第3章 效用函數(shù)

第3章

效用函數(shù)3.1引言3.2效用的定義和公理系統(tǒng)3.3效用函數(shù)的構(gòu)造3.4風(fēng)險(xiǎn)與效用3.5貨幣的效用3.6阿萊斯悖論(Allais’sparadox)3.1引言在定量評價(jià)可能的行動的各種后果時(shí)，會遇到兩個(gè)主要問題:(1)后果本身是用語言表述，可能沒有任何合適的直接測量標(biāo)度。(2)即使有一個(gè)明確的標(biāo)度可以測量后果，按這個(gè)標(biāo)度測得的量也可能并不反映后果對決策人的真正價(jià)值。3.1引言這個(gè)例子說明：即使是數(shù)值量表示的后果，它對決策人的實(shí)際價(jià)值仍有待確定。0實(shí)際價(jià)值100錢100100100000例3.1考慮錢對同一個(gè)人的價(jià)值。假設(shè)一個(gè)學(xué)生手頭緊張，正好有機(jī)會掙100元錢，但是所要做的是他相當(dāng)討厭的工作。（1）如他經(jīng)濟(jì)情況差，他會認(rèn)為100元錢的實(shí)際價(jià)值足夠大，所要做的工作即使是相當(dāng)討厭的，他仍會去干；（2）如他先有了10000元，要為100元錢去干這份讓他討厭的工作，他就很可能不干了。

3.1引言例3.2決策人面臨圖3.1中決策樹所示的選擇：①確定收入禮品1000元；②參與一次抽獎：有50%的機(jī)會得0元，50%的機(jī)會得2500元。

有人選確定性的1000元的收入。抽獎的期望值雖大，風(fēng)險(xiǎn)也大，實(shí)際價(jià)值還不如保險(xiǎn)的1000元。而有人認(rèn)為禮品不如抽獎，因?yàn)槌楠勌峁┝双@得2500元的機(jī)會。

這個(gè)例子說明：決策人的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度影響其對后果的實(shí)際價(jià)值判斷。圣彼得堡悖論

(St.PetersburgParadox/game)

圣彼得堡悖論是數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利（DanielBernoulli）的表兄尼古拉·伯努利(NicolausBernoulli)在1738提出的一個(gè)概率期望值悖論，它來自于一種擲幣游戲，即圣彼得堡游戲(表1)。問題：你愿意花100元來參加一次圣彼得堡游戲嗎？圣彼得堡悖論的解釋1：(一)邊際效用遞減論

DanielBernoulli在提出這個(gè)問題的時(shí)候就給出一種解決辦法。他認(rèn)為游戲的期望值計(jì)算不應(yīng)該是金錢，而應(yīng)該是金錢的期望效用，即利用眾所周知的“期望效用遞減律”，將金錢的效用測度函數(shù)用貨幣值的對數(shù)來表示:效用=log(貨幣值)，如表2所示。所有結(jié)果的效用期望值之和將為一個(gè)有限值log(4)≈0.60206，如果這里的效用函數(shù)符合實(shí)際，則理性決策應(yīng)以4元為界。圣彼得堡悖論的解釋2：(二)風(fēng)險(xiǎn)厭惡論圣彼得堡悖論對于獎金額大小沒有限制。比如連續(xù)投擲40次才成功的話，獎金為1.1萬億元。但是這一獎金出現(xiàn)的概率極小，1.1萬億次才可能出現(xiàn)一次。實(shí)際上，游戲有一半的機(jī)會，其獎金為2元，四分之三的機(jī)會得獎4元和2元。獎金越少，機(jī)會越大，獎金越大，機(jī)會越小。Hacking（1980）所說：花25元的費(fèi)用冒險(xiǎn)參與游戲?qū)⑹欠浅Ｓ薮赖?，雖有得大獎的機(jī)會，但是風(fēng)險(xiǎn)太大。因此，考慮采用風(fēng)險(xiǎn)厭惡因素的方法可以消解矛盾。PualWeirich就提出在期望值計(jì)算中加人一種風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子，并得出了游戲費(fèi)用的有限期望值，認(rèn)為這種方法實(shí)際上解決了該悖論。圣彼得堡悖論的解釋3：(三)效用上限論

也有一種觀點(diǎn)認(rèn)為獎金的效用可能有一個(gè)上限，這樣，期望效用之和就有了一個(gè)極限值。Menger認(rèn)為效用上限是惟一能消解該悖論的方法。設(shè)效用值等于貨幣值，上限為100單位，則游戲的期望效用為7.56l25，如表3所示。圣彼得堡悖論的解釋4：(四)結(jié)果有限論Gustason認(rèn)為，要避免矛盾，必須對期望值概念進(jìn)行限制，其一是限制其結(jié)果的數(shù)目；其二是把其結(jié)果值的大小限制在一定的范圍內(nèi)。這是典型的結(jié)果有限論，這一觀點(diǎn)是從實(shí)際出發(fā)的。因?yàn)閷?shí)際上，游戲的投擲次數(shù)總是有限的數(shù)。比如對游戲設(shè)定某一個(gè)投擲的上限數(shù)L，在投擲到這個(gè)數(shù)的時(shí)候，如果仍然沒有成功，也結(jié)束游戲，不管你還能再投多少，就按照L付錢。因?yàn)槟慵幢悴辉O(shè)定L，實(shí)際上也總有投到頭的時(shí)候，人的壽命總是有限的，任何原因都可以使得游戲中止?，F(xiàn)在設(shè)定了上限，期望值自然也就可以計(jì)算了。

3.1引言由上面例子可知：在進(jìn)行決策分析時(shí)，存在如何描述或表達(dá)后果對決策人的實(shí)際價(jià)值，以便反映決策的人心目中各種后果的偏好次序（preferenceorder）的問題。偏好次序是決策人的個(gè)性與價(jià)值觀的反映，它與決策人所處的社會地位、經(jīng)濟(jì)地位、文化素養(yǎng)、心理和生理（身體）狀態(tài)有關(guān)。3.2效用的定義和公理系統(tǒng)3.2.1效用的定義3.2.2效用存在性公理3.2.3效用的公理化定義和效用的存在性3.2.4基數(shù)效用與序數(shù)效用3.2.1效用的定義效用（utility）：消費(fèi)者從消費(fèi)商品中得到的滿足程度。效用完全是消費(fèi)者的一種主觀心理感受。滿足程度越高，效用越大；滿足程度越低，效用越小。對效用的理解:《最好吃的東西》兔子和貓爭論，世界上什么東西最好吃。兔子說，“世界上蘿卜最好吃。蘿卜又甜又脆又解渴，我一想起蘿卜就要流口水?！必埐煌?，說，“世界上最好吃的東西是老鼠。老鼠的肉非常嫩，嚼起來又酥又松，味道美極了！”兔子和貓爭論不休、相持不下，跑去請猴子評理。猴子聽了，不由得大笑起來：“瞧你們這兩個(gè)傻瓜蛋，連這點(diǎn)兒常識都不懂！世界上最好吃的東西是什么？是桃子！桃子不但美味可口，而且長得漂亮。我每天做夢都夢見吃桃子?！蓖米雍拓埪犃耍贾睋u頭。那么，世界上到底什么東西最好吃？以上的故事說明效用完全是個(gè)人的心理感覺。不同的偏好決定了對同一種商品效用大小的不同評價(jià)。3.2.1效用的定義在決策理論中，后果對決策人的實(shí)際價(jià)值，即決策人對后果的偏好次序是用效用(utility)來描述的。效用就是偏好的量化，是數(shù)(實(shí)值函數(shù))。1738年，DanielBernoulli就指出：若一個(gè)人面臨從給定行動集(風(fēng)險(xiǎn)性展望集)中作選擇的決策問題，如果他知道與給定行動有關(guān)的將來的自然狀態(tài)，且這些狀態(tài)出現(xiàn)的概率已知或可以估計(jì)，則他應(yīng)選擇對各種可能后果的偏好的期望值最高的行動。一、效用的基本概念與符號(1)嚴(yán)格序“

”

a

b(或者記作aPb)的含義是“a優(yōu)于b”(aispreferredtob)；也就是說，若非外界因素的強(qiáng)迫，決策人只會選擇a而不會選擇b。一、效用的基本概念與符號

(2)無差異“～”

a～b(或記作aIb)的含義是“a無差異于b”(aisindifferencetob)；也就是說，決策人對選擇或同樣滿意。一、效用的基本概念與符號(3)弱序“≥”記作aRb，含義是“a不劣于b”，亦即a優(yōu)于或者無差異于b。一、效用的基本概念與符號

(4)展望(prospect)

展望指決策的可能的前景，即各種后果及后果出現(xiàn)的概率的組合，記作P=<p1,c1;p2,c2;…;pr,cr;>.

在例3.2的決策問題中，后果集C={1000,2500,0},采取行動a1和a2時(shí)的展望分別是:P1=<1.0,1000;0,2500;0,0>P2=<0,1000;0.5,2500;0.5,0>

(4)展望(prospect)

展望既考慮各種后果Ci,又考慮了各種后果出現(xiàn)的概率(客觀概率pi或主觀概率πi),全面地描述了在決策問題中采取某種行動的可能前景。復(fù)合展望一、效用的基本概念與符號(5)抽獎與確定當(dāng)量由機(jī)會點(diǎn)和該機(jī)會點(diǎn)發(fā)出的n個(gè)機(jī)會枝的概率及相應(yīng)后果構(gòu)成的圖形稱為抽獎（lottery），抽獎又稱彩票。若C1~(p,C2;(1-P),C3),

則稱確定性后果C1為抽獎(p,C2;(1-P),C3)的確定當(dāng)量（certaintyequivalent）。二、效用的定義

根據(jù)上述討論和記號，可以初步給出效用函數(shù)的定義如下。

定義3.1

在集合P上的實(shí)值函數(shù)u，若它和P上的優(yōu)先關(guān)系≥一致，即：若P1,P2屬于P，P1≥P2當(dāng)且僅當(dāng)u(P1)≥u(P2)，則稱u為效用函數(shù)。把效用函數(shù)定義在展望集P上而不是定義在后果集C上，是為了使效用函數(shù)能夠反映決策人對風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度。3.2.2效用存在性公理定義3.1給出了效用函數(shù)的最基本性質(zhì)，這就是可以根據(jù)它的大小來判斷展望P的優(yōu)劣。但是這樣的效用函數(shù)是否一定存在呢?回答是不一定。至于決策人的價(jià)值判斷在滿足什么條件時(shí)存在與之一致的效用函數(shù)，vonNeumann-Morgenstern(1944)給出了效用的存在性公理，又稱理性行為公理。該公司試制新產(chǎn)品方案在決策分析中，可以表示為一個(gè)簡單事態(tài)體，即T=(0.6，20；0.4，-5)傳遞性推導(dǎo):P1P2αP1+(1-α)P1αP2+(1-α)P2αP1+(1-α)P3αP2+(1-α)P3

公理3.3表明兩個(gè)有序的展望各有相同的比例被相等的量替代后，優(yōu)先關(guān)系不變.例3.3橫過馬路問題:效用有界性證明3.2.3效用的公理化定義和效用的存在性3.2.3效用函數(shù)的存在性3.2.4基數(shù)效用與序數(shù)效用基數(shù)：為實(shí)數(shù)，如1，2，3,π序數(shù)：如第一，二，…，4，3，2，1基數(shù)性效用函數(shù)與序數(shù)效用函數(shù)區(qū)別：基數(shù)效用定義在展望集P上(考慮后果及其概率分布),是實(shí)數(shù)；序數(shù)效用定義在后果集C上，不涉及概率，可以是整正數(shù).基數(shù)效用反映偏好強(qiáng)度(正線性變換下唯一，即原數(shù)列可變換為:b+c,2b+c,3b+c,100b+c;其中b,c∈R1,b＞0.）序數(shù)效用不反映偏好強(qiáng)度，(保序變換下唯一),原序數(shù)列可變換為16,9,4,1；或8,6,4,2,或10,7,6,1等.3.2.4基數(shù)效用與序數(shù)效用

基數(shù)(cardinalnumber)效用：邊際效用分析方法

總效用（TOTALUTILITY，TU）：消費(fèi)者在一定時(shí)間內(nèi)從一定數(shù)量商品的消費(fèi)中所得到的效用量的總和;邊際效用（MARGINALUTILITY，MU）：消費(fèi)者在一定時(shí)間內(nèi)增加一單位商品的消費(fèi)所得到的效用量的增量.序數(shù)(ordinalnumber)效用：無差異曲線分析方法?？怂拐J(rèn)為，效用的數(shù)值表現(xiàn)只是為了表達(dá)偏好的順序，并非效用的絕對數(shù)值?，F(xiàn)在比較通用的是序數(shù)效用。經(jīng)過反復(fù)提問，讓公司決策者反復(fù)對比和權(quán)衡。當(dāng)p=0.8時(shí)，決策者偏好風(fēng)險(xiǎn)方案；當(dāng)p=0.5時(shí)，決策者轉(zhuǎn)向偏好無風(fēng)險(xiǎn)方案。當(dāng)p=0.6時(shí)，決策者對兩種方案無所偏好，即確定無差異關(guān)系式O~（0.6，o*；0.4，oo）因此，效用值u（o）=0.63.3效用函數(shù)的構(gòu)造1．估計(jì)效用函數(shù)值的方法2．離散型后果的效用設(shè)定3．連續(xù)型后果的效用函數(shù)構(gòu)造4．用解析函數(shù)近似效用曲線1．估計(jì)效用函數(shù)值的方法⑴概率當(dāng)量法⑵確定當(dāng)量法⑶增益當(dāng)量法⑷損失當(dāng)量法

從純理論角度看，這四種方法并沒有實(shí)質(zhì)性的區(qū)別；但是實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，使用確定當(dāng)量法時(shí)決策人對最優(yōu)后果（增益）的保守性和對損失的冒險(xiǎn)性都比概率當(dāng)量法嚴(yán)重(Hershey，1982）；采用增益當(dāng)量法與損失當(dāng)量法時(shí)產(chǎn)生的誤差也比用概率當(dāng)量法大，因此只要有可能，應(yīng)該盡可能使用概率當(dāng)量法。

⑴概率當(dāng)量法2．離散型后果的效用設(shè)定后果為離散型隨機(jī)變量時(shí)，后果集C中元素為有限個(gè)，構(gòu)造后果集上的效用函數(shù)有兩方面的內(nèi)容:(1)確定各后果之間的優(yōu)先序;(2)確定后果之間的優(yōu)先程度。離散型后果效用值的設(shè)定可以采用概率當(dāng)量法，簡稱NM法。NM法步驟如下：例3.6

例3.6

天氣預(yù)報(bào)說球賽時(shí)可能有雨，一個(gè)足球愛好者要決定是否去球場看球。首先作該問題的決策樹如圖所示。由題意可知決策人對四種后果優(yōu)劣的排序是：c2c3c4c1。步驟:第一步:令u(c1)=0,u(c2)=1。第二步:詢問決策人，下雨在家看電視這種后果與去球場看球有多大概率下雨被淋相當(dāng)，若決策人的回答是0.3，則c30.7c2+0.3c1，u(c3)＝0.7u(c2)＝0.7。第三步:詢問決策人，無雨看電視這種后果與去球場看球有多大概率下雨被淋相當(dāng)，若決策人的回答是0.6，則c4

0.4c2+0.6c1，得u(c4)＝0.4c2＝0.4。第四步:進(jìn)行一致性校驗(yàn)。c3

0.4c2+0.6c4，則u’(c3)=0.64≠0.7。重復(fù)二、三，若u(c3)不變，則調(diào)整u(c4)=0.5，決策人仍認(rèn)為c3

0.4c2+0.6c4，則通過校驗(yàn)。3．連續(xù)型后果的效用函數(shù)構(gòu)造當(dāng)后果c為連續(xù)變量時(shí)，上述方法就不再適用。但是如果能通過分析找到u(c)的若干特征值，求特征點(diǎn)的效用后，再連成光滑曲線；或者u(c)是連續(xù)、光滑的,則可以分段構(gòu)造u(c)。每天學(xué)習(xí)時(shí)間與效用隨著學(xué)習(xí)時(shí)間的增加，效用值也會有所增加但是由于進(jìn)