微分幾何練習(xí)題庫(kù)及參考答案(已修改)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——微分幾何練習(xí)題庫(kù)及參考答案(已修改)《微分幾何》復(fù)習(xí)題與參考答案

一、填空題

1．極限lim[(3t2?1)i?t3j?k]?13i?8j?k．

t?22．設(shè)f(t)?(sint)i?tj，g(t)?(t2?1)i?etj，求lim(f(t)?g(t))?0．

t?03．已知?r(t)dt=??1,2,3?，?r(t)dt=??2,1,2?，a??2,1,1?，b??1,?1,0?，則

2446?42a?r(t)dt+b??a?r(t)dt=?3,?9,5?.

264．已知r?(t)?a（a為常向量），則r(t)?ta?c．

15．已知r?(t)?ta，（a為常向量），則r(t)?t2a?c．

26.最“貼近〞空間曲線的直線和平面分別是該曲線的___切線___和密切平面____.7.曲率恒等于零的曲線是_____直線____________.8.撓率恒等于零的曲線是_____平面曲線________.

9.切線（副法線）和固定方向成固定角的曲線稱為一般螺線.10.曲線r?r(t)在t=2處有??3?，則曲線在t=2處的曲率k=3.11.若在點(diǎn)(u0,v0)處ru?rv?0，則(u0,v0)為曲面的_正常______點(diǎn).12．已知f(t)?(2?t)j?(lnt)k，g(t)?(sint)i?(cost)j，t?0，則?13．曲線r(t)??2t,t3,et?在任意點(diǎn)的切向量為?2,3t2,et?．14．曲線r(t)??acosht,asinht,at?在t?0點(diǎn)的切向量為?0,a,a?．15．曲線r(t)??acost,asint,bt?在t?0點(diǎn)的切向量為?0,a,b?．

d(f?g)dt?2?6cos4．

dt041x?ee?z?1．16．設(shè)曲線C:x?et,y?e?t,z?t2，當(dāng)t?1時(shí)的切線方程為?1e2?ey?17．設(shè)曲線x?etcost,y?etsint,z?et，當(dāng)t?0時(shí)的切線方程為x?1?y?z?1.18.曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線網(wǎng)的充要條件是____F=M=0_______________.19.u－曲線（v－曲線）的正交軌線的微分方程是_____Edu+Fdv＝0（Fdu+Gdv＝0）__.20.在歐拉公式kn?k1cos2??k2sin2?中，?是方向(d)與u－曲線的夾角.21.曲面的三個(gè)基本形式?,??,???、高斯曲率?、平均曲率?之間的關(guān)系是????2H???K??0.22．已知r(u,v)??u?v,u?v,uv?，其中u?t2,v?sint，則23．已知r(?,?)??acos?cos?,dr??2t?cost,2t?cos,2tvt?ucostdt?．

acos?sin?,asin??，其中??t，??t2，則

1

dr(?,?)???asin?cos??2atcos?sin?,dt?asin?sin??2atcos?cos?,acos??．

24．設(shè)r?r(u,v)為曲面的參數(shù)表示，假使ru?rv?0，則稱參數(shù)曲面是正則的；假使r:G?r(G)是一一對(duì)應(yīng)的，則稱曲面是簡(jiǎn)單曲面．

25．假使u?曲線族和v?曲線族四處不相切，則稱相應(yīng)的坐標(biāo)網(wǎng)為正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng)．26．平面r(u,v)??u,v,0?的第一基本形式為du2?dv2，面積微元為dudv．

27．懸鏈面r(u,v)??coshucosv,coshusinv,u?第一基本量是E?cosh2u，F(xiàn)?0,G?cosh2u．28．曲面z?axy上坐標(biāo)曲線x?x0，y?y0的交角的余弦值是a2x0y0(1?ax0)(1?ay0)2222.

29．正螺面r(u,v)??ucosv,usinv,bv?的第一基本形式是du2?(u2?b2)dv2．30．雙曲拋物面r(u,v)??a(u?v),b(u?v),2uv?的第一基本形式是

(a2?b2?4v2)du2?2(a2?b2?4uv)dudv?(a2?b2?4u2)dv2．31．正螺面r(u,v)??ucosv,usinv,bv?的平均曲率為0．

32．方向(d)?du:dv是漸近方向的充要條件是kn(d)?0或Ldu2?2Mdudv?Ndv2?0．33.方向(d)?du:dv和(δ)?δu:δv共軛的充要條件是

II(dr,δr)?0或Lduδu?M(duδv?dvδu)?Ndvδv?0．

?E?L34.?是主曲率的充要條件是

?F?M?F?M?0．

?G?NEdu?FdvLdu?Mdvdv2?0或EL?dudvdu2FMG?0．N35.(d)?du:dv是主方向的充要條件是

Fdu?GdvMdu?Ndv36.根據(jù)羅德里格斯定理，假使方向(d)?(du:dv)是主方向，則

dn??kndr，其中kn是沿方向(d)的法曲率．37．旋轉(zhuǎn)曲面中的微小曲面是平面或懸鏈面．

38．測(cè)地曲率的幾何意義是曲面S上的曲線在P點(diǎn)的測(cè)地曲率的絕對(duì)值等于(C)在P點(diǎn)的切平面?上的正投影曲線(C*)的曲率．39．k,kg,kn之間的關(guān)系是k2?kg2?kn2．

40．假使曲面上存在直線，則此直線的測(cè)地曲率為0．41．正交網(wǎng)時(shí)測(cè)地線的方程為

2

EvGu?d?=cos??sin??ds2EG2GE??ducos?．?=E?ds?dvsin??=G?ds42．曲線是曲面的測(cè)地線，曲線(C)上任一點(diǎn)在其切平面的正投影曲線是直線.二、單項(xiàng)選擇題

1．已知r(t)??et,t,e?t?，則r??(0)為（A）．

A.?1,0,1?；B.??1,0,1?；C.?0,1,1?；D.?1,0,?1?.2．已知r?(t)??r(t)，?為常數(shù)，則r(t)為（C）．

A.?ta；B.?a；C.e?ta；D.e?a.其中a為常向量．

3.曲線(C)是一般螺線，以下命題不正確的是（D）．

A．切線與固定方向成固定角；B．副法線與固定方向成固定角；C．主法線與固定方向垂直；

D．副法線與固定方向垂直．

4.曲面在每一點(diǎn)處的主方向（A）

A．至少有兩個(gè)；B．只有一個(gè)；C．只有兩個(gè)；D．可能沒(méi)有.5．球面上的大圓不可能是球面上的（D）

A．測(cè)地線；B．曲率線；C．法截線；D．漸近線．.6.已知r(x,y)??x,y,xy?，求dr(1,2)為（D）．

A.?dx,dy,dx?2dy?；B.?dx?dy,dx?dy,0?；C.?dx-dy,dx+dy,0?；D.?dx,dy,2dx?dy?.7．圓柱螺線r??cost,sint,t?的切線與z軸（C）.

A.平行；B.垂直；C.有固定夾角

??；D.有固定夾角.438．設(shè)平面曲線C:r?r(s)，s為自然參數(shù)，?,?是曲線的基本向量．表達(dá)錯(cuò)誤的是（C）．

A.?為單位向量；B.???；C.???k?；D.???k????.9．直線的曲率為（B）．

A.-1；B.0；C.1；D.2.

10．關(guān)于平面曲線的曲率C:r?r(s)不正確的是（D）．

A.k(s)??(s)；B.k(s)??(s)，?為?(s)的旋轉(zhuǎn)角；C.k(s)?????；D.k(s)?|r(s)|.

11．對(duì)于曲線，“曲率恒等于0〞是“曲線是直線〞的（D）．

3

A.充分不必要條件；B.必要不充分條件；C.既不充分也不必要條件；D.充要條件.12．以下論述不正確的是（D）．

A.?,?,?均為單位向量；B.???；C.???；D.??.13．對(duì)于空間曲線C，“撓率為零〞是“曲線是直線〞的（B）．

A.充分不必要條件；B.必要不充分條件；C.既不充分也不必要條件；D.充要條件.14．x?a(t?sint),y?a(1?cost),z?4asint?在點(diǎn)t?的切線與z軸關(guān)系為（D）．22A.垂直；B.平行；C.成

??的角；D.成的角.34x2y2z215．橢球面2?2?2?1的參數(shù)表示為（C）．

abcA.?x,y,z???cos?cos?,cos?sin?,sin??；B.?x,y,z???acos?cos?,bcos?sin?,sin??；C.?x,y,z???acos?cos?,bcos?sin?,csin??；D.?x,y,z???acos?cos?,bsin?cos?,csin2??.

16．曲面r(u,v)??2u?v,u2?v2,u3?v3?在點(diǎn)M(3,5,7)的切平面方程為（B）．

A.21x?3y?5z?20?0；B.18x?3y?4z?41?0；C.7x?5y?6z?18?0；D.18x?5y?3z?16?0.

17．球面r(u,v)??Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu?的第一基本形式為（D）．

A.R2(du2?sin2udv2)；B.R2(du2?cosh2udv2)；C.R2(du2?sinh2udv2)；D.R2(du2?cos2udv2).18．正圓柱面r(u,v)??Rcosv,Rsinv,u?的第一基本形式為（C）．

A.du2?dv2；B.du2?dv2；Cdu2?R2dv2；D.du2?R2dv2.19．在第一基本形式為I(du,dv)?du2?sinh2udv2的曲面上，方程為u?v(v1?v?v2)的曲線段的

弧長(zhǎng)為（B）．

A．coshv2?coshv1；B．sinhv2?sinhv1；C．coshv1?coshv2；D．sinhv1?sinhv2．

20．設(shè)M為正則曲面，則M的參數(shù)曲線網(wǎng)為正交曲線網(wǎng)的充要條件是（B）．

A．E?0；B．F?0；C．G?0；D．M?0．21．高斯曲率為零的的曲面稱為（A）．

A．微小曲面；B．球面；C．常高斯曲率曲面；D．平面．22．曲面上直線（假使存在）的測(cè)地曲率等于（A）．

A．0；B．1；C．2；D．3．

4

23．當(dāng)參數(shù)曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時(shí)，參數(shù)曲線u-曲線的測(cè)地曲率為（B）．A．?lnE1?lnE；B．?；

2E?u2G?v1?lnG1?lnE；D．．

2E?v2G?u1C．?24．假使測(cè)地線同時(shí)為漸近線，則它必為（A）．

A．直線；B．平面曲線；C．拋物線；D．圓柱螺線．三、判斷題（正確打√，錯(cuò)誤打×）

1.向量函數(shù)r?r(t)具有固定長(zhǎng)度，則r?(t)?r(t).√2.向量函數(shù)r?r(t)具有固定方向，則r?(t)r(t).√

3.向量函數(shù)r(t)關(guān)于t的旋轉(zhuǎn)速度等于其微商的模r?(t).×4.曲線?的曲率、撓率都為常數(shù)，則曲線?是圓柱螺線.×5.若曲線?的曲率、撓率都為非零常數(shù)，則曲線?是圓柱螺線.√6.圓柱面r?{Rcos?,Rsin?,z},z?線是漸近線.√7.兩個(gè)曲面間的變換等距的充要條件是它們的第一基本形式成比例.×8.兩個(gè)曲面間的變換等角的充要條件是它們的第一基本形式成比例.√9.等距變換一定是保角變換.√

10.保角變換一定是等距變換.×11.空間曲線的位置和形狀由曲率與撓率唯一確定.×