2023學(xué)年完整公開課版一不等式

一不等式二絕對值不等式第一講不等式和絕對值不等式第一課時不等式的基本性質(zhì)、基本不等式學(xué)習(xí)要點2.

不等式有哪些基本性質(zhì)?1.

怎樣判斷兩個數(shù)的大小?3.

基本不等式是什么樣的不等式?其幾何解釋及使用條件是什么？1.不等式的基本性質(zhì)

問題1.

用數(shù)軸上的點表示數(shù)時,左邊的數(shù)大還是右邊的數(shù)大?大數(shù)減小數(shù)是正還是負(fù)?小數(shù)減大數(shù)呢?ABabxBAabxa<ba-b<0a>ba-b>0左邊的數(shù)小于右邊的數(shù),右邊的數(shù)大于左邊的數(shù).不等式基本事實:a>b

a-b>0;a=b

a-b=0;a<b

a-b<0.若a-b>0,則a>b,由此可比較兩個數(shù)的大小.例1.

比較(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.解:∵(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)=(x2+10x+21)-(x2+10x+24)=-3<0,∴(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6).我們把這樣比較大小的方法叫求差比較法.

問題2.

在《數(shù)學(xué)-必修5》中,我們學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì),同學(xué)們還記得嗎?請你寫出這些性質(zhì).(6)

a>b>0(n

N,n≥2).(2)a>b,b>c

a>c;a<b,b<c

a<c.(3)a>b

a+c>b+c.(4)a>b,c>0

ac>bc;a>b,c<0

ac<bc.不等式的基本性質(zhì):(1)

a>b

b<a.(7)

a>b,c>d

a+c>b+d.(8)

a>b>0,c>d>0ac>bd.(5)

a>b>0an>bn(n

N,n≥2).

問:

與等式比較,在應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)時應(yīng)注意什么?

特別要注意數(shù)的正負(fù),如(4)(5)(6)(8).

問題2.

在《數(shù)學(xué)-必修5》中,我們學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì),同學(xué)們還記得嗎?請你寫出這些性質(zhì).(6)

a>b>0(n

N,n≥2).(2)a>b,b>c

a>c;a<b,b<c

a<c.(3)a>b

a+c>b+c.(4)a>b,c>0

ac>bc;a>b,c<0

ac<bc.不等式的基本性質(zhì):(1)

a>b

b<a.(7)

a>b,c>d

a+c>b+d.(8)

a>b>0,c>d>0ac>bd.(5)

a>b>0an>bn(n

N,n≥2).

問:

你能由前面6個性質(zhì)證明性質(zhì)(7)(8)嗎?∵a>b,∵a+c>b+c,∵c>d,∵b+c>b+d,①②由①②得a+c>b+d.

問題2.

在《數(shù)學(xué)-必修5》中,我們學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì),同學(xué)們還記得嗎?請你寫出這些性質(zhì).(6)

a>b>0(n

N,n≥2).(2)a>b,b>c

a>c;a<b,b<c

a<c.(3)a>b

a+c>b+c.(4)a>b,c>0

ac>bc;a>b,c<0

ac<bc.不等式的基本性質(zhì):(1)

a>b

b<a.(7)

a>b,c>d

a+c>b+d.(8)

a>b>0,c>d>0ac>bd.(5)

a>b>0an>bn(n

N,n≥2).

問:

你能由前面6個性質(zhì)證明性質(zhì)(7)(8)嗎?∵a>b,c>0,∵ac>bc,∵c>d,b>0,∵bc>bd,①②由①②得ac>bd.例2.

已知a>b>0,c>d>0,求證分析:要證需證需證a>b>0,這可由已知得到.2.基本不等式

定理1

如果a,b

R,那么

a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b

時,等號成立.當(dāng)且僅當(dāng)a=b

時,等號成立.定理2

如果a,b>0,那么

一、不等式畫一個以

a,b

為邊長的矩形,aba2b2ab則ab

表示的幾何意義是:a2表示的幾何意義是:b2表示的幾何意義是:矩形的面積.定理2(基本不等式)如果a,b>0,那么當(dāng)且僅當(dāng)a=b

時,等號成立.

兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù).CO其幾何意義如圖:取AD=a,DB=b,CD⊥AB,以AB為直徑作⊙O交CD于C,則△ABC為直角三角形.由相似三角形得：而CD≤OC直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高.aABDb即

例3.

求證:(1)

在所有周長相同的矩形中,正方形的面積最大;

(2)

在所有面積相同的矩形中,正方形的周長最短.分析:設(shè)矩形的長、寬分別為x、y,則周長:2(x+y),面積:xy.(1)周長2(x+y)=l(定長),當(dāng)x=y

時,面積xy

最大.需xy≤某定值,由得(2)面積xy=S(定值),當(dāng)x=y時,周長2(x+y)最大.需x+y≥某定值.由得

一般地,從基本不等式可以得到下面結(jié)論:對兩個正實數(shù)x,y,如果它們的和S

是定值,則當(dāng)且僅當(dāng)x=y

時,它們的積P

取得最大值;如果它們的積P

是定值,則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,它們的和S

取得最小值.利用基本不等式可以解決一些最大(小)值問題.三相等.1.

求最小值:2.

求最大值:一正、二定、【課時小結(jié)】1.

數(shù)的大小比較a-b>0

a>b;a-b=0

a=b;a-b<0

a<b.對兩個數(shù)求差可判斷兩個數(shù)的大小.

求差后如果是一個多項式,盡量分解成因式的積,以便判斷正負(fù).【課時小結(jié)】2.

不等式的基本性質(zhì)(8)

a>b>0,n

N,n≥2(2)a>b,b>c

a>c;a<b,b<c

a<c.(3)a>b

a+c>b+c.(4)a>b,c>0

ac>bc;a>b,c<0

ac<bc.(1)

a>b

b<a.(5)

a>b,c>d

a+c>b+d.(6)

a>b>0,c>d>0ac>bd.(7)

a>b>0,n

N,n≥2an>bn.【課時小結(jié)】3.

性質(zhì)應(yīng)用中的要點(1)兩邊同加減一個數(shù),不等號不變.(2)兩邊同乘除一個數(shù),必須分正負(fù).(3)同向不等式相加成立,相減不成立.(4)同向不等式相乘必須是正數(shù)不等式;(5)兩邊乘方、開方必須是正數(shù)不等式.相除不成立.【課時小結(jié)】4.

基本不等式

定理1

如果a,b

R,那么

a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b

時,等號成立.

定理2(基本不等式)

如果a,b>0,那么當(dāng)且僅當(dāng)a=b

時,等號成立.【課時小結(jié)】5.

基本不等式的幾何解釋SABCDEF≥SGBCHFE

a2+b2≥2ab.a+b=2OC≥2CDabABCDFGHEa2+b2=SABCDEF,2ab=SGBCHFE,ABDOCab·【課時小結(jié)】6.

基本不等式應(yīng)用要點(1)必須a>0,b>0.(2)要能取得等號,需a=b.第二課時三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均數(shù)返回目錄學(xué)習(xí)要點1.

三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小能確定嗎?2.

怎樣用基本不等式求最值?需要注意些什么問題?3.三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均數(shù)

問題5.

基本不等式給出了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù).與此類比,你能猜想三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系嗎?n

個正數(shù)呢?a3+b3+c3≥3abc(a,b,c

是正數(shù)),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立.令a3=A,b3=B,c3=C,則于是有定理3如果a,b,cR+,那么當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c

時,等號成立.三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均.由定理2,3推廣到一般情形:

對于n

個正數(shù)a1,a2,…,an,它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均,即當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an

時,等號成立.例5.

已知x,y,zR+,求證(x+y+z)3≥27xyz.證明:∵x,y,zR+,>0,即(x+y+z)3≥27xyz.練習(xí)(補充).

已知求證x2(3-2x)≤1.證明:∴3-2x>0,∵x2(3-2x)=x·x·(3-2x)又而>0,即x2(3-2x)≤1.

問題6.

根據(jù)定理2和定理3,你能寫出兩個正數(shù)的和的最小值以及兩個正數(shù)的積的最大值嗎?三個正數(shù)呢?變形為a+b最小到此時a=b(a>0,b>0).又由變形為ab

最大到此時a=b(a>0,b>0).

問題6.

根據(jù)定理2和定理3,你能寫出兩個變數(shù)的和的最小值以及兩個變數(shù)的積的最大值嗎?三個變數(shù)呢?abc

的最大值是此時a=b=c.同理可得:對于三個正數(shù)a,b,c,即

a+b+c的最小值是此時a=b=c.

例6.

如圖,把一塊邊長是a

的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)做成一個無蓋方底的盒子,問切去的正方形邊長是多少時,才能使盒子的容積最大?xa解:盒子的容積為V=(a-2x)2x要求兩個(或三個)數(shù)的積的最大值,需和為定值.如何將

(a-2x)2x構(gòu)造成兩個(或三個)數(shù)的和,使其是一個常數(shù)(沒有了變量x),二次變?yōu)橐淮?(a-2x)2x=(a-2x)(a-2x)x變系數(shù):則(a-2x)+(a-2x)+4x=2a(定值).

例6.

如圖,把一塊邊長是a

的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)做成一個無蓋方底的盒子,問切去的正方形邊長是多少時,才能使盒子的容積最大?xa解:盒子的容積為V=(a-2x)2x當(dāng)且僅當(dāng)a-2x=4x

時,等號成立,即時所做成的盒子的容積最大為練習(xí):(補充)

1.

設(shè)0<x<2,求函數(shù)的最大值,并求相應(yīng)的x

的值.2.

已知x+2y=1,求2x+4y的最小值.

1.

設(shè)0<x<2,求函數(shù)的最大值,并求相應(yīng)的x

的值.解:∵0<x<2,∴3x>0,=4,當(dāng)且僅當(dāng)3x

=8-3x

時,f(x)取得最大值4.8-3x>0,和為02.

已知x+2y=1,求2x+4y的最小值.解:2x+4y=2x+22y當(dāng)2x=22y時,2x+4y取得最小值3.

已知球的半徑為R,球內(nèi)接圓柱的底面半徑為r,高為h,則r

和h

為何值時,內(nèi)接圓柱的體積最大?RrO解:球內(nèi)接圓柱的體積為V=pr2h.∴V=pr2h當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.解得圓柱體積最大.【課時小結(jié)】1.

三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理3

如果a,b,cR+,那么當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c

時,等號成立.推廣:

對于n

個正數(shù)a1,a2,…,an,它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均,即當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an

時,等號成立.【課時小結(jié)】2.

基本不等式求最值

對兩個正實數(shù)x,y,若其x+y

為定值,則當(dāng)且僅當(dāng)x=y

時,xy

取得最大值;

若xy

為定值,