人教版五年級數(shù)學上冊【課本】5年級第17講-比例應用題

第十七講比例應用題

在研究兩個量之間的關(guān)系時，經(jīng)常用到和的關(guān)系、差的關(guān)系以及倍數(shù)關(guān)系．之前我們學過的和差倍問題就是關(guān)于這些關(guān)系的．而倍數(shù)關(guān)系還有一種比較常見的表現(xiàn)形式，就是比的關(guān)系．比如，甲有3個蘋果，乙有2個蘋果，我們可以說甲的蘋果是乙的1.5倍，也可以說甲和乙的蘋果數(shù)之比是3:2，讀作3比2．如果甲有6個蘋果，乙有4個蘋果，甲的蘋果仍然是乙的1.5倍，甲和乙的蘋果數(shù)之比是6:4．我們發(fā)現(xiàn)，比的關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系可以如下轉(zhuǎn)化：比比的關(guān)系3:26:4倍數(shù)關(guān)系1.5倍1.5倍由此可見，比的概念與除法的概念密切相關(guān)，我們定義：兩個數(shù)相除又叫做這兩個數(shù)的比．在兩個數(shù)的比中，比號前面的數(shù)叫做比的前項，比號后面的數(shù)叫做比的后項，比的前項除以比的后項所得的商叫做比值．例如：

比的后項比的后項比號比的前項比值比值通常用分數(shù)表示，也可以用小數(shù)或整數(shù)表示．請你想一想：比的前項、后項和比值分別相當于除法算式和分數(shù)中的什么？比的后項可以是0嗎？與除法和分數(shù)一樣，比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變．利用這個性質(zhì)，我們可以像約分一樣，將比化簡．比如6:4=3:2．像這種表示兩個比相等的式子叫做比例（式）．要判斷兩個比是否成比例，就要看它們的比值是否相等．兩個比的比值相等，這兩個比能組成比例，否則不能組成比例．比例有四個項，分別是兩個內(nèi)項和兩個外項．在3:4=9:12中，其中3與12叫做比例的外項，4與9叫做比例的內(nèi)項．比例的四個數(shù)均不能為0．在任意一個比例中，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積．即：如果a︰b=c︰d，那么a×d=b×c．

求比值：求比值：2:5=________；7:3=________；10:4=________．把比化成最簡整數(shù)比：6:15=________；8:12=________；0.2:0.5=________．如果，那么a:b=（）:（）；我國《國旗法》規(guī)定，國旗長寬之比為3:2，若國旗寬是128厘米，則長是________厘米．練一練在表示兩個量之間的關(guān)系時，可以用到和的關(guān)系、差的關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系和分數(shù)倍關(guān)系．除了這些之外，比例也可以用來表示兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系．知道了兩個量之間的比，我們可以方便的按照比例將兩個對象的數(shù)量分配好，這也是本講要重點學習的：按比例分配．例題1．（1）水果店運來了西瓜和哈密瓜共234個．如果西瓜和哈密瓜的個數(shù)比為5:4，那么水果店運來西瓜和哈密瓜各多少個？

（2）阿呆和阿瓜一起去買包子，兩人買的包子數(shù)之比是13:6．又知道阿呆比阿瓜多買了21個包子，那么兩人一共買了多少個包子？「分析」根據(jù)比例設份數(shù)，比如西瓜和哈密瓜的個數(shù)比是5:4，那么可設西瓜有5份，哈密瓜有4份．

練練習1（1）卡莉婭和萱萱一共買了50塊巧克力，卡莉婭的巧克力塊數(shù)和萱萱的比是7:3，那么卡莉婭比萱萱多多少塊巧克力？

（2）小山羊和老山羊去吃草，小山羊和老山羊吃的草量比為5:9，并且老山羊比小山羊多吃了200克的草，那么小山羊吃了多少克的草？例題2．紅旗小學共有師生1081人．其中老師與學生的人數(shù)之比為2:45，男生與女生的人數(shù)之比為5:4．請問：紅旗小學的老師、男生和女生各有多少人？「分析」如何通過師生的人數(shù)比求出學生的總?cè)藬?shù)？又如何利用男、女比例，求出男、女生各有多少？把這兩個問題搞清楚了，本題也就解決了．

練練習2512名士兵分成龍、虎兩個營，將龍營分成甲、乙兩個連，再將乙連分成A、B兩個排．如果每次都按5:3的人數(shù)比來分，那么A排有多少名士兵？

比例除了可以表示兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系，還可以表示多個量之間的倍數(shù)關(guān)系．我們把兩個數(shù)之間的比稱為簡單比，多個數(shù)的比稱為連比．簡單比與連比之間可以互相轉(zhuǎn)化．如果甲:乙=2:3，乙:丙=5:4，那么甲:乙:丙是多少？甲甲乙丙2:35:410:15:12甲:乙:丙=10:15:12例題3．機器人制造廠一月份與二月份生產(chǎn)機器人的個數(shù)比為4:5．后來改進生產(chǎn)技術(shù)，三月份生產(chǎn)的機器人的個數(shù)與二月份的產(chǎn)量之比為5:3．

（1）請寫出三個月的產(chǎn)量的連比；

（2）如果三月份比一月份多生產(chǎn)了78個機器人．請問，這家工廠第一季度共生產(chǎn)多少個機器人？「分析」題目中給出了兩個比，這兩個比之間存在什么樣的關(guān)系呢？你能通過這兩個比求出一月份、二月份和三月份這三個月產(chǎn)量的連比嗎？練練習3育才小學五年級學生分成三批去參觀博物館．第一批與第二批的人數(shù)比是5:4，第二批與第三批的人數(shù)比是3:2．已知第一批的人數(shù)比第二、三批的總和少55人．請問：育才小學五年級一共有多少人？

對于數(shù)量發(fā)生變化的題，題目中比的每一份的含義往往也是不一樣的，不能直接來計算．那么對于這類問題，我們通常要從題中找到不變量，根據(jù)它來統(tǒng)一份數(shù)．我們來看看下面這道題，題中的量是如何變化的？你能找到其中的不變量嗎？

例題4．慢羊羊村長開了一間學校，招了好多小羊和小狼，上學期小羊和小狼的數(shù)量比為1:3，新學期時又轉(zhuǎn)來了20只小羊，導致開學的時候小羊和小狼的數(shù)量比變?yōu)?:5，那么開學時一共有多少只小羊？「分析」題目中也給出了兩個比，這兩個比之間存在什么樣的關(guān)系？我們能像例1那樣，把上學期的小羊和小狼設成1份和3份，這學期的設成3份和5份嗎？練練習4史蒂文森高中去年男生和女生的人數(shù)比為5:3，今年轉(zhuǎn)來了200名男生，使得女生和男生的人數(shù)比變?yōu)?:2，那么今年史蒂文森高中一共有多少名學生？

水面乙丙甲水深例題5．如下圖，甲、乙、丙三根木棒插在水池中，它們的長度之和是360厘米．甲木棒在水面上、下的長度之比為3:1，乙木棒在水面上、下的長度之比為4:3，丙木棒在水面上、下的長度之比為2:3．請問：水深是多少厘米？

水面乙丙甲水深「分析」題目中的三個比涉及到了甲、乙、丙三根木棒的水上部分和水下部分，它們之間有公共的量嗎？

例題6．甲、乙兩包糖的重量比是5:3，如果從甲包取出10克放入乙包后，甲、乙兩包糖的重量比變?yōu)?:5．請問：這兩包糖重量的總和是多少克？「分析」甲包少了10克，乙包多了10克．什么沒有變呢？

黃金分割把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數(shù)，取其前三位數(shù)字的近似值是0.618。由于按此比例設計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這個數(shù)值的作用不僅僅體現(xiàn)在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域，而且在管理、工程設計等方面也有著不可忽視的作用，在很多地方都可以發(fā)現(xiàn)黃金分割的存在。1、1、2、3、5、8、……，這個數(shù)列叫做斐波那契數(shù)列。相鄰兩個菲波那契數(shù)的比值是隨序號的增加而逐漸趨于黃金分割比。黃金分割在造型藝術(shù)中具有美學價值，在工藝美術(shù)和日用品的長寬設計中，采用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的應用也非常廣泛，建筑物中某些線段的比就科學采用了黃金分割，舞臺上的報幕員并不是站在舞臺的正中央，而是偏在臺上一側(cè)，以站在舞臺長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播的最好。就連植物界也有采用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規(guī)律排列著的。下圖是帕特農(nóng)神廟，它的設計很多處都用到了黃金分割。

王老師班上的男生和女生之比為7:5，如果班上有21個男生，那么有多少個女生？書架上有中文書和英文書，一共有20本．其中中文書與英文書的數(shù)量比是2:3，那么中文書有多少本？

青蛙王國共有青蛙900只．其中大青蛙與小青蛙的只數(shù)之比為17:28，小青蛙中，綠皮青蛙與其他青蛙的只數(shù)之比為．那么