材料力學(xué)課件-第十一章-能量方法

材料力學(xué)第十一章能量方法第十一章能量方法

§11–1

變形能的普遍表達(dá)式§11–2卡氏定理§11–3莫爾定理(單位力法)§11–1

變形能的普遍表達(dá)式一、能量原理：二、桿件變形能的計(jì)算：1.軸向拉壓桿的變形能計(jì)算：能量方法

彈性體內(nèi)部所貯存的變形能，在數(shù)值上等于外力所作的功，即

利用這種功能關(guān)系分析計(jì)算可變形固體的位移、變形和內(nèi)力的方法稱為能量方法。2.扭轉(zhuǎn)桿的變形能計(jì)算：3.彎曲桿的變形能計(jì)算：能量方法5能量方法

變形能的大小與加載過(guò)程的先后次序無(wú)關(guān)，而只決定于載荷及其相應(yīng)位移的最終值；相互獨(dú)立的力（矢）引起的變形能可以相互疊加。即：克拉貝依隆原理三、變形能的普遍表達(dá)式：細(xì)長(zhǎng)桿，剪力引起的變形能可忽略不計(jì)。能量方法對(duì)于桿狀構(gòu)件：7四、變形能的特點(diǎn)：能量方法1.產(chǎn)生同一種基本變形的一組外力在桿內(nèi)所產(chǎn)生的變形能，不等于各力分別作用時(shí)產(chǎn)生的變形能之和。能量方法2.變形能的大小與加載過(guò)程的先后次序無(wú)關(guān)，而只決定于載荷及其相應(yīng)位移的最終值。互等定理：

9能量方法互等定理：

表明：第一組力在第二組力引起的位移上所作的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上所作的功，這就是功的互等定理。10能量方法位移互等定理：

如

則

11能量方法

例如：外伸梁，在C點(diǎn)的力FP單獨(dú)作用下截面的轉(zhuǎn)角為θA=FPal/(6EI)。求梁僅在A處的力偶矩M作用下C的撓度。

又如：

為測(cè)定懸臂梁在砝碼G作用在自由端B時(shí)，截面1、2、3、4、5的撓度，如圖所示?，F(xiàn)僅有一個(gè)撓度計(jì)（千分表），且限定只能安裝一次，試問(wèn)該如何測(cè)定。MN[例1]圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在A點(diǎn)受鉛垂力P的作用，求A點(diǎn)的垂直位移。解：用能量法（外力功等于應(yīng)變能）①求內(nèi)力能量方法APROQMTAAPNBjTO③外力功等于應(yīng)變能②變形能：能量方法[例2]用能量法求C點(diǎn)的撓度。梁為等截面直梁。解：外力功等于應(yīng)變能應(yīng)用對(duì)稱性，得：思考：分布荷載時(shí)，可否用此法求C點(diǎn)位移？能量方法qCaaAPBf§11–2

莫爾定理(單位力法)求任意點(diǎn)A的位移fA。一、定理的證明：能量方法aA圖fAq(x)圖c

A0P=1q(x)fA圖b

A=1P0

莫爾定理(單位力法)二、普遍形式的莫爾定理能量方法。三、使用莫爾定理的注意事項(xiàng)：④M0(x)與M(x)的坐標(biāo)系必須一致，每段桿的坐標(biāo)系可自由建立。⑤莫爾積分必須遍及整個(gè)結(jié)構(gòu)。②M0——去掉主動(dòng)力，在所求廣義位移

點(diǎn)，沿所求

廣義位移

的方向加廣義單位力

時(shí)，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力。①M(fèi)(x)：結(jié)構(gòu)在原載荷下的內(nèi)力。③所加廣義單位力與所求廣義位移之積，必須為功的量綱。能量方法18

四、單位力的施加能量方法[例3]用能量法求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。梁為等截面直梁。解：①畫單位載荷圖②求內(nèi)力能量方法BAaaCqBAaaC0P=1x③變形能量方法BAaaC0P=1BAaaCqx()④求轉(zhuǎn)角，重建坐標(biāo)系（如圖）

能量方法qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1

d)()(

)()()(00)(00òò+=aBCaABxEIxMxMdxEIxMxM=022

能量方法例13

如圖所示剛架，AB段受均布載荷q作用。試求A點(diǎn)的鉛垂位移和B截面轉(zhuǎn)角。[例4]拐桿如圖，A處為一軸承，允許桿在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，但不能上下移動(dòng)，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B點(diǎn)的垂直位移。解：①畫單位載荷圖②求內(nèi)力能量方法510

20A300P=60NBx500Cx1510

20A300Bx500C=1P0③變形能量方法()25

能量方法

例16

一桁架如圖，各桿EA相同，節(jié)點(diǎn)B承受集中力F和2F作用，求桿BC的轉(zhuǎn)角。26

能量方法

1.用卡氏定理、摩爾積分法求圖示梁中B點(diǎn)的撓度和C截面的轉(zhuǎn)角，比較兩種方法的特點(diǎn)。已知EI為常數(shù)。

課堂練習(xí)27

能量方法2.

試用卡氏定理求圖示剛架截面A的轉(zhuǎn)角和截面C的鉛垂位移。EI為已知常數(shù)。

28

能量方法3.試用卡氏定理求圖示剛架C點(diǎn)兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。EI已知。29

能量方法4.

由桿系及梁組成的混合結(jié)構(gòu)如圖所示。設(shè)FP、a、E、A、I均為已知。試求C點(diǎn)的垂直位移。

30

能量方法

5.半圓形小曲率曲桿的A端固定，在自由端作用扭轉(zhuǎn)力偶矩Me。曲桿橫截面為圓形，其直徑為d。試用卡氏定理求B端的扭轉(zhuǎn)角。

§11–3

卡氏定理給Pn

以增量dPn

，則：1.先給物體加P1、

P2、???、

Pn

個(gè)力，則：2.先給物體加力dPn

，則：一、定理證明

能量方法dn再給物體加P1、

P2、???、Pn個(gè)力，則：

能量方法dnn=nPU??d第二卡氏定理

意大利工程師—阿爾伯托·卡斯提安諾(AlbertoCastigliano，1847～1884)二、使用卡氏定理的注意事項(xiàng)：①U——整體結(jié)構(gòu)在外載作用下的線彈性變形能②

Pn視為變量，結(jié)構(gòu)反力和變形能等都必須表示為Pn的函數(shù)③

n為Pn

作用點(diǎn)的沿Pn

方向的變形。④當(dāng)無(wú)與

n對(duì)應(yīng)的Pn

時(shí)，先加一沿

n

方向的Pn

，求偏導(dǎo)后，再令其為零。能量方法dn三、特殊結(jié)構(gòu)（桿）的卡氏定理：能量方法[例5]結(jié)構(gòu)如圖，用卡氏定理求A

面的撓度和轉(zhuǎn)角。③變形①求內(nèi)力解：求撓度，建坐標(biāo)系②將內(nèi)力對(duì)PA求偏導(dǎo)能量方法ALPEIxO

()求轉(zhuǎn)角

A①求內(nèi)力沒(méi)有與

A向相對(duì)應(yīng)的力（廣義力），加之。“負(fù)號(hào)”說(shuō)明

A與所加廣義力MA反向。()②將內(nèi)力對(duì)MA求偏導(dǎo)后，令M

A=0③求變形（注意：MA=0）能量方法LxO

APMA[例6

]結(jié)構(gòu)如圖，用卡氏定理求梁的撓曲線。解：求撓曲線——任意點(diǎn)的撓度f(wàn)（x）①求內(nèi)力②將內(nèi)力對(duì)Px求偏導(dǎo)后，令Px=0沒(méi)有與f（x）相對(duì)應(yīng)的力，加之。能量方法PALxBPx

CfxOx1③變形（注意：Px=0）能量方法[例7]等截面梁如圖，用卡氏定理求B

點(diǎn)的撓度。②求內(nèi)力解：1.依求多余反力，③將內(nèi)力對(duì)RC求偏導(dǎo)①取靜定基如圖能量方法PCAL0.5LBfxOPCAL0.5LBRC④變形能量方法2.求②將內(nèi)力對(duì)P求偏導(dǎo)①求內(nèi)力能量方法③變形能量方法()③變形解：①畫單位載荷圖②求內(nèi)力[例8

]結(jié)構(gòu)如圖，求A、B兩面的拉開(kāi)距離。PPAB能量方法1144

第十一章練習(xí)題一、抗拉（壓）剛度為EI的等直桿，受力如圖，其變形能是否為：

二、試述如何用卡氏定理求圖示梁自由端的撓度。三、剛架