上海交大物理答案（上）

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習(xí)題

1-1.已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為

r?R(cosωti?sinωtj)

其中?為常量．求：（1）質(zhì)點(diǎn)的軌道；(2)速度和速率。

解：1）由r?R(cosωti?sinωtj)知x?Rcosωty?Rsinωt

消去t可得軌道方程x2?y2?R2

2）v?drdt??ωRsinωti?ωRcosωtj

12v?[(?ωRsinωt)2?(ωRcosωt)2]?ωR

1-2.已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為r?4t2i?(3?2t)j，式中r的單位為m，

t的單位為s.求：（1）質(zhì)點(diǎn)的軌道；（2）從t?0到t?1秒的位移；（3）t?0和t?1秒兩時(shí)

刻的速度。

解：1）由r?4t2i?(3?2t)j可知

x?4ty?3?2t

2消去t得軌道方程為：x?(y?3)2）v?Δr?drdt102

?8ti?2j

?vdt??10(8ti?2j)dt?4i?2

3）v(0)?2jv(1)?8i?2j

1-3.已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為r?ti?2tj，式中r的單位為m，t的單位為s.求：（1）任一時(shí)刻的速度和加速度；（2）任一時(shí)刻的切向加速度和法向加速度。

解：1）v?a?drdtdvdt?2ti?2j?2i

2

2）v?[(2t)?4]212?2(t?1)212at?dvdt?2tt?12

an?a2?at2?2t?121-4.一升降機(jī)以加速度a上升，在上升過程中有一螺釘從天花板上松落，升降機(jī)的天花板與底板相距為d，求螺釘從天花板落終究板上所需的時(shí)間。

解：以地面為參照系，坐標(biāo)如圖，升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為

y1?v0t?12at（1）12gt（2）

22圖1-4

y2?h?v0t?y1?y2（3）

解之t?2dg?a1-5.一質(zhì)量為m的小球在高度h處以初（1）小球的運(yùn)動(dòng)方程；

（2）小球在落地之前的軌跡方程；（3）落地前瞬時(shí)小球的

drdtdvdt速度v0水平拋出，求：

，，

dvdt.

解：（1）x?v0t式（1）

y?h?12gt式（2）

12gt)j

22r(t)?v0ti?(h-（2）聯(lián)立式（1）、式（2）得y?h?gx2v2

20（3）

drdt?v0i-gtj而落地所用時(shí)間t?drdt22hg

所以

v?2?v0i-22ghj

2dvdt??gj

?vy?v0?(?gt)

g2ghg2tdv??12dt[v2?(gt)2]12(v0?2gh)201-6.路燈距地面的高度為h1，一身高為h2的人在路燈下以勻速v1沿直線行走。試證明

人影的頂端作勻速運(yùn)動(dòng)，并求其速度v2.

證明：設(shè)人從O點(diǎn)開始行走，t時(shí)刻人影中足的坐標(biāo)為x1，人影中頭的坐標(biāo)為x2，由幾何關(guān)系可得圖1-6

x2x2?x1?h1h2而x1?v0t

所以，人影中頭的運(yùn)動(dòng)方程為x2?h1x1h1?h2?h1th1?h2v0

人影中頭的速度v2?dx2dt?h1h1?h2v0

1-7.一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x?2?4t?2t2(m)，在t從0秒到3秒的時(shí)間間隔內(nèi)，則質(zhì)點(diǎn)走過的路程為多少？

解：v?dxdt?4?4t若v?0解的t?1s

?x1?x1?x0?(2?4?2)?2?2m

2?x3?x3?x1?(2?4?3?2?3)?(2?4?2)??8m

?x??x1??x2?10m

1-8.一彈性球直落在一斜面上，下落高度

h?20cm，斜面對(duì)水平的傾角??30?，問它

其次次球碰斜角)。

圖1-8

碰見斜面的位置距原來的下落點(diǎn)多遠(yuǎn)(假設(shè)小面前后速度數(shù)值相等，碰撞時(shí)人射角等于反射

一

解：小球落地時(shí)速度為v0?點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖

2gh建立直角坐標(biāo)系，以小球第一次落地

00?v0cos60x?v0cos60t?01212gcos60t（1）gsin60t（2）

0202vy0?v0sin60y?v0sin60t?其次次落地時(shí)y?0t?2v0g00

所以x?v0cos60t?012gcos60t02?2v0g2?0.8m

1-9.地球的自轉(zhuǎn)角速度最大增加到若干倍時(shí)，赤道上的物體仍能保持在地球上而不致離開地球?已知現(xiàn)在赤道上物體的向心加速度約為3.4cm/s2，設(shè)赤道上重力加速度為

29.80m/s.

解：赤道上的物體仍能保持在地球必需滿足g?R?2

3.4?10R?2現(xiàn)在赤道上物體???

????9.83.4?10?2?17

1-10.已知子彈的軌跡為拋物線，初速為v0，并且v0與水平面的夾角為?.試分別求出拋物線頂點(diǎn)及落地點(diǎn)的曲率半徑。

解：在頂點(diǎn)處子彈的速度v?v0cos?，頂點(diǎn)處切向加速度為0。

v2因此有：g???(v0cos?)2???2v0cos?gv0222

在落地點(diǎn)速度為v0gcos??v0???gcos?

1-11.飛機(jī)以v0?100m/s的速度沿水平直線飛行，在離地面高h(yuǎn)?98m時(shí)，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標(biāo)上，問：投放物品時(shí)，駕駛員看目標(biāo)的視線和豎直線應(yīng)成什么角度?此時(shí)目標(biāo)距飛機(jī)下方地點(diǎn)多遠(yuǎn)?

解：設(shè)此時(shí)飛機(jī)距目標(biāo)水平距離為x有：x?v0th?x12gt

20聯(lián)立方程解得：x?447m??arctan?77.5

h1-12.設(shè)將兩物體A和B分別以初速vA和vB拋擲出去．vA與水平面的夾角為?；vB與水平面的夾角為?，試證明在任何時(shí)刻物體B相對(duì)物體A的速度是常矢量。

解：兩個(gè)物體在任意時(shí)刻的速度為?i?(v0sin??gt)jvA?v0cos?-gt)jvB?v0cos?i?(v0sin

?vBA?vB-vA?(v0cos??v0cos?)i?(v0sin??v0sin?)j

與時(shí)間無關(guān)，故B相對(duì)物體A的速度是常矢量。

1-13.一物體和探測(cè)氣球從同一高度豎直向上運(yùn)動(dòng)，物體初速為v0?49.0m/s，而氣球以速度v?19.6m/s勻速上升，問氣球中的觀測(cè)者在其次秒末、第三秒末、第四秒末測(cè)得物體的速度各多少？

物體在任意時(shí)刻的速度表達(dá)式為vy?v0?gt故氣球中的觀測(cè)者測(cè)得物體的速度?v?vy?v代入時(shí)間t可以得到其次秒末物體速度?v?9.8m第三秒末物體速度?v?0第四秒末物體速度?v??9.8mss

1-14.質(zhì)點(diǎn)沿x在軸向運(yùn)動(dòng)，加速度a??kv，k為常數(shù)．設(shè)從原點(diǎn)出發(fā)時(shí)速度為v0，求運(yùn)動(dòng)方程x?x(t).

解：

dvdtdxdt??kv?v0e?kt?vv01vdv??tt0?kdtv?v0e?kt?kt

?x0dx??0v0edt

x?v0k(1?e?kt)

1-15.跳水運(yùn)動(dòng)員自10m跳臺(tái)自由下落，入水后因受水的阻礙而減速，設(shè)加速度

a??kv，k?0.4m2?1.求運(yùn)動(dòng)員速度減為入水速度的10%時(shí)的入水深度。

解：取水面為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為x軸跳水運(yùn)動(dòng)員入水速度v0?22gh?14mv0s

x0?kv?1kdvdt?vdvdx