中考數(shù)學(xué) 圖形變換 最值問題 教案

一、巧施圖形變換、妙解最值問題近年來，各地各類考試中有關(guān)最值問題頻頻出現(xiàn)，此類問題形式多樣，解題方法靈活多變，許多同學(xué)在遇到此類問題時，感到無從下手，找不到適當(dāng)?shù)那腥朦c，導(dǎo)致思維受阻.筆者基于自己的教學(xué)實踐，談?wù)勅绾位钣脠D形變換，巧解最值問題，以期對讀者有所幫助。一、巧用軸對稱例1：(1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖1，若點、在直線同側(cè)，在直線上找一點，使的值最小.做法如下:作點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)，與直線的交點就是所求的點，線段的長度即為的最小值.圖1圖2如圖2，在等邊中，，點是的中點，是高，在上找一點，使的值最小.做法如下:作點關(guān)于的對稱點，恰好與點重合，連結(jié)交于一點，則這點就是所求的點，故的最小值為.(2)實踐運用如圖3，已知⊙的直徑為2，弧的度數(shù)為60°，點是弧的中點，在直徑上作出點，使的值最小，則的值最小，則的最小值為.圖3圖4(3)拓展延伸如圖4，點是四邊形內(nèi)一點，分別在邊、上作出點、，使的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法.解析(1)利用作法得到的長為的最小值.由，點是的中點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到.再根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到.(2)如圖5，過點作弦，連結(jié)交于點，連結(jié)、、、.根據(jù)垂徑定理得到平分，即點與點關(guān)于對稱，則的長度就是的最小值.易知，于是可判斷為等腰直角三角形，則;圖5圖6(3)如圖6，分別作出點關(guān)于和的對稱點和，然后連結(jié),交于點，交于點.反思:例1中的(1)(2)題都屬于“兩定點+一動點”問題.解決關(guān)鍵在于通過軸對稱，將動點所在直線同側(cè)的兩個定點中的其中一個，軸對稱變換到直線的另一側(cè)，當(dāng)動點在這個定點的對稱點及另一定點的線段上時，由“兩點之間線段最短”，可知線段和的最小值為定線段的長.第(3)問雖屬于兩動點問題，但仍可以用兩次軸對稱，轉(zhuǎn)化為“兩點之間線段最短”的問題.

例2：如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點、、的坐標(biāo)分別為(0,0)、(20,0)、(20,10)，在線段、上各有一動點、，則當(dāng)取最小值時，點的坐標(biāo)是.圖7解析：我們不妨先假定一個動點為定點，如圖8(1).作點關(guān)于的對稱點，連結(jié)，交于點，由“兩點之間線段最短”，可知的最小值為.(l)(2)圖8再考慮是軸上的一個動點，是軸外的一個定點，由“直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短”，可知當(dāng)軸時(如圖8(2)),的值最小.易知，利用∽，可得,進而得到,點的坐標(biāo)是(12,6).反思本例屬于“兩動點+一定點”問題，對動點進行軸對稱變換，綜合利用“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”解決問題.例3：如圖9，在中，分別在上，則的周長的最小值為___.圖9圖10解析：我們不妨也假設(shè)一個點是定點，分別作點關(guān)于的對稱點，則.由“兩點之間線段最短”可知，當(dāng)四點共線時，的周長最小，即等于的長度.由軸對稱的性質(zhì)可知，易得.考慮是上的一個動點，要使有最小值，只需取得最小值.由“直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短”，可知，當(dāng)時，的值最小，即為的長度.在直角中，故的周長最小值為.反思本例屬于“三動點”問題，對動點進行兩次軸對稱變換，“化曲為直”，再結(jié)合垂線段最短解決問題.

例4：如圖11，婷婷同學(xué)住在村，她的外婆住在河對岸的村，每次婷婷到外婆家都要走很多彎路，現(xiàn)在有關(guān)部門將撥款在河上修一座橋.為使兩村所筑的路最短，橋應(yīng)筑在河的哪個位置?(要求橋與河岸垂直)解析：如圖12，過作，且等于河的寬度，連結(jié)交于點，過點作，連結(jié)，則就是橋的位置.圖11圖12例5：如圖13，正方形的邊長為4,點在邊上且，長為的線段在上運動，當(dāng)四邊形的周長最小時，的值是.圖13圖14解析：由題意，可知的長度都是定值，要四邊的周長最小，只要的和最小就可.故利用平移，將沿著與平行的方向平移個單位至。此時只需求B的最小值即可.由正方形軸對稱的性質(zhì)可知關(guān)于的對稱點為，連結(jié)交于點，在上截取(如圖14).此時四邊形的周長最小.延長交于點，過點作，由，可求得，進而利用∽，可求得,故.由對稱性，可知.反思：本題中有兩個動點，其中一個隨另一個動(一個主動，一個從動)，并且兩動點之間的距離保持不變.求解此類問題的關(guān)鍵是，通過平移變換將相關(guān)線段移到適當(dāng)?shù)奈恢?，使分散的條件相對集中，把兩個動點變成一個動點，從而把原問題轉(zhuǎn)化為“兩個定點和一個動點”問題來解決.二、巧用旋轉(zhuǎn)例6：如圖15,，以為一邊作正方形，使兩點落在圖15直線的兩側(cè)，當(dāng)變化時，求的最大值.解析：如圖16(1)，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到,的最大值即為的最大值.在中，,故當(dāng)三點共線時(如圖16(2)),取得最大值.此時，,,即的最大值是6.(l)(2)圖16

例7：若點是邊長為2的正方形內(nèi)一點，求的最小值.解析：本題要直接求的最小值比較困難，需要利用旋轉(zhuǎn)進行轉(zhuǎn)換，盡量把三條線段向一條直線靠攏.于是可以將旋轉(zhuǎn)到，則，且為正三角形，所以.易知，要使得該值最小，只需四點共線即可.如圖17，連接，最小,易知.過點作，交的延長線于點，在中，,即的最小值為.