第6章 統(tǒng)計量和抽樣分布

統(tǒng)計量和抽樣分布《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系

06目錄/Contents6.16.26.36.4總體與樣本統(tǒng)計量三大分布正態(tài)總體的抽樣分布目錄/Contents6.1總體與樣本一、總體二、樣本研究對象的全體稱為總體,組成總體的每個成員稱為個體.研究對象的某項數(shù)量指標(biāo)的全體稱為總體,組成總體的每個成員的該項數(shù)量指標(biāo)稱為個體.特指一、總體總體指標(biāo)未知,可看作是一個隨機變量,記為.一、總體⑴當(dāng)總體是離散型隨機變量時,定義總體分布為⑵當(dāng)總體是連續(xù)型隨機變量時,定義總體分布為,即為總體的分布律.,即為總體的概率密度函數(shù).同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)總體

，試寫出總體分布律設(shè)總體,試寫出總體分布一、總體例1解例2解同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系總體抽樣樣本推斷總體均值總體方差.總體,記為.二、樣本也就是說樣本是一組隨機變量,而樣本觀測值是抽樣完成以后所得到的這組隨機變量的一次具體取值.

在試驗前,樣本的觀測值是不確定的,為了體現(xiàn)隨機性,在數(shù)理統(tǒng)計中樣本記作,事實上是一個維隨機向量.通過實驗或觀測得到的數(shù)值稱為樣本觀測值,記作,其中稱為樣本容量(樣本大小).二、樣本

從總體中抽取樣本的方法有很多,我們主要采用簡單隨機抽樣的方法,即有放回地重復(fù)獨立抽取,這樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本（簡稱樣本）.記作.（1）獨立性:是相互獨立的;（2）代表性:每個個體的分布都和總體分布相同.即簡單隨機樣本具有兩個特點:二、樣本而樣本的聯(lián)合分布律為:二、樣本⑴設(shè)為離散型隨機變量,則

同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系⑵設(shè)為連續(xù)型隨機變量,概率密度函數(shù)為,則樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)為:二、樣本同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)總體是取自該總體的一個樣本,

試寫出樣本的聯(lián)合分布律.二、樣本例3解同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系二、樣本例4解同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系二、樣本例5解同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系二、樣本例6解同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)是取自總體的一個樣本,的概率密度函數(shù)為其余試寫出的聯(lián)合密度函數(shù).

二、樣本例7聯(lián)合密度函數(shù)為其余解同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)是取自總體的一個樣本,的分布律為其中參數(shù)，二、樣本例8試寫出的聯(lián)合分布律?同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系目錄/Contents6.16.26.36.4總體與樣本統(tǒng)計量三大分布正態(tài)總體的抽樣分布目錄/Contents6.2統(tǒng)計量一、樣本均值和樣本方差二、次序統(tǒng)計量數(shù)理統(tǒng)計的基本任務(wù)之一是利用樣本所提供的信息來對總體分布中未知的量進行推斷,但是樣本觀測值常常表現(xiàn)為一大堆數(shù)字,很難直接用來解決我們所要研究的具體問題.人們常常把數(shù)據(jù)加工成若干個簡單明了的數(shù)字特征,由數(shù)據(jù)加工后的數(shù)字特征就是統(tǒng)計量的觀測值.假設(shè)總體為取自該總體的一個樣本,下列表達(dá)式是否為統(tǒng)計量:統(tǒng)計量的定義稱為統(tǒng)計量.不含有未知參數(shù)的樣本的函數(shù)例1123同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系其中未知而

已知.設(shè),試判斷下列表達(dá)式是否為統(tǒng)計量:⑴⑵⑶由定義即知⑵不是統(tǒng)計量,而⑴⑶是.統(tǒng)計量的定義補例假設(shè)總體為取自該總體的一個樣本,解同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系⑴樣本均值⑵樣本方差樣本均值的觀測值樣本方差的觀測值設(shè)為取自總體的一個樣本，稱一、樣本均值和樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差的觀測值⑶樣本標(biāo)準(zhǔn)差同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系(4)樣本的階原點矩一、樣本均值和樣本方差(5)樣本的階中心矩其中是正整數(shù),而每個統(tǒng)計量也都有相應(yīng)的觀測值.同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系相應(yīng)的觀測值當(dāng)時，樣本的2階中心矩由此可得：一、樣本均值和樣本方差同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系注在計算時的另一表達(dá)形式:

一、樣本均值和樣本方差顯然有由此知同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)總體的均值,方差,為取自該總體的一個樣本,則（3）（2）（1）定理一、樣本均值和樣本方差證（1）一、樣本均值和樣本方差證（2）一、樣本均值和樣本方差證（3）獨立同分布的大數(shù)定律，即得一、樣本均值和樣本方差分別求由定理可得一、樣本均值和樣本方差例2解同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系根據(jù)題意可知一、樣本均值和樣本方差同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系根據(jù)題意可知一、樣本均值和樣本方差同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系一、樣本均值和樣本方差*例3解同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系大的記為,設(shè)為取自總體的一個樣本,其中取值最二、次序統(tǒng)計量

與統(tǒng)稱為次序統(tǒng)計量.稱為最大次序統(tǒng)計量;而取值最小的記為稱為最小次序統(tǒng)計量;同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系則最小次序統(tǒng)計量具有概率密度函數(shù):最大次序統(tǒng)計量具有概率密度函數(shù):設(shè)總體具有分布函數(shù)及概率密度函數(shù),二、次序統(tǒng)計量同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系

由第三章中關(guān)于獨立同分布情形下求最大或最小隨機變量的分布函數(shù)之結(jié)論知各自求導(dǎo)即得.二、次序統(tǒng)計量同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系二、次序統(tǒng)計量例4解同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系二、次序統(tǒng)計量同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系二、次序統(tǒng)計量例5解同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系目錄/Contents6.16.26.36.4總體與樣本統(tǒng)計量三大分布正態(tài)總體的抽樣分布目錄/Contents6.3總體與樣本一、分布二、分布三、分布態(tài)分布,設(shè)是獨立同分布的隨機變量,且都服從標(biāo)準(zhǔn)正所服從的分布為自由度為

的分布,記為.一、分布則稱隨機變量⑴定義同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系由定義可知,若相互獨立且都服從,則下圖分別是當(dāng)時的概率密度函數(shù)圖形.是偏峰的倒鐘形.一、分布123同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系①當(dāng)時,;設(shè)

,且與相互獨立,則一、分布(2)分布性質(zhì)②分布的可加性:

同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系一、分布由分布定義知證①:同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系都是相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布證②:設(shè)

，且與相互獨立則：由分布定義知，其中一、分布同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè),記它的分位數(shù)為,即滿足分位數(shù)值可查表得到,比如

分位數(shù)9.488見圖示.(3)分布的分位數(shù)一、分布同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)是取自總體的簡單隨機樣本,一、分布求下列三個統(tǒng)計量的分布

例101OPTION02OPTION03OPTION并求非零常數(shù)的值.同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系一、分布同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系(3)可得一、分布再由分布的定義且相互獨立,

同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系一、分布12同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系補例

設(shè)是取自總體的一個樣本,定義,試求.由分布性質(zhì)知故一、分布解同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系補例

設(shè)是取自總體的一個樣本,定義,試求.解由分布性質(zhì)知故一、分布同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)隨機變量

,且與相互獨立,

分布或者學(xué)生分布,則稱所服從的分布為自由度為的

二、分布（1）定義記為

同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系分布的概率密度函數(shù)圖形,二、分布同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè),記它的分位數(shù)為,即滿足根據(jù)分布密度函數(shù)的對稱性,有性質(zhì)該性質(zhì)類似于正態(tài)分布的分位數(shù)性質(zhì).分位數(shù)值查表可得.比如

二、分布（2）分位數(shù)同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系二、分布例3解同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)為取自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的一個樣本，試給出常數(shù),使得服從分布,并指出它的自由度.二、分布補充例題同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系解

因,且相互獨立,故有且兩者相互獨立,由定義知所以,取即可,且自由度為3.二、分布同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)隨機變量,且與相互獨立,

由度為

的F分布,

則稱服從第一自由度為，第二自

三、分布（1）定義記為

同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)隨機變量相互獨立且都服從相同分布,.服從分布,并指出它的自由度.三、分布補充例題試給出常數(shù),使得同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系解因,且相互獨立,故有且兩者相互獨立,由定義知所以,取即可,且自由度為2和3.三、分布同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)

,記它的分位數(shù)為

，即根據(jù)分布的定義,有性質(zhì)滿足三、分布（2）分位數(shù)同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系,三、分布所以有即根據(jù)前面及分位數(shù)的定義，顯然有證明設(shè)則可以定義，其中則且與相互獨立。同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)隨機變量求的分布？

三、分布例4解同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系補例由F定義可知,若相互獨立且都服從,則有且與相互獨立,故三、分布同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系目錄/Contents6.16.26.36.4總體與樣本統(tǒng)計量三大分布正態(tài)總體的抽樣分布（1）,即

;

則有

定理1

設(shè)是取自總體的一個簡單隨機樣本,（2）;（3）

與相互獨立.正態(tài)總體的抽樣分布則有

定理2設(shè)是取自總體的一個簡單隨機樣本,正態(tài)總體的抽樣分布證明

由定理1可知由（1）知,由（2）知，

由（3）知與相互獨立，正態(tài)總體的抽樣分布根據(jù)t分布的定義，可得證明正態(tài)總體的抽樣分布補例

設(shè)總體,試求解下列各題:抽取容量為36的樣本,求

;問樣本容量多大時,才能使?

解⑴由抽樣分布及可知正態(tài)總體的抽樣分布所以12同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系⑵由也即從而有正態(tài)總體的抽樣分布所以,取同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)