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文檔簡介

1/35《水文統(tǒng)計》梁川C.Liang2010年9~11月2/35§8水文統(tǒng)計中的幾個專題簡介

8.1水文時間序列分析

8.2極差分析

8.3輪次分析

8.4風險分析

8.5水文隨機過程3/358.1水文時間序列分析

“分析在時刻t1<t2<…<tn所對應隨機過程x(t)的采樣值x1,x2,…,xn的變化特征?!睍r間序列分析方法——“時域法”&“頻域法”水文時間序列確定性成分隨機性成分周期的非周期的單諧波復合周期殆周期趨勢或突變平穩(wěn)的非平穩(wěn)的廣義的或狹義的非平穩(wěn)序列獨立的或相依的成分特殊類型4/35

水文時間序列的構成與特點——

隨機變化:趨勢變化:突變:x(t)ttx(t)5/35

式中,Xt線性疊加的水文過程;Ct暫態(tài)的趨勢成分;St波動的周期性成分;Wt各態(tài)歷經的相依成分;εt純隨機成分;a0常數(shù)系數(shù);Ak隨機變量;Sin(ωk+φk)周期函數(shù)。

水文時間序列分析方法與模型——

方法:平穩(wěn)性檢驗與趨勢提取、周期性檢驗及其分量提取、正態(tài)性檢驗、獨立性檢驗、…

常用模型:AR、MA、MRMA、…6/358.2極差分析

“研究水文特征值累計量的隨機序列?!?/p>

例:一個水庫從tj時刻開始,Δt時段內流入的平均入流量為xj,相應的出流量為yj,水庫在時段末tj+Δt時獲得的水量為ΔSj,即ΔSj=xjΔt-yjΔt=(xj-yj)Δt

如果每個時段的出流量是固定的yj≡x0,則有Δxj=xj-x0,n個時段后水庫蓄水量為這里,累計量{Sj,j=1,2,…,n}為一個新的隨機序列。7/35

過剩

極差

不足

Hurst(1957)建立了Rn~n關系為,其中k稱為Hurst系數(shù),0.5<k<1.0。

Rn是反映水文時間序列“持續(xù)”特性的參數(shù),與系列的容量有關。*高階累積過程——Sn+0Sn-TnSjRn8/35

8.3輪次分析

“研究同類事件的事件流之變化規(guī)律?!?/p>

x0以上為正輪S,正輪長m,正輪和平均正輪強S/m:

x0以下為負輪D,負輪長n,負輪和平均負輪強S/n:

全輪程為:

r=m+nmnDSx0txt9/35

輪次分布及其參數(shù)——

若q=P(xt<x0)或p=1-q=P(xt≥x0),當N→∞時,則有

f(m)=qpm-1,f(n)=pqn-1,

f(r)=(pqr-qpr)/(q-p)E(m)=1/q,E(n)=1/p,E(r)=1/qpD(m)=p/q2,D(n)=q/p2,E(r)=(1-3qp)/(p2-q2)

式中,m,n,r=1,2,…,N

水文系列的輪次分布用于檢驗隨機生成水文序列的持續(xù)特性。10/35

8.4風險分析“考察隨機事件大于設計標準而遭受破壞的可能性?!?/p>

如果在任何一年發(fā)生設計值xp對應的超過概率p值是確知的,則有

在任一年內不發(fā)生的概率為:(1-p)

在n年內不發(fā)生的概率為:(1-p)n

在n年內要發(fā)生的概率為:1-(1-p)n

于是11/35

定義:工程在n年運行期內,風險R與概率P的關系為R=1-(1-P)n

或R=P{ξ≥η丨已知分布F(η)}“概率之概率”或“基本風險+附加風險”橫標適線縱標適線p0p0xp(x)f(x/p0)x0p0xp(x)f(p/x0)12/35

抗洪能力為常值的風險分析——

假如某工程設計標準為p=1%時,考慮未來100年內至少有一年的洪水超過設計值的概率為

由此可見,在設計重現(xiàn)期期間,設計值幾乎很可能被超過。事實上,當運行期n≈T時,則工程的風險為因此,只有當n<<T時風險才較小,故需要選擇非常大的重現(xiàn)期或非常小的設計標準p值。13/358.5水文隨機過程

1)水文現(xiàn)象確定性成分——有成因聯(lián)系的周期變化和趨勢變化隨機性成分——指純隨機和相依性的變化

2)水文過程Xt

用t表示時間,當t取全體實數(shù)時,稱連續(xù)過程;當t只取整數(shù)時,稱離散過程,也稱為水文時間序列。

14/353)隨機序列的模擬對于年最大(小)流量和年降水量序列而言,一般來說,是一個純隨機序列。隨機序列的模擬是以純隨機變量的模擬為基礎的,或稱為M-C統(tǒng)計試驗方法。譬如:某站P-III型分布的Qm序列的隨機模擬(1)先由實測的Qm序列確定其頻率曲線Qm~P;(2)用適當方法隨機地模擬頻率Pi(i=1,2,…),再由Pi通過Qm~P曲線查出Qmi,即為所求。15/354)隨機數(shù)及其轉化隨機數(shù)轉化方法有兩類:變換法&舍選法用變換法模擬正態(tài)分布純隨機序列——

變換公式:

式中,ξ1、ξ2為相互獨立的標準正態(tài)分布N(0,1)的變量;μ1、μ2為利用(0,1)均勻分布抽取的隨機數(shù)。因為ξ=(xi-x)/σ,故有正態(tài)分布的變量xi

=x+ξiσ(i=1,2,…)

特點:計算工作量小,精度較高,常被采用。16/35

用舍選法模擬P-III型分布純隨機序列——

計算步驟:(1)由實測系列{xi},適線估計總體的統(tǒng)計參數(shù)X、Cv、Cs;(2)模擬公式式中,α0=x(1-2Cv/Cs),β=2/(xCvCs),α=4/Cs2;參數(shù)Bi為按下式計算其中r=a-[a]和s=1-r

式中,[a]表示取整數(shù),如a=3.14時,[a]=3;μ1和μ2為一對隨機數(shù)。舍選條件必須是。17/35

(3)模擬程序框圖當a=3.14,[a]=3,令a=[a]=3,則r=0.14,s=0.86。把抽取的隨機數(shù)每3個分為一組,模擬過程見下圖所示18/35

8.5.1隨機過程隨機過程的基本概念:指當系統(tǒng)變量(時間t、特征量

)受到隨機因素影響的過程(狀態(tài)發(fā)生變化)。

有四種情況:

①當t固定、

改變——為隨機變量系列,如Qi,i=1,2,3,…;②當t改變、

固定——為確知的時間函數(shù),如Q(t);③當t、

均固定——為確定的值,如Q=300m3/s;④當t、

均改變——為時間函數(shù)族(組),如Fn(Qi,ti),i,n=1,2,3,…。①t1t00t④③②19/358.5.2隨機過程及其分類

確定/不確定隨機過程:未來的值可能由過去的值準確預測/未來的值不能由過去的值準確預測。

連續(xù)/離散隨機過程:t和

同時為連續(xù)變量/t和

不同時為連續(xù)變量。

獨立隨機過程:由n個互相獨立的隨機變量組成的隨機過程,即Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)n=1,2,3,…

馬爾可夫過程:具有無后效性的條件分布函數(shù)的隨機過程,即

F(xn;tn丨xn-1,xn-2,…,x1;tn-1,tn-2,…,t1)

=F(xn;tn丨xn-1;tn-1)

20/35

獨立增量過程:任何時間間隔上,其狀態(tài)的改變不會影響未來任一時間間隔上其他狀態(tài)的改變的隨機過程,是一種特殊的馬爾可夫過程。

F(xn;tn丨xn-1,xn-2,…,x1;tn-1+△t,tn-2+△t,…,t1+△t)

=F(xn;tn丨xn-1;tn-1+△t)

平穩(wěn)隨機過程:系統(tǒng)統(tǒng)計分布特性不會隨時間的平移而改變的隨機過程。Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=Fn(x1,x2,…,xn;t1+ε,t2+ε,…,tn+ε)*白噪聲序列——獨立平穩(wěn)隨機過程21/35

8.5.3馬爾柯夫過程簡言之:“條件轉移概率分布”

F(xn;tn丨xn-1,xn-2,…,x1;tn-1,tn-2,…,t1)=F(xn;tn丨xn-1;tn-1)

其中,時間參數(shù)集T=(-∞,+∞),狀態(tài)空間I=(-∞,+∞)。滿足:無后效性、獨立增量過程。當“時間和狀態(tài)均為離散的馬爾柯夫過程”,即為馬爾柯夫鏈

P(xm+k=ai,m+k丨xm=ai,m,xm-1=ai,m-1,…,x1=ai,1)=P(xm+k=ai,m+k丨xm=ai,m)22/351)馬爾可夫鏈及其基本特性

馬爾可夫鏈:指狀態(tài)

和時間t均為離散的馬爾可夫過程。其基本特性有:

無后效性——當過程在時刻tk所處的狀態(tài)為已知的條件下,過程在時刻tk+1(tk+1>tk)所處的狀態(tài)與過程tk時刻以前無關。x0x1x2……xkxk+1

狀態(tài)

012……kk+1過程

特點:從現(xiàn)在來看,將來與過去無關。23/35

遍歷性——系統(tǒng)從現(xiàn)在狀態(tài)ri,經過t→∞(或n→∞)時,存在一個與ri無關的極限概率pj(系統(tǒng)處于rj的概率),稱為轉移概率的各態(tài)歷經性。

2)轉移概率系統(tǒng)從現(xiàn)在狀態(tài)ri,經過t時間(n步)之后,轉移到另一個狀態(tài)rj的概率,用pij表示。Pij(m,m+k)=P(xm+k=ai丨xm=ai)24/35

1步轉移概率:從第k步的狀態(tài)xk=ri,經過1步轉移到新的狀態(tài)xk+1=rj的概率,即兩個相鄰時刻狀態(tài)變化的概率。當k=1時,pij=p(xk+1=rj丨x0,x1,x2,…,xk-1,xk)=p(xk+1=rj丨xk=ri)=Const.

與過去的狀態(tài)x0,x1,x2,…,xk-1無關,僅與xk有關。時間齊次性——從第k步的狀態(tài)xk=ri,經過1步轉移到新的狀態(tài)xk+1=rj的概率pij與k無關,也就是第n次轉移對pij都沒有影響,即pij=p(xk+1=rj丨xk=ri)=p(x1=rj丨x0=ri)=Const.

25/35

此時的pij也稱為隨機過程的一步平穩(wěn)轉移概率,即馬氏轉移概率矩陣:

特點:各個狀態(tài)每一行元素之和為1,且各元素非負,即(j)

狀態(tài)

012……m

(i)0

p00p01p02……p0m

=1P=1

p10p11p12……p1m

=12

p20p21p22……p2m

=1:::

:::::::::……:::

:::m

pm0pm1pm2……pmm

=126/35

n步轉移概率:從第k步的狀態(tài)轉移到第k+n(共n步),則稱為隨機過程的n步平穩(wěn)轉移概率。經n步后,有

P(2)=P(1)P(1)=

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