高等數(shù)學：第六章 第一節(jié) 微分方程的基本概念

§6.1

微分方程的基本概念

在許多問題中,往往不能直接找出所需要的函數(shù)關系,但是根據(jù)問題所提供的情況,有時可以列出含有要找的函數(shù)及其導數(shù)的關系式.這樣的關系就是所謂微分方程.微分方程建立以后,對它進行研究,找出未知函數(shù)來,這就是解微分方程.

本節(jié)通過幾個具體的例題來說明微分方程的基本概念.設所求曲線的方程為y

y(x),則

例1

一曲線通過點(1,2),且在該曲線上任一點M(x,y)處的切線的斜率為2x,求這曲線的方程.

解

上式兩端積分

得因為曲線通過點(1

2)

即當x

1時

y

2

所以2

12

C

C=1

因此

所求曲線方程為y

x2

1

說明

當x

1時

y

2可簡記為y|x

1

2

例2

列車在平直線路上以20m/s的速度行駛;

當制動時列車獲得加速度

0.4m/s2.

問開始制動后多少時間列車才能停住,以及列車在這段時間里行駛了多少路程?

解

設列車在開始制動后t秒時行駛了s米則s

0

4

s

|t

0

20

s|t

0

0

把等式s

0

4兩端積分一次

得s

0

4t

C1

再積分一次

得s

0

2t2

C1t

C2(C1

C2都是任意常數(shù))

由s

|t

0

20得20

C1

由s|t

0

0得0

C2

故s

0

2t2

20t

故s

0

4t

20

s

0

2

502

20

50

500(m)

于是列車在制動階段行駛的路程為令s

0

得t

50(s)

說明

未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程,叫常微分方程.未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程,叫偏微分方程.

說明

幾個基本概念微分方程表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導數(shù)與自變量之間的關系的方程

叫微分方程

微分方程的階

微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)

叫微分方程的階

一般n階微分方程的形式為

F(x

y

y

y(n))

0或

y(n)

f(x

y

y

y(n

1))

一階的二階的說明

微分方程的解滿足微分方程的函數(shù)叫做該微分方程的解

確切地說

設函數(shù)y

(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導數(shù)

如果在區(qū)間I上

F[x

(x)

(x)

(n)(x)]

0

那么函數(shù)y

(x)就叫做微分方程F(x

y

y

y(n))

0在區(qū)間I上的解

在例2中

方程s

0

4的解有

s

0

2t2

C1t

C2、s

0

2t2

20t

C2和s

0

2t2

20t

說明

微分方程的解滿足微分方程的函數(shù)叫做該微分方程的解

在例2中

方程s

0

4的解有

s

0

2t2

C1t

C2、s

0

2t2

20t

C2和s

0

2t2

20t

通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)

且獨立的任意常數(shù)個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同

這樣的解叫做微分方程的通解

特解確定了通解中的任意常數(shù)以后

就得到微分方程的特解

即不含任意常數(shù)的解叫特解

通解通解特解特解什么解？說明

對于一階微分方程

通常用于確定任意常數(shù)的條件是對于二階微分方程

通常用于確定任意常數(shù)的條件是例1是求方程y=2x滿足初始條件y|x

1

2的解

例2是求方程s

=-0.4滿足初始條件s|t

00

s

|t

0

20的解

初始條件用于確定通解中任意常數(shù)的條件

稱為初始條件

初始條件用于確定通解中任意常數(shù)的條件

稱為初始條件

說明

說明

求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題

初值問題微分方程的解的圖形是一條曲線

叫做微分方程的積分曲線

積分曲線

例3

驗證

函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt是微分方程的解

求所給函數(shù)的導數(shù)

解

k2(C1coskt

C2sinkt)

k2(C1coskt

C2sinkt)

0.

這表明函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt

滿足所給方程

因此所給函數(shù)是所給方程的解

例4

已知函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt(k

0)是微分方程的通解

求滿足初始條件x|t=0

A

x

|t=0

0的特解

將條件x|t=0

A代入x

C1coskt

C2sinkt

得

解

C1

A.

將條件x

|t=0

0代入x

(t)

kC1sinkt

kC2coskt

得把C1、C2的值代入x

C1coskt

C2sinkt中

就得所求的