加法乘法原理教師

加法原理一、知識(shí)概要1.加法原理如果完成一件任務(wù)有幾類方法，在第一類方法中有m1種不同的方法；在第二類中有m2種不同的方法；…在第n類方法中有mn種不同的方法；那么，完成這件任務(wù)總共就有N=m1+m2+…+mn種不同的方法。這就是加法原理。2.意義加法原理是計(jì)數(shù)方法中的常用的重要原理之一，也常用于我們的生活實(shí)際，我們一定要掌握好這個(gè)原理。二、典型題目精講1.一個(gè)盒子里裝有5個(gè)小球，另一個(gè)盒子里裝有9個(gè)小球，所有這些小球顏色各不相同。若從兩個(gè)盒子里任取一球，有多少種不同的取法？分析：要么從第一個(gè)盒子任取一球，有5種取法；要么從第二個(gè)盒子任取一球，有9種取法；總共則有9+5種取法。解：5+9=14(種)答：有14種不同的取法。2.將5，6，7，8，9這五個(gè)數(shù)字從小到大排成一行，在這五個(gè)數(shù)中間任意插入加號(hào)(要求最少加一個(gè)加法)，可以得到多少種不同的和？分析：因?yàn)?_6_7_8_9五個(gè)數(shù)之間有4個(gè)間隔，所以，要先成“加加號(hào)”這個(gè)任務(wù)，有四種不同的方法，是加法原理，我們分四步來(lái)解決。第一步，加一個(gè)加號(hào)，有4種方法，第二步，加2個(gè)加號(hào)，有6種方法；第三步，加3個(gè)加號(hào)，有4種方法；第四步加4個(gè)加號(hào)，有1種方法。解：4+6+4+1=15(種)答：可以得到15種不同的和。3.上海去江蘇某地，每天有3班火車、6班汽車和4班輪船。試問(wèn)：乘坐這些交通工具有多少種不同的走法？分析：坐火車有3種走法，坐汽車有6種走法；坐輪船有4種走法。不論乘坐哪種交通工具，都能完成“去江蘇某地”的任務(wù)，故是加法原理。解：3+6+4=13(種)答：乘坐這些交通工具有13種不同的走法。4.小明有1分、2分、5分硬幣各一枚，用這些硬幣能表示出多少種不同的布值？分析：用1枚表示時(shí)，有3種；用2枚表示時(shí)，有3種；用3枚表示時(shí)，有1種；再求一共有多少種，故運(yùn)用加法原理。解：3+3+1=7(種)答：能表示出7種不同的布值。5.如圖所示，從A點(diǎn)沿實(shí)線走最短的路線到B點(diǎn)，共有多少種不同的走法？分析：如圖(二)從A點(diǎn)到B點(diǎn)去的走法有兩大類，一類是從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)C點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)；另一類是從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)D點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)。然而，C、D又分別有過(guò)E和F，F(xiàn)和G的走法總數(shù)的走法，依次反推到A點(diǎn)，便知圖中每個(gè)點(diǎn)的走法總數(shù)。所以，這是加法原理。解：20+15=35(種)答：共有35種不同的走法6.在□處填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使四位數(shù)23□□是3的倍數(shù)，有()種不同的填法。分析：3的倍數(shù)依次是3、6、9、12、15、18、212+3+□+□=3或6或9或12或18或21(3明顯不符，舍去)。因此，這個(gè)任務(wù)分六步來(lái)完成，然后求六步之總和，故是加法原理。(1)當(dāng)2+3+□+□=6時(shí)，□里填1和0，有2種填法；(2)當(dāng)2+3+□+□=9時(shí)，□里可填0，1，2，3，4，有5種填；(3)當(dāng)2+3+□+□=12時(shí)，□里可填0～7這個(gè)數(shù)字，有8種填法；同理，推知當(dāng)2+3+□+□=15或18或21時(shí)，分別有9種、6種、3種不同的填法。解：2+9+5+8+6+3=33(種)三、練習(xí)鞏固與拓展1.星期天，媽媽帶小明去逛街。街上好吃的東西可多啦，小明喜歡吃的水果有6種，喜歡吃的熟食有5種。那個(gè)電動(dòng)小火車他也喜歡玩。媽媽說(shuō)：由不夠錢？吃的玩的只能買一樣。你說(shuō)小明有多少種不同的選法？2.學(xué)校羽毛球隊(duì)有12名男隊(duì)員，10名隊(duì)員?，F(xiàn)要推選一名運(yùn)動(dòng)員去臺(tái)上領(lǐng)獎(jiǎng)，有多少種選法？3.一把鑰匙只能開(kāi)一把鎖，現(xiàn)有9把不同的鑰匙和鎖。如果要找出每把鎖的鑰匙，最多需要試幾次才能把每把鎖和鑰匙配對(duì)？4.整個(gè)書(shū)架分為上、下兩層，第一次擺放圖書(shū)30冊(cè)，第二層擺放圖書(shū)80冊(cè)，所有這些圖書(shū)的名稱各不相同。若要從兩層書(shū)架中任取一本書(shū)，有多少種不同的取法？5.小林要登上16級(jí)臺(tái)階，他每一步只能登1級(jí)或2級(jí)臺(tái)階，他登上16級(jí)臺(tái)階共有多少種不同的登法？6.有3個(gè)工廠共訂300份報(bào)紙，每個(gè)工廠最少訂99份，最多訂101份，一共有多少種不同的訂法？7.從1寫(xiě)到100，一共用了多少個(gè)“5”這個(gè)數(shù)字？8.有兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)正方體的6個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6。將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情況？9.從1到300的所有自然數(shù)中，不含數(shù)字的自然數(shù)有多少個(gè)？10.如圖，小明從家去學(xué)校，要求任何線段和點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過(guò)，小明從家到學(xué)校最多有幾種不同的走法？11.有幾根火柴，每次取走1—3根，把這堆火柴全部取完有多少種不同取法？12.已知一個(gè)三位數(shù)，各位上數(shù)字之和是24，這樣的三位數(shù)一共有多少個(gè)？13.用數(shù)字0、2、5、8可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的四位數(shù)？14.王冬要走12級(jí)臺(tái)階到二樓陽(yáng)臺(tái)去，每步可登1級(jí)或2級(jí)臺(tái)階。共有多少種不同的登法？15.學(xué)校組織讀書(shū)活動(dòng)，要求每個(gè)同學(xué)讀一本書(shū)，小明到圖書(shū)館借書(shū)時(shí)，圖書(shū)館有不同的外語(yǔ)書(shū)150本，不同的科技書(shū)200本，不同的小說(shuō)100本。那么小明借1本書(shū)有多少種不同的選法？16.從甲地到乙地有4條路可走，從乙地到丙地有2條路可走，從甲地到丙地有3條可走，那么，從甲地到丙地共有多少種走法？第16題圖第17題圖17.如圖，從A走到B，要求每一步都是向右，向上或向斜上方，問(wèn)有多少種不同的走法？第八講<練習(xí)鞏固與拓展>答案1.6+5+1=12(種)2.10+12=32(種)3.8+7+6+5+4+3+2+1=(8+1)×8÷2=36(次)4.30+80=110(種)5.1+2=32+3=53+5=8…377+610=987987+610=1597(種)6.1+6=7(種)7.∵5在十位上出現(xiàn)的次數(shù)為10次；5在個(gè)位上出現(xiàn)10次。∴10+10=20(次)8.提示：從兩個(gè)方面考慮：①兩個(gè)數(shù)同為奇數(shù)②兩個(gè)數(shù)同為偶數(shù)。3×3+3×3=18(種)9.提示：從1到300的所有自然數(shù)分為三大類，即一位數(shù)，二位數(shù)和三位數(shù)。8+8×9+2×9×9+1=243(種)10.提示：小明從家到學(xué)校最終有三條路線，先算出各條路線上的走法，然后相加。3+3+3=9(種)11.提示：取走1根，有1種方法；取走2根，有2種方法，取走3根，有4種方法；取走4根，有7種方法……規(guī)律如下：1，2，4，7，13，24，44，81，148，274，504，927(從第四項(xiàng)起，每項(xiàng)都是前三項(xiàng)之和)因而，共有927種不同取法。12.提示：分為三類：第一類由9、9、6三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)；第二類由9、8、7三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)；第三類由8、8、8組成的三位數(shù)。3+6+1=10(個(gè))13.提示：此題分為兩類：第一類：個(gè)位是0，第二類：個(gè)位是5。3×2×1+2×2×1=10(種)14.提示：登第三級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)是由前兩個(gè)數(shù)相加的和所得運(yùn)用排列的方法可知1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，故共有233種不同的登法。15.提示：選法分三類：選外語(yǔ)；選科技書(shū)；選小說(shuō)加法原理，故150+200+100=450(種)選法。16.提示：路線分為兩大類—從甲經(jīng)乙至丙，從甲至丙。4×2+3=11(種)。17.如圖所示，每個(gè)頂點(diǎn)上所標(biāo)的數(shù)字就是從A點(diǎn)走到此點(diǎn)的不同路線數(shù)，它等于它下面及左面與它相鄰的頂點(diǎn)上的數(shù)之和。所以，從A到B，不同的路線有22條。乘法原理一、知識(shí)概要如果要完成一件任務(wù)需要分成幾個(gè)步驟進(jìn)行做，第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法……，做第n步有mn種方法，即么，按這樣的步驟完成這件任務(wù)共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法。這就是乘法原理。乘法原理和加法原理的區(qū)別是：加法原理是指完成一件工作的方法有幾類，之間不相關(guān)系，每類都能獨(dú)立完成一件工作任務(wù)；而乘法原理是指完成一件工作的方法是一類中的幾個(gè)不同步驟，互相關(guān)聯(lián)，缺一不可，共同才能完成一件工作任務(wù)。二、典型例題精講1.從甲地到乙地有兩條路可走，從乙地到丙地有三條路可走，試問(wèn)：從甲地經(jīng)乙地到丙地共有多少種不同的走法？分析：如圖，很明顯，這是個(gè)乘法原理的題目。要完成“從甲到丙的行走任務(wù)”必須分兩步完成。第一步：甲分別通過(guò)乙的三條路線到達(dá)丙，故有3種走法。第二步：甲從第二條路線出發(fā)又分別通過(guò)乙的三條路線到達(dá)丙，故又有3種走法。這兩種走法相類似，共同完成“從甲到丙”的任務(wù)。解：3×2=6(種)答：共有6種不同的走法。2.右圖中共有16個(gè)方格，要把A、B、C、D四個(gè)不同的棋子放在方格里，并使每行、每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子，共有多少種不同的放法？分析：(如圖二)擺放四個(gè)棋子分四步來(lái)完成。第一步放棋子A，A可任意擺放，有16種擺放；第二步擺B，由于A所在的位置那一行，那一列都不能放，故只有9種放法；第三步擺C子，也由A、B所在的那一行，那一到都不能，只有四格可任意放，故有4種放法；第四步，只剩一格放D子，當(dāng)然只有一種放法。解：16×9×4×1=576(種)答：共有576種不同的放法。3.有五張卡片，分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，4，5，8?，F(xiàn)從中取出3張片排在一起，組成一個(gè)三位數(shù)，如eq\o\ac(□,1)eq\o\ac(□,5)eq\o\ac(□,2)，可以組成個(gè)不同的偶數(shù)。分析：分三步取出卡片：1.個(gè)位，個(gè)位只能放2、4、8；故有3種放法；2.百位，因個(gè)位用去1張，所以百位上還有四張可選，故有4種放法；3.十位，因個(gè)位和百位共放了兩張，所以還有3張可選放，有3種放法。解：3×4×3=36(個(gè))4.興趣小組有7名男生，5名女生，現(xiàn)要從這些同學(xué)選出4名參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中至少要有2名女生，共有種不同的選法。分析：分三類選出(加法原理)：第一類：2名學(xué)生，先從5名女生中選2名，有5×4÷2=10(種)選法，再?gòu)?名男生中選2名有7×6÷2=21(種)，共有10×21=210(種)；第二類：3名女生，先從5名女生中選3名，(其實(shí)等于選出2名不比賽)有10種選法；再?gòu)哪猩羞x1人，有7種選法。共有10×7=70(種)選法。第三類：4名學(xué)生，即從5名選1人不比賽，有5種方法。解：10×21+10×7+5=285(種)5.有4名男生，2名女生，排成一行錄像，要求2名不站在兩邊，且2名女生站在相鄰位置，共有多少種不同的排法？分析：分兩步考慮，第一步，先確定女生排法，2名女生不站兩邊，有6種站法。第二步，確定男生的站法，4名男生4個(gè)位置可選擇，故有4×3×2×1=24(種)站法。解：6×24=144(種)答：共有144種不同的排法。6.地圖上a、b、c、d四個(gè)國(guó)家(如下圖)，現(xiàn)有紅、黃、綠、藍(lán)四種顏色給地圖染色，使相鄰國(guó)家的顏色不同。有種不同的染色方法。分析：著色分四步，在圖A中，第一步給a著色，有四種方法；第二步給b著色，因a：b相鄰，故有3種色選著，方法有3種；第三步給c著色，有2種著法；第四步，給d著色，有2種著法。在圖B中，a著色后可將b、d的著色分為相同與不同兩類去考慮，染色的順序?yàn)閍、b、d、c.解：圖A4×3×2×2=48(種)圖B當(dāng)b、d同色的有4×3×1×3=36(種)；當(dāng)b、d不同色時(shí)，有4×3×2×2=48(種)；共有36+48=84(種)三、練習(xí)鞏固與拓展1.某人到食堂買飯，主食有3種，副食有5種，他買主食和副食各1種，共有多少種不同的買法？2.書(shū)架上有6本不同的外語(yǔ)書(shū)，4本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，從中任取外語(yǔ)、數(shù)學(xué)書(shū)各1本，有多少種不同取法？3.小明、小軍各小勇三人報(bào)名參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，每人必報(bào)跳高、跳遠(yuǎn)、100m跑、200m跑這四項(xiàng)中的一項(xiàng)，報(bào)名會(huì)出現(xiàn)多少各不同的情形？4.圖中有七個(gè)點(diǎn)和十條線段，一只甲蟲(chóng)要從A點(diǎn)沿著線段爬到B點(diǎn)去。若要求甲蟲(chóng)不重復(fù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)、線段，則甲蟲(chóng)最多有多少種不同走法？5.由數(shù)字0，1，2，3組成三位數(shù)，向：(1)可組成多少個(gè)不相等的三位數(shù)？(2)可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？6.現(xiàn)有1元的人民幣3張，2角的人民幣2張，1角的人民幣4張，如果從中至少取一張，至多取九張，那么，可組成多少種不同的布值？7.某電影院有六個(gè)行，其中A、B、C、D門只供退場(chǎng)時(shí)作出口，甲、乙門作為入口也作為出口。共有多少種進(jìn)出路線？8.“WFO”是世界貿(mào)易組織的縮寫(xiě)，把這三個(gè)字母寫(xiě)成三種不同顏色，現(xiàn)有5種不同色彩的筆，按上述要求能寫(xiě)多少種不同顏色搭配的“WTO”？9.下圖是一個(gè)棋盤，將一個(gè)白子和一個(gè)黑子放在棋盤線的交點(diǎn)上，但不能在同一條棋盤線上，共有多少各不同的放法？10.0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個(gè)數(shù)字，能夠組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？11.有6人參加軍訓(xùn)，在操場(chǎng)上站成一排，其中2名隊(duì)長(zhǎng)不在起，一共有多少種排法？12一排房有四個(gè)房間，四個(gè)房間中住著甲、乙、丙三人，現(xiàn)定每個(gè)房間只許住1人，且只允許兩個(gè)人住的房間挨在一起，第三個(gè)人的房間必須和前兩個(gè)人隔開(kāi)，有多少種住法？13.用9顆釘子組成3×3方陣，用橡皮筋勾在3顆釘子上，組成一個(gè)三角形，共可組成多少個(gè)三角形？14.要在3×n方格中(n是自然數(shù)，將每列中的3個(gè)方格分別用紅、白、藍(lán)三種顏色任意染色(每列中三格的顏色各不相同)。最少需要多少列才能保證至少使兩列染色的方式相同？15.七個(gè)相同球，放入四個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少放一個(gè)，不同的方法有多少種？16.如圖，從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)C點(diǎn)到B點(diǎn)的最短路線，共有多少條？第九講<練習(xí)鞏固與拓展>答案1.3×5=15(種)2.6×4=24(種)3.4×4×4=64(種)4.3×3=9(種)5.(1)3×4×4=48(個(gè))(2)3×3×2=18(個(gè))6.9×4-1=35(種)7.2×6=1