函數(shù)列（8）在[0,1]上的極限函數(shù)f(x)?0，又由于

supfn(x)?f(x)?fn(1)?n??(n??)，2nx?[0,1]所以函數(shù)列（8）在[0，1]上不一致收斂。

二、函數(shù)頂級(jí)數(shù)及其一致收斂性

設(shè)?un(x)?是定義在數(shù)集E上的一個(gè)函數(shù)列，表達(dá)式

u1(x)?u2(x)???un(x)??，x?E（9）稱(chēng)為定義在E上的函數(shù)頂級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)記為?un(x)或?un(x)。稱(chēng)

n?1?Sn(x)??uk(x)，x?E，n?1,2,?（10）

k?1n為函數(shù)頂級(jí)數(shù)（9）的部分和函數(shù)列。

若x0?E，數(shù)頂級(jí)數(shù)u1(x0)?u2(x0)???un(x0)??（11）

收斂，既部分和Sn(x0)??uk(x0)當(dāng)n??時(shí)極限存在，則稱(chēng)級(jí)數(shù)（9）在點(diǎn)x0收斂，x0稱(chēng)為

k?1n級(jí)數(shù)（9）的收斂點(diǎn)，若級(jí)數(shù)（11）發(fā)散，則稱(chēng)級(jí)數(shù)（9）在點(diǎn)x0發(fā)散。若級(jí)數(shù)（9）在E某個(gè)子集D上每個(gè)點(diǎn)都收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù)（9）在點(diǎn)D上收斂，若D為級(jí)數(shù)（9）全體收斂點(diǎn)的集合，這時(shí)則城D為級(jí)數(shù)（9）的收斂域。級(jí)數(shù)（9）在D上每一點(diǎn)x與其所對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（11）的和S(x)構(gòu)成一個(gè)定義在D上的函數(shù)，稱(chēng)為級(jí)數(shù)（9）的和函數(shù)，并寫(xiě)作

u1(x)?u2(x)???un(x)???S(x)，x?D，

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即limSn(x)?S(x)，x?D。

n??也就是說(shuō)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（9）的收斂性就是指它的部分和函數(shù)列（10）的收斂性。

例4、定義在(??,??)上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）1?x?x2???xn??（12）

1?xn的部分和函數(shù)為Sn(x)?。故當(dāng)x?1時(shí)，

1?xS(x)?limSn(x)?n??1。1?x1；當(dāng)x?1時(shí)，幾何級(jí)數(shù)是發(fā)散的。1?x?所以幾何級(jí)數(shù)（12）在(?1,1)內(nèi)收斂于和函數(shù)S(x)?定義2（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性定義）設(shè)?Sn(x)?是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的部分和函數(shù)列。

n?1若?Sn(x)?在數(shù)集D上一致收斂于函數(shù)S(x)，則稱(chēng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)在D上

n?1?一致收斂于函數(shù)S(x)，或稱(chēng)?un(x)在D上一致收斂。

n?1?由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性是由它的部分和函數(shù)列來(lái)決定的，因此有

定理13.3（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)在D上一致收斂?對(duì)

n?1?于???0，?N，使得當(dāng)n?N時(shí)，對(duì)一切x?D和一切正整數(shù)p，都有Sn?p(x)?Sn(x)??，

即un?1(x)?un?2(x)???un?p(x)??。特別地，當(dāng)p?1時(shí)，得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件：

推論：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)在D上一致收斂的必要條件是函數(shù)列?un(x)?在D上一致收斂

n?1?于0。

設(shè)?un(x)?S(x)，x?D，稱(chēng)Rn(x)?S(x)?Sn(x)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的余項(xiàng)。

n?1n?1??5

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定理13.4函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)在D上一致收斂于S(x)?

n?1?limsupRn(x)?limsupS(x)?Sn(x)?0。

n??x?D?n??x?D例5、探討幾何級(jí)數(shù)?rn在所給區(qū)間上的一致收斂性：（1）[?a,a](0?a?1)；（2）(?1,1)。

n?0

三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法

1．用定義；

2．柯西準(zhǔn)則（定理13-3）；

3．定理13-4（必需已知和函數(shù)S(x